九年级数学圆中常见辅助线作法

圆中常有协助线的作法
典型例题：
例题 1、如图， P 是⊙ O外一点， PA、PB分别和⊙ O切于 A、B，C 是弧 AB 上随意一点，过 C作⊙ O的切线分别交 PA、PB于 D、E，若△ PDE的周长为 12，
则PA长为 ______________
A
O
B
D C P E
例题 2、如下图，已知 AB是⊙ O的直径，AC⊥ L 于 C，BD⊥L 于 D，且 AC+BD=AB。

求证：直线 L 与⊙ O相切。

例题 3、如图，AB是⊙ O的直径，弦 AC与 AB成 30°角，CD与⊙ O切于C，交 AB?的延伸线于 D，求证： AC=CD．
例题 4、如图，⊙ O的直径为 10，弦 AB＝8，P 是弦 AB上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________．
1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）
1)、经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连接过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
A
O BC
③利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。

2）、经常连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；
②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

C
2．碰到有直径时
经常增添（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形A B
O
3．碰到90°的圆周角时
经常连接两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可获得直径。

A
C B
O
4．碰到有切线时
（1）经常增添过切点的半径（连接圆心和切点
作用：利用切线的性质定理可得 OA⊥ AB，获得直角或直角三角形。

（2）经常增添连接圆上一点和切点
作用：可构成弦切角，进而利用弦切角定理。

5．碰到证明某向来线是圆的切线时
（1）若直线和圆的公共点还未确立，则常过圆心作直线的垂
线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

（2）若直线过圆上的某一点，则连接这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

6．碰到两订交切线时（切线长）
经常连接切点和圆心、连接圆心和圆外的一点、连接两切点。

作用：据切线长及其余性质，可获得：①角、线段的等量关系；
②垂直关系；③全等、相像三角形。

7．碰到三角形的内切圆时
连接心里到各三角形极点，或过心里作三角形各边的垂线段。

作用：利用心里的性质，可得：
①心里到三角形三个极点的连线是三角形的角均分线；
②心里到三角形三条边的距离相等
8．碰到三角形的外接圆时，连接外心和各极点
作用：外心到三角形各极点的距离相等。

A
D O
C
P
B E
例题解说
A 例题 1、如图，已知△ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。

O
BC
例题 2、如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C在弧 AMB上，则
∠ C的度数是 ________.
例题 3、如图， AB 是⊙ O的直径， AB=4，弦 BC=2,∠ B= 例题 4、如图， AB、 AC是⊙ O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6， AC=8，⊙ O的半径是
C
AB
O
A
C
B
O
例题 5、如下图，已知AB 是⊙O的直径， AC⊙L于 C， BD⊙L于 D，且 AC+BD=AB。

求证：直线L 与⊙O相切。

例题 7、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上随意一点，过C
作⊙ O的切线分别交PA、 PB于 D、 E，若△ PDE的周长为 12，则 PA长为 ______________
A
D
O
C
P
B E
例题 8、如图，△ ABC中，∠ A=45°， I 是心里，则∠ BIC=
例题 9、如图， Rt△ ABC中， AC=8， BC=6，∠ C=90°，⊙ I 分别切 AC， BC，AB 于 D， E， F，求 Rt△ ABC的心里 I 与外心 O 之间的距离．
课后练习
1、已知： P 是⊙ O外一点， PB， PD分别交⊙ O于 A、B 和 C、 D 且 AB=CD求.证：PO均分∠ BPD．
2、如图， ABC中，∠C=90°，圆 O分别与 AC、BC相切于 M、N，点 O在 AB
上，假如 AO=15㎝， BO=10㎝，求圆 O的半径 .
A
o
M
C N B
3、已知：□ABCD的对角线 AC、BD交于 O点，BC切⊙ O于 E 点 . 求证： AD
也和⊙ O相切 .
A D
O
B
C
E
4、如图，学校 A 邻近有一公路 MN，一拖沓机从 P 点出发向 PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，倘若拖沓机履行时，A 四周100 米之内遇到噪音影响，
问：当拖沓机向 PN方向行驶时，学校能否会遇到噪音影响？请说明原因 . 假如拖沓
机速度为18 千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？
5、如图， A 是半径为 1 的圆 O 外的一点， OA=2，AB是圆 O的切线， B 是切
点，弦 BC∥ OA，连接 AC，求暗影部分的面积 .
B
C
A
O
6、如图，已知 AB是⊙ O 的直径， CD是弦， AE⊥CD，垂足为 E,BF⊥CD，垂足
为 F. 求证： DE=CF.
7、如图，O2是⊙ O1上的一点，以 O2为圆心，O1O2为半径作一个圆交⊙ O1于 C，D．直
线O1O2分别交⊙O1于延伸线和⊙O1，⊙O2于点A 与点B．连接AC，BC．⑴求
证：AC=BC；⑵设⊙O1的半径为r ，求AC的长．⑶连AD，BD，求证：四边形ADBC是菱形；⑷当 r=2 时，求菱形 ADBC的面积．
. C
A B
O 1 .O 2
D
8、已知：如图， AB是⊙ O的直径， BC是⊙ O的切线，连 AC交⊙ O于 D，过 D
作⊙ O的切线 EF，交 BC于 E 点 . 求证： OE// AC.
A
O
F
D
BE C。