数学卷·2017届浙江省东阳中学高三3月阶段性考试(2017.03)

2017年3月高三数学阶段检测卷
选择题部分（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1．设集合{}
|2|1A x x =-≤，{}|01B x x =<≤，则A B =U （ ▲ ）
A ．(]0,3
B ．(]0,1
C ．(],3-∞
D ．{}1
2．设复数112i z =-+，22i z =+，其中i 为虚数单位，则=⋅21z z （ ▲ ）
A ．4-
B ．3i
C ．34i -+
D ．43i -+
3．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α、β，下列命题正确的是（ ▲ ）
A ．若//m α且α//n ，则//m n
B ．若m β⊥且n m ⊥，则//n β
C ．若m α⊥且//m β，则αβ⊥
D ．若m 不垂直于α，且n α⊂，则m 不垂直于n
4．若直线y x b =+与圆2
2
1x y +=有公共点，则实数b 的取值范围是（ ▲ ）
A ．[1,1]-
B ．[0,1]
C ．
D ．[
5．设离散型随机变量X 的分布列为
则2EX =的充要条件是（ ▲ ） A ．
12p p =
B ．
23p p =
C ．
13p p =
D ．
123p p p ==
6．若二项式1
)n x
的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x 项的系数为（ ▲ ）
A ．1
B ．5
C ．10
D ．20
7．要得到函数sin(3)4
y x π=-的图像，只需将函数cos3y x =的图像（ ▲ ）
A ．向右平移
4π
个单位 B ．向左平移
4π
个单位 C ．向右平移34
π
个单位
D ．向左平移34
π
个单位
8．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，△BAC 与△BCD 均为等腰直角三
角形，且90BAC BCD ∠=∠=o
，2BC =．点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与
AC 成30o 的角，则线段PA 长的取值范围是（ ▲ ）
A
． B
． C
．(
2
D
．(
3
9．记,,
max{,},a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩
≥.已知向量a ,b ,c 满足||1=a ,||2=b ,0=⋅a b ，
(0λμλμ=+，≥c a b 且+=1)λμ，则当max{}⋅⋅，c a c b 取最小值时，||=c （ ▲ ）
A
B
C ．1
D
10．已知定义在实数集R 上的函数()f x
满足1
(1)2
f x +=
则(0)(2017)f f +的最大值为（ ▲ ） A
．1 B
． C ．
12
D ．
32
非选择题部分（共110分）
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.)
11．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若1a =，2b =，60C =︒，则c =
▲ ，△ABC 的面积S = ▲ ．
12．若实数x y ，满足10,
20,0,
x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪⎩
≥≤≥则y 的最大值为 ▲ ，12y x ++的取值范围是 ▲ ．
C
（第8题图）
13．如图，一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三
角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积是 ▲ ，表面积是 ▲ ．
14．在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门中任选3门．若
同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为 ▲ ．乙、丙两名同学都选物理的概率是 ▲ _．
15．在等差数列{}n a 中，若2
228610216a a a a a ++=，则46a a = ▲ ．
16．过抛物线2
C:2(0)y px p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点．若||8||
AF OF =（O 为坐标原点），则
||
||
AF BF = ▲ ． 17．已知,,a b c ∈R ．若2cos sin 1a x b x c ++≤对x ∈R 恒成立，则sin a x b +的最大值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．（本题满分14分）已知函数2
()3sin cos cos f x x x x =+．
（I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）若02απ-
<<，()5
6
f α=，求sin2α的值． （第13题图）
19．（本题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，1=PA ，PC PD =，底面ABCD
是梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2CD =． （I ）求证：PA AB ⊥；
（II ）求直线AD 与平面PCD 所成角的大小．
20．（本题满分15分）设函数e 1()x f x x -=．证明：
（I ）当0x <时，()1f x <；
（II ）对任意0a >，当0||ln(1)x a <<+时，|()1|f x a -<．
21．（本题满分15分）已知直线:3l y x =-+与椭圆2
2
C:1(0)mx ny n m +=>>有且只有一个
公共点(2,1)P ．
（I ）求椭圆C 的标准方程；
（II ）若直线:l y x b '=-+交C 于A ,B 两点，
且PA PB ⊥，求b 的值．
22.（本题满分15分）设数列{}n a 满足2
11()n n n a a a n *
+=-+∈N ，n S 为{}n a 的前n 项和.
证明：对任意n *
∈N ，
l l'x
y
A
B
P
O
（第21题图）
（第19题图）
（I ）当101a ≤≤时，01n a ≤≤； （II ）当11a >时，1
11(1)n n a a a ->-；
（III ）当11
2
a =
时，n n S n <<.
2017年3月高三数学阶段检测卷
（测试卷）参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个
是符合题目要求的.)
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)
12.
