2020-2021学年九年级上学期期末数学提高训练题 (92)(含答案解析)

2020-2021学年九年级上学期期末数学提高训练题 (92)
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列图形中是中心对称图形的是()
A. B.
C. D.
2.下列事件中必然发生的事件是()
A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形不一定全等
B. 不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C. 过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度不一定相等
D. 200件产品中有8件次品，从中任意抽取9件，至少有一件是正品
ax+a2=0的一个根，则a的值为()
3.若x=−2是关于x的一元二次方程x2−5
2
A. 1或4
B. −1或−4
C. −1或4
D. 1或−4
4.如图，C是以AB为直径的半圆上一点，D是AC⏜上的点，若∠BOC=
40°，则∠D的度数为()
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
5.若要得到函数y=(x+1)2+2的图象，只需将函数y=x2的图象()
A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
6.反比例函数y=2
的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1>x2，x1x2>0，则y1−y2的值是()
x
A. 正数
B. 负数
C. 0
D. 非负数
7.如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为()
A. 4
B. 8
C. 8√2
D. 4√2
8.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2√61，AD=10，
C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，
在点C移动的过程中，BH的最小值是()
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
9.如图，P是正方形ABCD内一点，∠APB=135∘，BP=1，AP=√7.则PC
的值()
A. √5
B. 3
C. 2√2
D. 2
10.如图，正方形ABCD的边长为4，现有一动点P从点A出发，沿A→B→C→
D→A的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点P运动的时间为t，
△APB的面积为S，则下列图象能大致反映S与t的函数关系的是()
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共10.0分）
11.若抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：________．
12.若代数式x2+(a−1)x+16是一个完全平方式，则a=______．
13.如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B.点Q为AB
上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知
PA=12cm，∠P=56°.则△PEF的周长__________；∠EOF的度数
___________．
14.如图，A、B两点在反比例函数y=k1
x
的图象上，C、D两点在反
比例函数y=k2
x
的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，
AC=2，BD=3，EF=10
3
，则k2−k1=_____．
15.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴的交点B在
(0,−2)和C(0,−1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②4a+
2b+c>0；③4ac−b2<8a；④1
3<a<2
3
；⑤b<c.其中含所有正确结论的选项是______．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）
16.解下列方程：
(1)x2−6x−3=0；
(2)(x−2)2=2x−4．
17.如图线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转
90°得到线段AC．
(1)请你用尺规在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；
(2)线段AB在旋转到线段AC的过程中，求线段AB扫过的区域的面积；
(3)若有一张与(2)中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个几何体的侧面，求该几何体底
面圆的半径．
(k≠0)相交于A(−3,a)，B两18.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与双曲线y=k
x
点．
(1)求k的值；
(2)过点P(0,m)作直线l，使直线l与y轴垂直，直线l与直线AB交于点M，与双曲线y=k
交于
x 点N，若点P在点M与点N之间，直接写出m的取值范围．
19.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
(1)以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心.(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
(3)若AB=8，BD=4，求⊙O的半径．
20.某省2019新中考方案规定：语文、数学、外语、体育四门为必考科目；历史、政治、物理、化
学、地理、生物6门为选考科目．选考科目采取“6选3”模式，具体规定是：物理、化学中选一门；政治、历史中选一门；地理、生物中选一门.问：
(1)选考科目中共有多少种不同的选考结果，并用树形图表示；
(2)从(1)的结果中随机选择一种，求该结果同时包含生物和历史的概率．
21.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，通过一段时间的摸索，
该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．
(1)你能帮助店主设计一种方案，使得每天的利润达到700元吗⋅
(2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大⋅最大利润是多少⋅
22.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接
DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点
(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=6，AB=12，请直接写出△PMN面积的最大值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.答案：D
解析：解：一个图形平移后所得的图形与原来的图形一定全等，A是不可能事件；
不等式的两边同时乘以一个数0，结果不是不等式，B是随机事件；
过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度一定相等，C是不可能事件；
200件产品中有8件次品，从中任意抽取9件，至少有一件是正品，D是必然事件；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.答案：B
解析：
本题主要考查了一元二次方程的解的定义及因式分解法解一元二次方程，将x=−2代入关于x的一ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．
元二次方程x2−5
2
ax+a2=0的一个根，
解：∵x=−2是关于x的一元二次方程x2−5
2
∴4+5a+a2=0，
∴(a+1)(a+4)=0，
解得a1=−1，a2=−4，
故选B．
4.答案：B
解析：
此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．
解：∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=180°−40°=140°，
×(360°−140°)=110°，
∴∠D=1
2
故选B．
5.答案：B
