《平面与平面平行的性质》教学设计、导学案、同步练习

《8.5.3 平面与平面平行》教学设计
第2课时平面与平面平行的性质
【教材分析】
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课平面与平面平行的性质。

空间中平面与平面之间的位置关系中,平行是一种非常重要的位置关系,它不仅应用多,而且是空间问题平面化的典范。

空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法,面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法,所以本节在立体几何中古有重要地位。

本节重点是平面与平面平行的性质定理及其性质定理的应用。

【教学目标与核心素养】
A.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；
B.进一步培养学生观察、发现的能力和空间想
象能力。

【教学重点】：两个平面平行的性质定理；
【教学难点】：平面与平面平行的性质定理的应用。

【教学过程】
【答案】异面或平行 1.
2.平面与平面平行的判定定理： 两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
简记：面面平行，则线线平行。

符号语言：
3.面面平行的其它一些性质：
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线必平行于另一个平面；
2、平行于同一平面的两平面平行；
3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行； 例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等. 已知:平面//平面,AB 和DC 为夹在、 间的平行线段。

//,//a b a b
αβγαβαγβγ⋂=⋂=已知平面，，，，。

求证：b a b a //,//⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
==γβγαβα αβαβ
求证：AB=DC。

①②③
3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
【答案】D
【解析】由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．
4.如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.
求证：BC＝2EF.
【证明】因为平面EFG∥平面BCD，
平面ABD∩平面EFG＝EG，
平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，
又G为AD的中点，故E为AB的中点，
同理可得，F为AC的中点，
所以BC＝2EF.
【教学反思】
平面与平面平行的性质定理，应借助模型，让学生去理解，通过模型、习题练习巩固直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的互相转化。

《8.5.3 平面与平面平行》导学案 第2课时 平面与平面平行的性质
【学习目标】
1.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；
2.进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

【教学重点】：两个平面平行的性质定理； 【教学难点】：平面与平面平行的性质定理的应用。

【知识梳理】
平面与平面平行的性质定理： 【学习过程】 一、探索新知
探究：若α//β，直线l 在α内，直线n 在β内，则直线l 与直线n 的位置关系如何？
平面与平面平行的性质定理： 简记为： 。

符号语言：
面面平行的其它一些性质：
1、若两个平面互相平行，则其中一个平面中的直线必 于另一个平面；
//,//a b a b
αβγαβαγβγ⋂=⋂=已知平面，，，，。

求证：
2、平行于同一平面的两平面；
3、过平面外一点有且只有一个平面与这个平面。

例1. 求证: 夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.
αβαβ
已知:平面//平面,AB和DC为夹在、间的平行线段。

求证：AB=DC。

【达标检测】
1.下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确的命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面或相交
3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
4.如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.
求证：BC ＝2EF .
参考答案： 探究：异面或平行
1.
平面与平面平行的判定定理： 两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
简记：面面平行，则线线平行。

符号语言：
3.性质： 平行 平行 平行 例1.
达标检测
b a b a //,//⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
==γβγαβα
1.【答案】 C
【解析】 根据面面平行的性质知①②③正确，故选C. 2.【答案】D
【解析】如图①②③所示，a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．
① ② ③ 3.【答案】D
4.【解析】由于α∥β，a ⊂α，M ∈β，过M 有且只有一条直线与a 平行，故D 项正确． 【证明】 因为平面EFG ∥平面BCD ， 平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，
平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG ∥BD ， 又G 为AD 的中点，故E 为AB 的中点， 同理可得，F 为AC 的中点， 所以BC ＝2EF .
《8.5.3 平面与平面平行》同步练习 第2课时 平面与平面平行的性质
一、选择题
1．，则与位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面
C ．相交
D ．平行或异面或相交
2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是（ ） A ．两两相互平行 B ．两两相交于一点
C ．两两相交但不一定交于同一点
D ．两两相互平行或交于同一点
,,a b αβαβ//////a b
3．如图，在多面体中，平面平面 ，且
，则 ( )
A ．平面
B ．平面
C ．
D ．平面平面
4．如图所示，已知正方体的棱长为3，点在上，且，记图中阴影平面为平面，且平面平面.若平面平面，则的长为（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．3
5.（多选题）已知直线，两个不重合的平面.若//，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A.与内的所有直线平行；
B.与内的无数条直线平行；
C.与内任何一条直线都不垂直；
D.与没有公共点. A ．①②
B ．②④
C ．②③
D ．③④
6．（多选题）已知平面平面，是，外一点，过点的直线与，分别交于，两点，
过点的直线与，分别交于，两点，且，，，则的长为（ ）
A ．16
B ．24
C ．14
D ．
ABC DEFG -//ABC ,//DEFG EF DG ,2AB DE DG EF =
=//BF ACGD //CF ABED //BC FG //ABED CGF 1111ABCD A B C D -E 11A B 11B E =αα1BC E α111AA B B A F =
AF
a ,αβαβa α⊂a βa βa βa β//αβP αβP m αβ
A C P n αβ
B D 6PA =8PD =9A
C =B
D 24
5
二、填空题
7．如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面
所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________.
8．如图所示，是所在平面外一点，平面∥平面，分别交线段
于，若，则
________.
9．如图，平面平面平面，两条异面直线分别与平面相交于点
和点，已知cm ，，，则_______.
10. 已知直线//平面，平面//平面，则直线与平面的位置关系为________ 或 。

