初三上数学课件(沪科版)- 专题突破九 相似在几何证明与计算中的应用

类型三 证明线段平行 3．如图，△ACB 为等腰直角三角形，点 D 为斜边 AB 上一点，连接 CD， DE⊥CD，DE＝CD，连接 AE.求证：AE∥BC.
解：作 CO⊥AB 垂足为 O，证△ACO∽△ECD，∴CAOC＝CCDE.∵∠ACE＝∠ OCD，∴△ACE∽△OCD，∴AE∥BC.
类型四 求比值 4．如图，矩形 ABCD，点 O 在对角线 AC 上，过点 O 作 EF⊥AC 交 AB 于 E 点，交 AD 于点 F 点．
类型七 求面积或面积比 7．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，点 E 为 AB 中点，BD⊥CE，垂足为 M. (1)求证：CM＝4EM； (2)连接 AM 交 BC 于 G 点，求MAMG的值； (3)求SS△△CAMMGD.
(1)证明：EBMM＝BCMM＝BBEC＝12；
类型一 证明角相等 1．如图，在△PBC 中，∠PCB＝90°，DA⊥PB 于 A 点，连 AC、BD 相交 于 E 点．求证： (1)△PAD∽△PCB； (2)∠PCA＝∠PBD； (3)△ADE∽△BCE. 证明：(1)略； (2)由(1)知PPAC＝PPDB.又∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBD，∴∠PCA＝∠PBD； (3)△CDE∽△BAE⇒DAEE＝BCEE⇒△ADE∽△BCE.
(2)解：设 EM＝1，△ABD≌△BCE，∴BD＝CE，∴BM＝2，DM＝3.△ADM ∽△GBM，∴MAMG＝DBMM＝32；
(3)解：∵ABDF＝MAMG＝32，∴ACDG＝34，过 M 作 NH∥AB 交 AD 于 N，交 BC 于 H，∴MMHN＝MAMG＝32，∴SS△ △CAMMGD＝89.
(1)求证：△AEF∽△BCA； (2)若OOAC＝14，BC＝2AB，求DAFF.
解：(1)略； (2)过 C 点作 CM⊥AC 交 AD 的延长线于 M 点．∵△CDM∽△ACD，设 CD ＝2m，AD＝4m，∴DM＝m.又∵OF∥CM⇒AAOC＝AAMF ⇒A5mF＝15⇒AF＝m.∴ DAFF＝13.
类型五 求线段长 5．如图，在▱ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，且 DF＝BE.EF 与 CD 交于点 G. (1)求证：BD∥EF； (2)若DGGC＝23，BE＝4，求 EC 的长． (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴DF∥BE.又∵DF ＝BE，∴四边形 BEFD 是平行四边形，∴BD∥EF； (2)解∵四边形 BEFD 是平行四边形，∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG ∽△CEG，∴DGGC＝DCEF，∴CE＝DFD·GCG＝4×32＝6.
类型九 求坐标 9．如图，抛物线 y＝－2x2＋4x 与 x 轴交于 O、B 两点，C 为顶点，点 P 为 抛物线上一点，且△OPC 是以 OC 为直角边的直角三角形，求 P 点坐标．
解：C(1,2)，分两种情况：①作 OP1⊥OC，交抛物线于 P1，作 P1M⊥y 轴于 M，CN⊥y 轴于 N，证△OP1M∽△OCN，∴PO1MM＝OCNN＝12.设 P1(－2m，m)， ∴－2(－2m)2＋4(－2m)＝m，∴m＝－98，∴P1(94，－98)；②作 P2C⊥OC 交 抛物线于 P2，作 P2E⊥CN 于 E.同①可得 P2(54，185)．
类型六 证垂直 6．如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个 小正方形的顶点叫做格点，△ACB 和△DCE 的顶点 都在格点上，ED 的延长线交 AB 于点 F. (1)求证：△ACB∽△DCE； (2)求证：EF⊥AB.
证明：(1)∵DACC＝32，BCCE＝64＝32，∴DACC＝CBEC，又∠ACB＝∠DCE＝90°，∴ △ACB∽△DCE； (2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC，又∵∠ABC＋∠A＝90°，∴∠ DEC＋∠A＝90°，∴∠EFA＝90.∴EF⊥AB.
类型二 证明线段成比例 2．如图，在▱ABCD 中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为 M、N.
(1)求证：△AMB∽△AND； (2)求证：AAMB ＝MACN. 证明：(1)略；
(2)证AAMN ＝AADB ＝ABBC.∵∠B＋∠BCD＝180°，∠MAN＋∠BCD＝180°，∴∠ B＝∠MAN.∴△AMN∽△ABC，∴AAMB ＝MACN.
类型八 求线段之积 8．如图，Rt△ABC 中，AC⊥BC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AD 交 AB 于点 E，M 为 AE 的中点，BF⊥BC 交 CM 的延长＝3，求 BE·AC 的值．
(1)证明：连接 DM，证 AM＝EM＝DM，DM⊥BC.∴ABCF＝ABMM＝CBDD； (2)解：∵BAMM＝BCDD＝43.设 BM＝4x，AM＝3x＝DM，∴BE＝x，∴(3x)2＋42 ＝(4x)2，∴x2＝176，∵DAMC ＝BBDC＝47，∴AC＝241x，∴BE·AC＝241x2＝12.