解析：
本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键.找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．
解：∵抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(−1,2)，抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，
∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=(x+1)2+ 2．
故选B．
6.答案：B
解析：
本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键．
先根据k>0、x1>x2，x1x2>0，判断出反比例函数所在的象限，再根据反比例函数的性质判断出y1、y2的大小．
解：∵k>0．
∴图象分别位于第一、三象限，
又∵在每个象限内y随x的增大而减小，x1>x2，x1x2>0，
故y1<y2，
∴y1−y2的值为负数．
故选：B．
7.答案：D
解析：解：如图所示：
∵⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴AB=√OA2+OB2=4√2．
故选：D．
利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．
此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键．
8.答案：D
解析：
本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM.由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小即可．
解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=√(2√61)2−102=12，
BM=√BD2+DM2=√122+52=13，
∴BH的最小值为BM−MH=13−5=8．
故选：D．
9.答案：B
解析：
此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，掌握这些性质与定理是关键.把△PBC绕点B逆时针旋转90∘得到△ABP′(点C的对应点C′与点A重合)，得到AP′=PC，BP′=BP=1，△PBP′是等腰直角三角形，即∠P′PB=45∘，得到P′P=√12+12=√2，根据∠APB= 135∘，得到∠APP′=∠APB−∠P′PB=135∘−45∘=90∘，在Rt△APP′中，利用勾股定理得到AP′=√AP2+P′P2=√(√2)2+(√7)2=√9=3，即可得到PC的值．
解：如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90∘得到△ABP′(点C的对应点C′与点A重合)，
∴AP′=PC，BP′=BP=1，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
即∠P′PB=45∘，
P′P=√12+12=√2，
∵∠APB=135∘，
∴∠APP′=∠APB−∠P′PB=135∘−45∘=90∘，
在Rt△APP′中，
AP′=√AP2+P′P2=√(√2)2+(√7)2=√9=3，
∴PC=3，
故选B．
10.答案：D
⋅t⋅0=0；
解析：解：当点P在AB上运动时，即0≤t≤4，S=1
2
×4×(t−4)=2t−8；
当点P在BC上运动时，即4<t≤8，S=1
2
×4×4=8；
当点P在CD上运动时，即8<t≤12，S=1
2
×4×(16−t)=−2t+32；
当点P在DA上运动时，即12<t≤16，S=1
2
符合以上四种情况的函数图象为D选项，
故选：D．
分点P在AB、BC、CD、DA上运动这四种情况，根据三角形面积公式列出函数解析式，由函数解析式即可得出函数图象．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想能得到各段三角形面积的变化规律．
11.答案：2
解析：
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，能根据已知得出关于c的不等式是解此题的关键.根据抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点得出b2−4ac=22−4×1×c<0，求出不等式的解集，再取一个范围内的数即可．
解：因为要使抛物线y=x2+2x+c与x轴没有交点，必须b2−4ac=22−4×1×c<0，
解得：c>1，
取c=2．
故答案为2．
12.答案：9或−7
解析：解：∵x2+(a−1)x+16是一个完全平方式，
∴a−1=±8，
解得：a=9或−7，
故答案为：9或−7
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.答案：24；62°
解析：
本题主要考查对切线长定理的理解和掌握，能根据切线长定理得出PA=PB，FB=FQ，EQ=EA是解此题的关键．解题时，运用整体求值的方法分别得出△PEF的周长是PA+PB，∠EOF的度数为∠AOB的度数的一半．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，
∴PA=PB=12，
∵过Q点作⊙O的切线，交PA，PB于E，F点，
∴FB=FQ，EQ=EA，
∴△PEF的周长是：PE+EF+PF=PE+EQ+FQ+PF=PE+EA+PF+FB=PB+PA=12+ 12=24；
∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=56°，
∴∠AOB=124°，
∵过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点，
∴∠AEO=∠QEO，∠EAO=∠EQO=90°，
∴∠AOE=∠QOE，
同理∠BOF=∠QOF，
∠AOB=62°．
∴∠EOF=∠EOQ+∠FOQ=1
2
故答案为24；62°．
14.答案：4
解析：
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解答此题，由反
比例函数的性质可知，S△AOE=S△BOF=1
2|k1|=−1
2
k1，S△COE=S△DOF=1
2
k2，从而可求解答案．
解：连接OA、OC、OD、OB，如图：
由反比例函数的性质可知
S△AOE=S△BOF=1
2|k1|=−1
2
k1，S△COE=S△DOF=1
2
k2，
∵S△AOC=S△AOE+S△COE，
∴1
2AC⋅OE=1
2
×2OE=OE=1
2
(k2−k1)①，
∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，
∴1
2
BD⋅OF=
1
2
×3(EF−OE)=
1
2
×3(
10
3
−OE)
=5−3
2OE=1
2
(k2−k1)②，
由①②两式解得OE=2，则k2−k1=4．
故答案为4．
15.答案：①③④
解析：
本题考查二次函数图象与系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①由抛物线开口向上，则a>0，对称轴为x=1，因此b<0，且2a+b=0，−2<c<−1，因此abc>0，①是正确的；
②当x=2时，y=4a+2b+c<0，因此②不正确，
③由b2−4ac>0，推出4ac−b2<0，
∵8a>0，4ac−b2<8a，因此③正确；
④∵图象与x轴交于点A(−1,0)和(3,0)，
∴ax2+bx+c=0的两根为−1和3，
∴−3=c
a
，
∴c=−3a，
∴−2<−3a<−1，
∴1
3<a<2
3
；故④正确；
⑤抛物线过(−1,0)，a−b+c=0，即，b=a+c，因为a>0，所以b>c，因此⑤不正确；故答案为①③④．
16.答案：解：(1)x2−6x−3=0，
x2−6x=3，
x2−6x+9=3+9，即(x−3)2=12，
∴x−3=±2√3，
∴x1=3+2√3，x2=2−2√3；
(2)(x−2)2=2x−4，
(x−2)2−2(x−2)=0，
(x−2)(x−2−2)=0，
∴x−2=0或x−4=0，
∴x1=2，x2=4．
解析：本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
(1)利用配方法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
17.答案：解：(1)线段AC及点B经过的路径，如下图所示，
(2)此过程中，线段AB 扫过的区域的面积为一个扇形，
AB =√32+42=5，
根据扇形公式计算线段AB 扫过的区域的面积=
90⋅π⋅52360=254π； 故面积为 254π.
