【全国百强校】湖南省湖南师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期第二次阶段性检测理数试题(原卷版)

湖南师大附中2015-2016学年度高二第一学期第二次阶段性检测
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合{}02<-=x x x A ，{}
0log 2≤=x x B ，则=B A ( )
A.(0,1)
B. ]1,(-∞
C.]1,0(
D.)1,0[
2.下列说法正确的是( )
A.“若0a b ⋅=，则a b ⊥”的否命题是“若0a b ⋅≠，则a b ⊥”
B.命题“对R x ∈∀，恒有012>+x ”的否定是“R x ∈∃0，使得0120≤+x ”
C.R m ∈∃，使函数)()(2R x mx x x f ∈+=是奇函数
D.设p ，q 是简单命题，若q p ∨是真命题，则q p ∧也是真命题
3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( ) A.52+ B.522+ C.34 D.3
2
4.“x >a ”是“x >-1”成立的充分不必要条件( )
A.a 的值可以是2
1- B.a 的值可以是-1 C.a 的值可以是-2 D.a 的值可以是-3
5.函数1)4(cos )4(sin )(22--++=π
πx x x f 是( ) A 周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为2π的奇函数
6.已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是( )
A.数列{}n a 的各项均为正数
B.数列{}n a 中必有小于2的项
C.数列{}n a 的公比必是正数
D.数列{}n a 中的首项和公比中必有一个大于1
7.已知函数)10(1≠>=-a a a y x ，且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y=mx+n 的图象上，其中m ，n>0，则n
m 11+的最小值为( ) A.1 B.2 C.2 D.4
8.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2
3，双曲线12222=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为( ) A.12822=+y x B.161222=+y x C.141622=+y x D.15
202
2=+y x 9.设等差数列{}n a 满足171053a a =，且01>a ，n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项是( )
A.26S
B.27S
C.28S
D.29S
10.若对于任意的]0,1[-∈x ，关于x 的不等式0232≤++b ax x 恒成立，则122-+b a 的最小值为( ) A.54 B.53 C.35 D.4
5 11.在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+，若23OP <
，则OA 的取值范围是( ) A.]314,0( B.]2,314( C.]5,25( D.]7,2
7( 12.给出以下命题①若a >b >0，d <c <0，
d b c a <；②如果21214q q p p ≥⋅，则关于x 的实系数二次方程0112=++q x p x ，0222=++q x p x 中至少有一个方程有实根；③若Z k k x ∈≠,π，则2sin 1sin ≥+
x x ；④当]2,0(∈x 时，x
x x f 1)(-=无最大值.其中真命题的序号是( )
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①③④
第Ⅱ卷（共90分）
二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若数列{}n a 的前n 项和为3
132+=n n a S ，则数列{}n a 的通项公式是=n a _______. 14.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥10
2211y x x y x ，向量(2,)a y x m =-，(1,1)b =-，且b a ∥，则m 的最小值为_____. 15.已知抛物线)0(22
>=p px y 上一点M （1，m ）（m>0）到其焦点的距离为5，双曲线122
=-y a x 的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与其直线AM 平行，则实数a 等于_____.
16.已知f (x )是定义在[-2,2]上的奇函数，当]2,0(∈x 时，12)(-=x x f ，函数m x x x g +-=2)(2
，如果对于任意]2,2[1-∈x ，存在]2,2[2-∈x ，使得)()(12x f x g =，则实数m 的取值范围是______. 三.解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列.
(1)若b =13，a =3，求c 的值；
(2)设t =sinAsinC ，求t 的最大值.
18.（本小题满分10分）
在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2.
(1)证明DF ⊥平面ABE ；
(2)求二面角A-BD-E 的余弦值
.
19.（本小题满分12分）
已知点A ，B 的坐标分别是)0,21(-,)0,21(,直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是-1.
(1)过点M 的轨迹C 的方程；
(2)过原点作两条互相垂直的直线1l .2l 分别交曲线C 于点A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值.
20.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是递增的等比数列，满足41=a ，且
34
5a 是2a .4a 的等差中项，数列{}n b 满足11+=+n n b b ，其前n 项和为n S ，且442a S S =+.
(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)数列{}n a 的前n 项和为n T ，若不等式n b T n n n 37)4(log 2≥+-+λ对一切+∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.
21.（本小题满分13分） 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为2
3，其长轴长与短轴长的和等于6. (1)求椭圆E 的方程；
(2)如图，设椭圆E 的上.下顶点分别为1A ，2A ，P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，直线1PA .2PA 分别交x 轴于点N. M ，若直线OT 与过点M.N 的圆G 相切，切点为T.证明：线段OT 的长为定值.
22.（本小题满分13分）
已知函数f(x)，如果存在给定的实数对),(b a ，使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称f(x)为“Γ-函数”.
(1)判断函数x x f =)(1，x x f 3)(2=是否是“Γ-函数”；
(2)若x x f tan )(3=是一个“Γ-函数”，求出所有满足条件的有序实数对(a ,b )；
(3)若定义域为R 的函数f(x)是“Γ-函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当]1,0[∈x 时，f(x)的值域为[1,2]，求当]2016,2016[-∈x 时函数f (x )的值域.
高考一轮复习：。