1111ABCD A B C D -1B 1D AB P ABCD l l 11B
D P ABC αABC αPA PB PC ，，A B C '''，，:2:3PA AA '
'
=A B C ABC
S S '''∆∆
=αβ∥γ,l m ,,αβγ,,A B C ,,D E F 2AB =3BC cm =4DE cm =EF
=a ααβa β
三、解答题
11.如图，多面体中，、、两两垂直，平面平面，平面平面，，.
（1）证明：四边形是正方形；
（2）判断点、、、是否共面，并说明理由.
12.如图，已知α∥β，点P 是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB 、PD 分别与α、β相交于点A 、B 和C 、D .
(1)求证：AC ∥BD ；
(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长．
《8.5.3 平面与平面平行》同步练习答案解析
第2课时 平面与平面平行的性质
一、选择题
1．，则与位置关系是 ( )
A ．平行
B ．异面
C ．相交
D ．平行或异面或相交
【答案】D
【解析】
结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交． ABCGDEF AB AC AD //ABC DEFG //BEF ADGC 2AB AD DG ===1AC EF =
=ABED B C F
G ,,a b αβαβ//////a b
选D ．
2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是（ ）
A ．两两相互平行
B ．两两相交于一点
C ．两两相交但不一定交于同一点
D ．两两相互平行或交于同一点
【答案】A
【解析】根据题意，作图如下：，，，
根据平面平行的性质可得，
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
∴.
同理可得其它几条交线相互平行，
故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线两两平行.
故选A.
3．如图，在多面体中，平面平面 ，且，则 ( )
//αβm αγ=n βγ
=//m n ABC DEFG -//ABC ,//DEFG EF DG ,2AB DE DG EF =
=
A ．平面
B ．平面
C ．
D ．平面平面
【答案】A 【解析】如图所示，取DG 的中点M ，连AM 、FM ，．
则由已知条件易证得四边形DEFM 是平行四边形，
∴且．
∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC ∩平面ADEB ＝AB ，平面DEFG ∩平面ADEB ＝DE ， ∴AB ∥DE ，
∴AB ∥FM ．
又AB ＝DE ，
∴AB ＝FM ，
∴四边形ABFM 是平行四边形，
∴BF ∥AM ．
又BF 平面ACGD ，AM 平面ACGD ，
∴BF ∥平面ACGD ．选A ．
4．如图所示，已知正方体的棱长为3，点在上，且，记图中阴影平面为平面，且平面平面.若平面平面，则的长为（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．3
【答案】A //BF ACGD //CF ABED //BC FG //ABED
CGF //DE FM DE FM =⊄⊂1111ABCD A B C D -E 11A B 11B E =αα1BC E α
111AA B B A F =
AF
【解析】因为平面平面，且平面平面，平面平
面，所以. 又，所以四边形是平行四边形，在棱长为3正方体中，
且，所以，所以.
故选A
5.（多选题）已知直线，两个不重合的平面.若//，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A.与内的所有直线平行；
B.与内的无数条直线平行；
C.与内任何一条直线都不垂直；
D.与没有公共点.
A ．①②
B ．②④
C ．②③
D ．③④ 【答案】BD
【解析】由面面平行的性质知A 错误；
由面面平行的性质知B 正确； 与内的直线可能异面垂直，故C 错；
由面面平行的定义知D 正确.
故选：BD.
6．（多选题）已知平面平面，是，外一点，过点的直线与，分别交于，两点，
过点的直线与，分别交于，两点，且，，，则的长为（ ）
A ．16
B ．24
C ．14
D ． 【答案】B D
【解析】因为，所以.
若在的同侧时，则有
因为，所以所以； α1BC E α
111AA B B A F =1BC E 11AA B B BE =1∥A F BE 1∥A E BF 1A EBF 1111ABCD A B C D -11B E =12A E BF ==1AF
=a ,αβαβa α⊂a βa βa βa βαβ//αβP αβP m αβ
A C P n αβ
B D 6PA =8PD =9A
C =B
D 245//αβ//AB CD P ,αβ15,=+=PC PA AC PA PB PC PD =16,5=PB 245
=-=BD PD PB
若点在之间时，则有
因为所以所以. 综上，或. 故选：BD
二、填空题 7．如图，过正方体的顶点、与棱的中点的平面与底面所在平面的交线记为，则与的位置关系为_________.
【答案】
【解析】如图所示，连接、，
在正方体中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.
故答案为：.
8．如图所示，是所在平面外一点，平面∥平面，分别交线段
P ,αβ3,=-=PC AC PA ,PA PB PC PD
=16,=PB 24=+=BD PB PD 245
BD =
24BD =1111ABCD A B C D -1B 1D AB P ABCD l l 11B
D 11//l B D 1D P 1B P 1111ABCD A B C D -//ABCD 1111D C B A 11B D P 111111A B C D B D =11B D P ABCD l =11//l B D 11//l B
D P ABC αABC α
于，若，则________.
【答案】 【解析】由图知，∵平面α∥平面ABC ，平面PAB 平面α=A B ，平面PAB 平面ABC=AB ， 得A B ∥AB ；同理得B C ∥BC ，A C ∥AC.从而.
∵PA ：AA ＝2：3，即PA ：PA ＝2：5，∴A B ：AB ＝2：5，
由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，所以S △A′B′C′：S △ABC ＝4：25． 故答案为．
9．如图，平面平面平面，两条异面直线分别与平面相交于点和点，已知cm ，，，则_______.
【答案】
PA PB PC ，，A B C '''，，:2:3PA AA ''=A B C ABC S S '''
∆∆
=425
''''''''ABC A B C '''∆∆'''''4
25αβ∥γ,l m ,,αβγ,,A B C ,,D E F 2AB =3BC cm =4DE cm =EF
=6cm
【解析】如图所示，连接交平面于点，连接.
因为，
所以直线和确定一个平面，
则平面，平面.
又，所以.
所以
.同理可证， 所以，所以， 所以cm.
故答案为
11. 已知直线//平面，平面//平面，则直线与平面的位置关系为________ 或 。

