(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习 专项强化练一 函数的性质

专项强化练一 函数的性质
1.(2018浙江宁波期末)若函数f(x)=ax 2
+(2a 2
-a-1)x+1为偶函数,则实数a 的值为( ) A.1 B.-12 C.1或-1
2 D.0
答案 C 因为f(x)为偶函数,所以2a 2-a-1=0,解得a=-1
2
或a=1.
2.已知实数x,y 满足(12)x <(12)x
,则下列关系式中恒成立的是( ) A.tanx>tany B.ln(x 2
+2)>ln 2
(y 2
+1) C.1x <1
x D.x 3>y 3
答案 D 由指数函数的单调性可得x>y,因为幂函数y=x 3
在(-∞,+∞)上是单调递增的,所以当x>y 时,恒有x 3
>y 3
,故选D.
3.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x 2
+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m 的值( )
A.与a 有关,且与b 有关
B.与a 有关,但与b 无关
C.与a 无关,且与b 无关
D.与a 无关,但与b 有关 答案 B 解法一:令g(x)=x 2
+ax,则M-m=g(x)max -g(x)min . 故M-m 与b 无关.
又a=1时,g(x)max -g(x)min =2, a=2时,g(x)max -g(x)min =3, 故M-m 与a 有关.故选B.
解法二:(1)当-x
2
≥1,即a ≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M -m=f(0)-f(1)=-a-1.
(2)当12≤-x 2<1,即-2<a ≤-1时,M=f(0),m=f (-x 2),从而M-m=f(0)-f (-x
2)=b-(x -x 24
)=1
4a 2
.
(3)当0<-x 2<1
2,即-1<a<0时,M=f(1),m=f (-x
2),从而M-m=f(1)-f (-x
2)=1
4a 2
+a+1.
(4)当-x
2≤0,即a ≥0时,f(x)在[0,1]上为增函数,∴M -m=f(1)-f(0)=a+1.
即有M-m={ x +1(x ≥0),14x 2
+a +1(-1<x <0),
14
x 2(-2<x ≤-1),
-x -1(x ≤-2).
∴M -m 与a 有关,但与b 无关.故选B.
4.已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是( ) A.1
3 B.1 C.43 D.2
答案 C f(x)的定义域为R,f(-x)=|-x-1|+|-x|+|-x+1|=|x+1|+|x|+|x-1|=f(x),所以f(x)是偶函数.
因为f(2x-1)=f(x),所以2x-1=x 或2x-1=-x, 解得x=1或x=1
3,故选C.
5.(2018浙江嘉兴期末)若f(x)=x 2
+bx+c 在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)( )
A.都大于1
B.都小于1
C.至少有一个大于1
D.至少有一个小于1
答案 D 若f(x)在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则设f(x)的两个零点分别为x 1,x 2,不妨设x 1<x 2,则m-1<x 1<x 2<m+1,且f(x)=(x-x 1)(x-x 2).
因为f(m-1)=(m-1-x 1)(m-1-x 2)=(x 1-m+1)(x 2-m+1), f(m+1)=(m+1-x 1)(m+1-x 2),
所以f(m-1)f(m+1)=(x 1-m+1)(x 2-m+1)(m+1-x 1)(m+1-x 2)<(x 1-m +1+m +1-x 12
)2
·(
x 2-m +1+m +1-x 22
)2
=1,
故f(m-1)和f(m+1)中至少有一个小于1,故选D.
6.已知a 为正常数,f(x)={x 2-ax +1,x ≥a,
x 2-3ax +2x 2+1,x <x ,
若存在θ∈(π4,π2),满足f(sinθ)=f(cosθ),则实数a 的取值范围是( ) A.(1
2,1) B.(√2
2,1) C.(1,√2)
D.(1
2,
√2
2
)
答案 D 由题意得f(x)={
(x -x 2)2
-x 24+1,x ≥a,
(x -3x 2
)2-
x 2
4
+1,x <a,
易知f(x)关于直线x=a 对称,且在[a,+∞)上为增函数, 所以a=
sin x +cos x 2=√22sin (x +π
4
). 因为θ∈(π
4,π
2),θ+π
4∈(π
2,3π4
),
所以a=√2
2sin (x +π
4)∈(1
2,
√2
2
). 7.(2018台州高三上学期期末)已知函数f(x)={
x +1
x ,x >0,
-x 2
+3,x ≤0,
若函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]
上恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围是( ) A.[1,3) B.(1,3] C.[2,3) D.(3,+∞)
答案 A 函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]上恰有两个不同的零点,等价于y=f(x)与y=k(x+1)的图象在(-∞,1]上恰有两个不同的交点,画出函数y=f(x)和y=k(x+1)在(-∞,1]上的图象,如图所示,y=k(x+1)的图象是过定点(-1,0)且斜率为k 的直线.当直线y=k(x+1)经过点(1,2)时,直线与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有两个交点,此时k=1;当直线经过点(0,3)时,直线与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有三个交点.直线在旋转过程中与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有两个交点时,斜率在[1,3)内变化,所以实数k 的取值范围是[1,3).
8.(2018金华十校高三上学期期末)函数y=
x 2ln|x |
|x |
的图象大致是( )
答案 D 首先函数
f(x)=x 2ln|x |
|x |
为偶函数,故排除
B;
当x>0时,f(x)=xlnx,所以x>1时,f(x)>0,排除A; 当x>0时,f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,可得极值点x=1e ,所以f(x)在(0,1e )上单调递减,在(1
e ,+∞)上单调递增,排除C.故选D. 9.(2018浙江嘉兴高三上学期期末)已知函数f(x)=log 4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是 ;f(0)+4f(2)
= .
答案 (-4,0);3
解析 由4-|x|>0,解得函数f(x)的定义域为(-4,4).f(x)={
log 4(4-x)(0≤x <4),
log 4(4+x)(-4<x <0),
故f(x)在
(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减.由于f(0)=log 44=1,f(2)=log 42=12
×log 44=12
,故f(0)+4
f(2)
=1+41
2=3.
10.(2018浙江金丽衢十二校联考)函数f(x)=√3-2x -x 2的定义域为 ,值域为 . 答案 [-3,1];[0,2]
解析 解3-2x-x 2
≥0得-3≤x ≤1,即定义域为[-3,1],由y=√-(x +1)2+4(x ∈[-3,1])可得值域为
[0,2].
11.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={
x -4, x ≥λ,
x 2
-4x +3,x <x .
当λ=2时,不等式f(x)<0的解
集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)
解析 本题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想.
当λ=2时,不等式f(x)<0等价于{x ≥2,
x -4<0或{x <2,x 2-4x +3<0,
即2≤x<4或1<x<2,
故不等式f(x)<0的解集为(1,4).
易知函数y=x-4(x ∈R)有一个零点x 1=4,函数y=x 2
-4x+3(x ∈R)有两个零点x 2=1,x 3=3.
在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ>4.②两个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3. 综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
12.(2018金丽衢十二校联考)若f(x)为偶函数,当x ≥0时,f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)= ;方程[5f(x)-1][f(x)+5]=0的实根个数为 . 答案 -x(1+x);6
解析 因为f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=-x(1+x).
因为[5f(x)-1][f(x)+5]=0,所以研究y=f(x)与y=1
5,y=-5的函数图象的交点个数即可,其大致图象如图所示.
观察图象知有6个交点,故方程有6个实数根.。