浙江省杭州市西湖高级中学2018_2019学年高一数学4月月考试题

浙江省杭州市西湖高级中学2018-2019学年高一数学4月月考试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷40分，第Ⅱ卷110分，共
150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 (选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值为( ▲ )
A ．－35 B.45 C.25 D ．－25
2．已知向量e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，那么|e 1＋2e 2|＝( ▲ )
A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( ▲ )
A ．(－1，0)∪(0，1)
B ．[－1，1]
C ．(－1，1)
D ．[－1，0)∪(0，1]
4．已知角C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若 m ⊥n ，则角C 等于( ▲ )
A.
π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ▲ )
A.
22 B.3
2
C.2 D ．2 6．函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为( ▲ )
A.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝
⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )
7.函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4在一个周期内的图像大致是
(▲)
8．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x －α)恒成立，
则α的值是( ▲ ) A.
π6 B.π3 C.π4 D.π2
9．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，tan
α
21－tan
2α2
＝14，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为( ▲ )
A.
π6 B.π4 C.π3 D.5π12
10．已知O 为原点，A ，B 两点的坐标分别为(a ，0)，(0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB
上，且AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →
的最大值为( ▲ ) A ．a B ．2a C ．3a D ．a 2
第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分．把答案填在答卷中横线上)
11．sin 11π3＝____▲____，sin (π2＋π
3
)＝____▲____．
12．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则a·b ＝_▲_，(2a －b )·a ＝ ▲ ．
13．已知0<x<π2，cos x ＝45
，则tan x ＝____▲__，4sin 2x －3sin x cos x －5cos 2
x ＝___▲___．
14. 已知函数f(x)＝cos 2
x ＋sin x －1(0≤x ≤π
2)，则f(x)的值域是___▲___，f(x)的单调递
增区间是____▲____． 15.已知数列{a n }满足a n ＝
1
133333+++-n n a a ，且a 1＝33，则a 2019＝___▲_____．
16．在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →
＝(1，2)，则△ABC 的面积为____▲____． 17. 方程lg x ＝sin2x 的实根的个数为___▲____．
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(14分)已知sin(π2+θ)＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6及tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．
19. (14分) 海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
20．(14分)已知函数f (x )＝
2x －1
x
，其定义域为{x |x ≠0}．
(1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；
(2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．
21．(14分)如图所示，在△ABC 中，已知CA ＝2，CB ＝3，∠ACB ＝60°，CH 为AB 边上的高．
(1)求AB →·BC →；(2)设CH →＝mCB →＋nCA →，其中m ，n ∈R ，求m ，n 的值及CH →
的模．
22．(15分)已知函数f (x )＝3sin2x +2cos 2
x －1，将函数f (x )的图像向右平移12
个单位得到函
数g (x )的图像.
(1)求g (x )的解析式及对称轴； (2)求函数f (x )的单调递增区间； (3)求函数f (x )在区间[－12，3
4
]上的值域．
杭西高2019年4月高一数学参考答案 命题人：王红卫，审核人：何军
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷40分，第Ⅱ卷110分，共
150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 (选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值为( )
A ．－35 B.45 C.25 D ．－25
．D
2．已知向量e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，那么|e 1＋2e 2|＝( )
A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 ．D
3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( )
A ．(－1，0)∪(0，1)
B ．[－1，1]
C ．(－1，1)
D ．[－1，0)∪(0，1] . C
4．已知角C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若 m ⊥n ，则角C 等于( )
A.
π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
．C [解析] ∵m⊥n ，∴2cos 2
C －3cos C －2＝0，∴(2cos C ＋1)(cos C －2)＝0，∴cos
5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( )
A.
22 B.3
2
C.2 D ．2
6．函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为( )
A.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k
π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )
C.⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )
D. ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )
．B [解析] 由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z ), 得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π
12
(k ∈Z )，故选B.
7．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4在一个周期内的图像大致是( )
.B
8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x －α)恒成立，
则α的值是( )
A.
π6 B.π3 C.π4 D.π
2 .D 9．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，tan
α
21－tan
2α2
＝14，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为( )
A.