【答案】直线a 平行于平面 直线a 在平面内
【解析】平面∥平面β，直线a ∥平面α，则当a 在平面β内时，原命题成立， 若a 不在平面β内，则a 一定与平面β平行.
三、解答题
11.如图，多面体中，、、两两垂直，平面平面，平面平面，，.
（1）证明：四边形是正方形；
（2）判断点、、、是否共面，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）、、、四点共面，理由见解析.
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理，得，同理.
AF βG ,,,CF BG EG AD AC AF A ⋂=AC AF AFC AFC BG β⋂=AFC CF γ⋂=//βγ//BG CF AB AG BC GF =DE AG EF GF =AB DE BC EF =243EF =6EF =6cm a ααβa βββαABCGDEF AB AC AD //ABC DEFG //BEF ADGC 2AB AD DG ===1AC EF =
=ABED B C F G B C F G //ABC DEFG ABED ⋂ABC AB =ABED ⋂DEFG DE =//AB DE //AD BE
所以四边形为平行四边形.
又，，所以平行四边形是正方形；
（2）如图，取的中点，连接、.
因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理，得，同理，
在梯形中，，且为的中点，，， ，，则四边形为平行四边形，且. 又，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以.
为的中点，， 又，四边形为平行四边形，，. 故、、、四点共面.
12.如图，已知α∥β，点P 是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB 、PD 分别与α、β相交于点A 、B 和C 、D .
(1)求证：AC ∥BD ；
(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长．
【解析】(1)证明：因为PB ∩PD ＝P ，所以直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，所以AC ∥BD .
(2)由(1)得AC ∥BD ，所以PA AB ＝PC CD ，所以45＝3CD
， ABED AB AD ⊥AB AD =ABED DG P PA
PF //BEF ADGC EFGD ⋂BEF EF =EFGD ⋂ADGC DG =//EF DG //AC DG EFGD //EF DG P DG 1EF =2DG =//EF PD ∴EF PD =EFPD //DE PF ∴DE PF =//AB DE AB DE =//AB PF AB PF =ABFP //AP BF P DG 112PG DG AC ∴=
==//AC PG ∴ACGP //∴AP CG //BF CG ∴B C F
G
所以CD ＝154
(cm)， 所以PD ＝PC ＋CD ＝274
(cm)．。