32；1[,1]4
3 14.15；
949
15.4 16.7 17.2
三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
18.解：（I ）cos 211
()2sin(2)2262
x f x x x π+=+=++ ……………………………4分
∴函数()f x 的最小正周期是π. …………………………………………………6分
（II ）()15sin(2)6
26f
π
αα=+
+
=∴1
sin(2)63
πα+=， …………………………………8分
0,2
π
α-
<<∴52666πππα-
<+<，又sin(2)06
π
α+>
∴026
6
π
π
α<+
<
∴cos(2)63πα+=， (10)
分
∴sin 2α=1sin((2)))cos(2)66626ππππααα+-=+-+= (1)
4分
19.解：（I ）取CD 的中点M ，
则由已知得CM AB =，又由//AB CD ，AB BC ⊥得四边形ABCM 是矩形
于是AM CD ⊥， ……………………………………………………………………2分 又
由
PD
PC =及
CD
的中点为M 得
PM CD ⊥ ………………………………4分
又M PM AM =I ，于是PAM CD 平面⊥， …………………………………6分
再根据PAM PA 平面⊂得PA CD ⊥
又由已知CD AB //，故AB PA ⊥； ………………………………………………8分
（II ）过点A 作PM AT ⊥于T
由⎩⎨
⎧⊂⊥PAM
AT PAM CD 平面平面得AT CD ⊥
又M CD PM =I 及PCD CD PM 平面，⊂ 于是PCD AT 平面⊥ …………………11分 所以ADT ∠就是直线AD 与平面PCD 所成角…12分 由⎩⎨
⎧⊂⊥PCD
TD PCD AT 平面平面得TD AT ⊥
由⎩⎨
⎧⊥⊥AB
PA AD
PA 得ABCD PA 平面⊥，得AM PA ⊥
在PAM Rt ∆中计算得：2
2
=AT ， ………………………………………………13分
在DAM Rt ∆中计算得222=+=MD AM AD (14)
分
所以2
1
222
sin ===∠AD AT ADT 所以直线AD 与平面PCD 所成角的大小是ο30. ……………………………………15分
20.证明：（I ）考虑函数e (1)x
x x ϕ=--，x ∈R ，
则()x ϕ的导数e 1()x
x ϕ'=-， (2)
分
从而)0(0x x ϕ>⇔>'，
故()x ϕ在(,0)-∞内递减，在(0,)+∞内递增， (4)
分
因此对任意x ∈R ，都有()(0)0x ϕϕ=≥， 即e 10x x --≥（当且仅当0x =时，等号成立）①.
所以当0x <时，e 1x x >-，即()1f x <； (6)
分
（II ）由①可知当0||ln(1)x a <<+时，|()1|e 1||x
f x a x a x -<⇔--<， (8)
分
即当0ln(1)x a <<+时，e 1(1)0x a x --+<②； (9)
分
当ln(1)0a x -+<<时，
e 1(1)0x a x ---<③. ……………………………………10分
令函数e 1()1()x
a g x x --+=，e 1()1()x
a h x x ---=，
注意到(0)(0)0g h ==，故要证②与③，只需证明()g x 在(0,ln(1))a +内递减，
()h x 在(ln(1),0)a -+内递
增. ………………………………………………………………12分 事实上，当(0,ln(1))x a ∈+时，
ln(1)e (1)e (1())0x a a g a x +--=+'+<=； (14)
分
当(ln(1),0)x a ∈-+时，
2
ln(1)
1e (1)e
(1)(1)(11)0x a a a a a a
h a x -+-->--=--=++'>=.
综上，对任意0a >，当0||ln(1)x a <<+时，|()1|f x a -<. (15)
分
21.（I ）因点(2,1)P 在该椭圆上，故41m n +=①. ……………………………………………2分
由22
31
y x mx ny =-+⎧⎨
+=⎩，
得2
()6(91)0m n x nx n +-+-=，
故2
364()(91)0n m n n ∆=-+-=，即9m n mn +=②. (4)
分
由①②，得1
6
m =，13n =.所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=； ……………6分
（II ）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，
由2216
3y x b x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
，得22342(3)0x bx b -+-=，
故1243b x x +=，2
122(3)3
x x b =-. ………………………………………………………8分
由PA PB ⊥，得0PA PB ⋅=u u u v u u u v
，即1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， (10)
分
又(1,2)i i y x b i =-+=，
则1212(2)(2)(1)(1)0x x x b x b --+-+--+-=， 即
212122(1)()250x x b x x b b -+++-+=，……………………………………………12分
22242(3)(1)25033
b
b b b b ⋅--+⋅+-+=，
即231030b b -+=，解得1
3
b =或3，…………………………………………………14分
又(3,3)b ∈-，故1
3
b =. …………………………………………………………………15分
22.证明：（I ）用归纳法证明.
①当1n =时，显然成立； …………………………………………………………………2分
②假设当()n k k *
=∈N 时，01k a ≤≤， 则当1n k =+时，2
2
1131()2
3
[,1][40,1]4
k k k k a a a a ++
∈⊆=-+=-. 由①②，(01)n n a *
∈N ≤≤. ……………………………………………………………4分
（II ）由2
2
1(1)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-≥，知1n n a a +≥.
若11a >，则1()n a n *
>∈N ，
从而2
2
11(1)1(1)n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-=-， ………………………………6分
即
111
1
n n n a a a a +-=-≥， 于是1
11
1(1)n n a a a ---≥，即1
11
(1)()n n a a a n -*>-∈N ； (8)
分
（III ）当112
a =时，由（I ），(01)n n a *<∈<N ，故n S n <.………………………………9分
令1()n n b a n *
=-∈N ，由（I ）（II ），10()n n b b n *
+>>∈N .
由211n n n a a a +=-+，可得2
1n n n b b b +=-. …………………………………………10分
林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 从而22212122311111()()()2n n n n b b b b b b b b b b b b +++++=-+-++-=-<=L L ， 又222212n n b b b nb +++L ≥， 故212n nb <
，即)n b n *<∈N . ………………………………………………12分
注意到n b <=<=，
故12n b b b ++++++=L L
即n n S -<
n S n >所以当112
a =
时，n n S n <<.………………………………………………15分。