(3)设圆锥的底面圆的半径为r ，
根据题意得2πr =90⋅π⋅5180， 解得r =54， 即圆锥的底面圆半径为54.
故半径为54．
解析：本题考查了旋转变换作图以及扇形面积和圆锥半径的计算．根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
(1)利用旋转的性质画图，其中弧BC 为点B 经过的路径；
(2)先利用网格的特点和勾股定理计算出AB =5，然后根据扇形的面积公式求解；
(3)圆锥的底面圆的半径为r ，利用圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长为底面圆的周长和弧长公式得到2πr =90⋅π⋅5180，然后解关于r 的方程即可．
18.答案：解：(1)当x =−3，y =2×(−3)+4，则y =−2，
∴A(−3,−2)，
∵点A(−3,−2)在双曲线y =k x (k ≠0)上，
∴k =−3×(−2)=6；
(2)如图所示：
当点P在点M与点N之间，m的取值范围是0<m<4．
解析：(1)把A横坐标代入一次函数解析式求出纵坐标，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
(2)根据题意画出直线，根据图象确定出点P在点M与点N之间时，m的取值范围即可．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19.答案：解：(1)如图⊙O即为所求；
(2)结论：相切．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠CAD，
∴OD//AC，
∴∠BDO=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
(3)设OA=OD=x，
在Rt△BDO中，∵OD2+BD2=OB2，
∴x2+42=(8−x)2，
∴x=3，
∴⊙O的半径为3．
解析：本题考查作图−复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)作AD的中垂线与AB交于点O，以O为圆心OA为半径作⊙O即可；
(2)结论：相切．只要证明OD⊥BC即可；
(3)设OA=OD=x，在Rt△BDO中，根据OD2+BD2=OB2，构建方程即可解决问题；
20.答案：解：(1)8种选考方案，分别是：
(2)P=2
8
=
1
4
.
解析：本题主要考查概率的知识，关键是知道用树状图求概率的方法．
(1)画出树形图，找出选考的种数；
(2)计算该结果同时包含生物和历史的概率．
21.答案：解：(1)设涨价x元，
(10+x−8)(200−20x)=700，
解得x1=3，x2=5，
∴此时的售价为10+3=13或10+5=15，
答：售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；
(2)利润为：(10+x−8)(200−20x)=−20x2+160x+400=−20(x−4)2+720，当涨价4元时即售价为14元时，利润最大，为720元．
解析：本题考查一元二次方程的应用；得到涨价后的销售量及把所给利润的关系式进行配方是解决本题的难点．
(1)每件涨0.5元，其销量就减少10件．那么涨价1元，销量就减少20件．
设涨价x元，每件的利润=10+x−8，销售量为：(200−20x)件，利润=每件的利润×相应的数量，把相关数值代入计算即可；
(2)根据(1)得到的利润配方整理为a(x−ℎ)2+k可得应涨价的价格和最大利润．
22.答案：解：(1)PM=PN；PM⊥PN；
(2)△PMN是等腰直角三角形，
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=1
2BD，PM=1
2
CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同(1)的方法得，PM//CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同(1)的方法得，PN//BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC，=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC，
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
(3)方法1：如图2，
同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE//BC且DE在顶点A上面，
∴MN
最大
=AM+AN，连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=6，∠DAE=90°，
∴AM=3√2，在Rt△ABC中，AB=AC=12，AN=6√2，
∴MN
最大
=3√2+6√2=9√2，
∴S
△PMN最大=1
2
PM2=1
2
×1
2
MN2=1
4
×(9√2)2=81
2
，
方法2：由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1
2
BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD=AB+AD=18，
∴PM=9，
∴S
△PMN最大=1
2
PM2=1
2
×92=81
2
．
解析：
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；
解(1)的关键是判断出PM=1
2CE，PN=1
2
BD，
解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE，
解(3)的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．属难题．
(1)利用三角形的中位线得出PM=1
2CE，PN=1
2
BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用
三角形的中位线得出PM//CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同(1)的方法得出PM=1
2BD，PN=1
2
BD，即可得出PM=
PN，同(1)的方法即可得出结论；
(3)方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，
最后用面积公式即可得出结论．
方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．
解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN//BD，PN=1
2
BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM//CE，PM=1
2
CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN//BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM//CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为PM=PN，PM⊥PN；
(2)见答案；
(3)见答案．。