2019-2020年苏教版数学必修二课时分层作业18 平面上两点间的距离 点到直线的距离+Word版

课时分层作业(十八)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．到A (1，3)，B (－5，1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0
B [设P (x ，y )，则（x －1）2＋（y －3）2＝
（x ＋5）2＋（y －1）2，
即3x ＋y ＋4＝0.]
2．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53 C ．1
D.22
B [d ＝|3×（－1）－2|02＋3
2＝5
3.]
3．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A ．4 B.1020 C.104
D.71020 D [∵3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋1
2＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪12＋332＋12
＝710
20.] 4．已知点P (1＋t ，1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为5
5，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2)
B ．(2，4)
C ．(0，－2)或(2，4)
D ．(1，1)
C [直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2（1＋t ）－（1＋3t ）－1|22＋（－1）2＝5
5，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P
的坐标为(2，4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)．]
5．若两条平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( )
A ．[－11，－1]
B ．[－11，0]
C ．[－11，－6)∪(－6，－1]
D ．[－1，＋∞)
C [y ＝－2x －k －2可化为2x ＋y ＋k ＋2＝0，由题意，得|k ＋2＋4|22＋12＝|k ＋6|
5≤5，
且k ＋2≠－4，即k ≠－6，
得－5≤k ＋6≤5，即－11≤k ≤－1，且k ≠－6.] 二、填空题
6．△ABC 三个顶点的坐标A (－3，2)，B (3，2)，C (4，0)，则AB 边的中线CD 的长为________．
25 [AB 的中点坐标为D (0，2)，∴CD ＝
42＋22＝2 5.]
7．过点P (2，3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．
2x ＋3y －13＝0 [此直线为过P (2，3)且与OP 垂直的直线，k OP ＝3
2，故直线方程为y －3＝－2
3(x －2)，即2x ＋3y －13＝0.]
8．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使P A ＋PB 取最小值，则P 点坐标是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫13
5，－135 [∵点A (3，－1)关于x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，A ′B 的直线方程为：x －4y －13＝0，
联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y －13＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝135，y ＝－135，
得点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13
5，－135.] 三、解答题
9．两条互相平行的直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：
(1)d 的变化范围；
(2)当d 取最大值时，两条平行直线的方程． [解]
(1)如图，当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为d ＝AB ＝
（6＋3）2＋（2＋1）2＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，
距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0，310]．
(2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1
k AB
＝－
1
2－（－1）6－（－3）
＝－3，
故所求的平行直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.
10．直线l 过点P (1，0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程．
[解] 若l 的斜率不存在，则方程为x ＝1，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1，3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)． ∴|AB |＝9，符合要求．
若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y －6＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3. ∴|AB |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝9
1＋k 2（k ＋3）2
.
由|AB |＝9，得
1＋k 2（k ＋3）
2＝1，∴k ＝－4
3.
∴l 的方程为y ＝－4
3(x －1)，即4x ＋3y －4＝0. 综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.
[等级过关练]
1．已知点M (1，4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3
D ．0或3
4
D [点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|
m 2＋1
＝3，解得m
＝0或m ＝3
4，选D.]
2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( )
A.423
B.823 C ．4 2
D ．2 2
B [∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）－3＝0，
2a －6（a －2）≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，
l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋2
3＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪
⎪⎪⎪6－2312
＋（－1）
2
＝
823.]
3．已知平行四边形两条对角线的交点为(1，1)，一条边所在直线的方程为3x －4y ＝12，则这条边的对边所在的直线方程为____________________．
3x －4y ＋14＝0 [设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0， 由题意可得
|－1＋m |32
＋（－4）
2
＝
|3－4－12|32
＋（－4）
2
，
解得m ＝14或m ＝－12(舍)，
所以所求的直线方程为3x －4y ＋14＝0.]
4．与直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点P (1，1)对称的直线方程为________． 4x ＋3y －12＝0 [在所求直线上任取一点Q (x ，y )，则点Q 关于点P 对称的点Q ′(x ′，y ′)必在直线l 上．
由⎩⎨⎧x ＋x ′
2＝1，
y ＋y ′2＝1，
得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2－x ，
y ′＝2－y ，
把它们代入直线l 的方程，得
4(2－x )＋3(2－y )－2＝0得4x ＋3y －12＝0.]
5．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1，0)，B (0，1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．
[解]
由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间距离公式，设Q (－2，－2)， 又P (a ，b ) 则PQ ＝
（a ＋2）2＋（b ＋2）2，
于是问题转化为PQ 的最大、最小值．
如图所示，当P 与A 或B 重合时，PQ 取得最大值： （－2－1）2＋（－2－0）2＝13.
当PQ ⊥AB 时，PQ 取得最小值，此时PQ 为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.
则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2＋（－2）－1|12＋12＝52＝52
2，∴(a ＋2)2＋(b ＋
2)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
252，13.。