π6 B.π4 C.π3 D.5π12
．B [解析] 由tan
α
21－tan 2α2
＝14，得tan α＝12.由3sin β＝sin(2α＋β)，
得3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1.又α＋β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β＝π4.
10．已知O 为原点，A ，B 两点的坐标分别为(a ，0)，(0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB
上，且AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →
的最大值为( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．a 2
．D [解析] ∵AB →＝OB →－OA →＝(0，a )－(a ，0)＝(－a ，a )，∴AP →＝tAB →
＝(－at ，at )．又
OP →
＝OA →＋AP →＝(a ，0)＋(－at ，at )＝(a －at ，at )，∴OA →·OP →
＝a (a －at )＋0×at ＝a 2(1－t )(0≤t ≤1)，∴当t ＝0时，OA →
·OP →
取得最大值a 2.
第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分．把答案填在答卷中横线上)
11．sin 11π3＝________，sin (π2＋π
3
)＝________．
12．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则a·b ＝______，(2a －b )·a ＝________．
．－5 13 [解析] ∵向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，∴a·b ＝|a||b|cos 13．已知0<x<π2，cos x ＝45
，则tan x ＝________，4sin 2x －3sin x cos x －5cos 2
x ＝________．
14．已知函数f(x)＝cos 2
x ＋sin x －1(0≤x ≤π
2)，则f(x)的值域是________，f(x)的单调递
增区间是________．
15.已知数列{a n }满足a n ＝
1
133333+++-n n a a ，且a 1＝33，则a 2019＝________．
故数列{a n }的周期为6，而2018＝336×6＋3，
16．在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →
＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．
17. 方程lg x ＝sin2x 的实根的个数为________．
．5 [解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝lg x 与函数y ＝sin2 x 的图像，可发现两图像有5个交点，故所求方程实根的个数为3.
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(14分)已知sin(π2+θ)＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6及tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．
19. (14分)
海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45
，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
. 解：在ABC ∆中，30,30,18045135BC B ACB ==∠=-=o
o
o
o
，
∴所以15.A =o
∴
A 到BC 所在直线的距离为：
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
20．(14分)已知函数f (x )＝
2x －1
x
，其定义域为{x |x ≠0}．
(1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；
(2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值． 解：(1)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则
∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又∵x 1>0，x 2>0，∴x 1x 2>0，∴f(x 2)－f(x 1)>0，
(2)∵f(x)＝2x －1x 在区间[1，2]上为增函数， ∴f(x)min ＝f(1)＝2－11＝1，f(x)max ＝f(2)＝2×2－12＝32
.
21．(14分)如图所示，在△ABC 中，已知CA ＝2，CB ＝3，∠ACB ＝60°，CH 为AB 边上的高．
(1)求AB →·BC →；(2)设CH →＝mCB →＋nCA →，其中m ，n ∈R ，求m ，n 的值及CH →的模．
．解：设CB →＝a ，CA →＝b .
(1)因为AB →＝CB →－CA →＝a －b ，所以AB →·BC →＝(a －b )·(－a )＝－a 2＋a·b ＝－9＋3×2×cos
60°＝－6.
(2)因为A ，H ，B 三点共线，所以设AH →＝λAB →＝λ(a －b )，所以CH →＝CA →＋AH →＝b ＋λ(a －
b )＝λa ＋(1－λ)b .
因为CH →⊥AB →，所以CH →·AB →＝0，所以[λa ＋(1－λ)b ]·(a －b )＝0，
即λa 2－(1－λ)b 2
＋(1－2λ)a·b ＝0.
又a 2＝9，b 2＝4，a·b ＝3，代入上式，解得λ＝17，所以CH →＝17a ＋67b ，即m ＝17，n ＝67
.
22．(15分)已知函数f (x )＝3sin2x +2cos 2x －1，将函数f (x )的图像向右平移12
个单位得到函数g (x )的图像.
(1)求g (x )的解析式及对称轴； (2)求函数f (x )的单调递增区间；
(3)求函数f (x )在区间[－12，34
]上的值域． ．解：(1) f (x )＝3sin2x +2cos 2x －1= 2sin(2π3x ＋π6)． g (x )= 2sin(
2π3x - π6) 2π3x - π6= k π+π2(k ∈Z )，所以对称轴为x=23k+1( k ∈Z ).。