高考数学二轮复习复杂数列的通项公式求解问题学案(全国通用)

专题01 复杂数列的通项公式求解问题
一．方法综述
数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.
二．解题策略
类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题
【例1】
【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．
【答案】12
【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1⋯⋯=j A j 的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(⋯⋯=i A ij ，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.
2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明
确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，
j 代表列.例如：34a 表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先
抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.
【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015n a =，则n =__________．
【答案】1030
类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y L L
顺次为直线11
412
y x =
+
上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x L L 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.则数列{}n x 的通项公式为____________.
【答案】,(1,(n n a n x n a n -⎧=⎨+-⎩为偶数）
为奇数）
【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列n A 的通项公式，求点列n B 的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.
【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列111,2A ⎛
⎫-
⎪⎝⎭，2212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3313,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，1,(1)2n n n A n ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，…，其中n 是正整数.连接12A A 的直线与x 轴交于点()11,0B x ，连接23A A 的直线与x 轴交于点()22,0B x ，…，连接1n n A A +的直线与x 轴交于点(),0n n B x ，….则数列{}n x 的通项公式为___________.
【解析】直线1n n A A +的斜率为11
121(1)(1)3(1)222n n n n n n k ++++---=-=， 所以111(1)3(1):()22n n n n n n A A y x n +++-⋅--=-，2
3
n
x n =+. 【答案】23
n x n =+
& 类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题
【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()()
*11n n n f S f a f a n N =++-∈，
其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（ ）
A.
1
36
B. 9
C. 18
D. 36
【答案】C
【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n 项和之间的关系以及公式
()12n n n a S S n -=-≥的应用，属于难题.已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；
（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.
【举一反三】【北京西城35中2017届高三上期期中数】已知()112F x f x ⎛
⎫
=+
- ⎪⎝⎭
是R 上的奇函数， ()()()
*
12101n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++
+++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
． A. n a n = B. 2n a n = C. 1n a n =+ D. 223n a n n =-+ 【解析】∵()112F x f x ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭是奇函数，∴11022F F ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x =， ()1112F f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
令12x =-
， ()1012F f ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，∴()()012f f +=，∴()()1012a f f =+=，& 令112x n =
-，∴11112F f n n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令112x n =-，∴11112n F f n n -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∵1111022F F n n ⎛⎫⎛⎫
-+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112n f f n n -⎛⎫
⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得222n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 332n f f n n -⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，∴1221(n n a n n N n +-=+⨯=+∈）， 故选C &
【答案】C
类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题
【例4】【重庆市第一中2018届高三上期第一次月考】我们把满足
的数列
叫做牛顿数列，
已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（ ）
A.
B.
C. D.
【答案】C
【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求
得 即数列{a n }是以2为公比的等比数列，又
a 1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．
【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中、旅顺第二高级中、大连市第三中2018届高三第二次联考】设数列{}
n a
中， 1122
2,,1
1
n n n n n a a a b a a ++==
=+-， *n N ∈，则数列{}n b 的通项公式为__________． 【解析】1112
2
21242
22211111
n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++++=
===⨯=--+--+， 所以2q =， 12b =，所以12n n b +=.& 【答案】1
2
n +
类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题
【例5】【2017届浙江省杭州地区（含周边）重点中联考】设数列{}n a 满足12
3
a =，且对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤， 452n n n a a +-≥⨯,则2017a =_________
【答案】2017
23
【答案】2017
23
【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即452n n n a a +-=⨯，然后经过恰当的变形，将求2017a 的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项
数，这是比较容易出现错误的地方.
【举一反三】【福建省莆田第六中2017届高三下期第一次模拟】已知各项都为整数的数列{}n a 中， 12a =，且对任意的*N n ∈，满足1n n a a +-<
1
22
n +
， 2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a =__________． 【答案】2017
2
类型六 下标为n a 形式的数列通项公式问题
【例6】【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 的公比为()
*,q n q N ∈，设{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若21n n q T S +=，则n a __________． 【答案】21n a n =-
【解析】()21112
22n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭， ()1111111n n n b q b b
T q q q q -==-⋅---，
因为21n n q T S +=，所以
2211111122n n n b b d d q q a q q q ⎛
⎫-⋅+=+- ⎪--⎝
⎭，这是关于n 的恒等式，所以1
11101{02
12
b q
d
a b d q +=--=-=-，解得12{1d a ==，所以()12121n a n n =+-=-．&
【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系21n n q T S +=，这是一个关于正整数n 的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前n 项用基本量表示，并化已知等式为n
q 的恒等式，利用恒等式的知识求解1,a d ． 【举一反三】【2018届安徽皖江名校联盟12月份联考改编】等差数列
和等比数列
的各项均为正整数，
且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，
.则}{n b 的通项公式____________.
【答案】14-=n n b。