专题07 动点中特殊三角形存在性的勾股求解(试题解析)

专题07 动点中特殊三角形存在性的勾股求解
【题型一】等腰三角形存在性（求坐标）
【例1－1】（2020·山西太原期中）如图，平面直角坐标系中，点P，Q的坐标分别为（0,2），（4,0），连接PQ．
（1）若点M是x轴负半轴上的一点，且MQ=PQ，则点M的坐标为________．
（2）若点M是y轴上的一点，且MP=MQ，则点M的坐标为________．
【答案】（1）（4-0），（2）（0，-3）.
【解析】解：（1）如图，MQ=PQ=
∴点M的坐标为（4-，0）．
（2）如图，设OM =x ，则MP 2=MQ 2，得：
（x +2）2=x 2+42，解得：x =3
故点M 的坐标为（0，-3）．
【变式1－1】（2020·宿迁市期中）如图，已知点B 在数轴负半轴上，O 为原点，点A 在过O 且垂直于数轴的直线上，∠BAO ＝60°，AB ＝4，点C 在数轴上，当ΔABC 是以AB 为腰的等腰三角形时，点C 表示的数为_________．
【答案】4-或【解析】解：∵OA ⊥OB ，∠BAO =60°，AB =4，
∴△OAB 为直角三角形，∠ABO =30°，
∴OA =12
AB =2，OB ==
①当AB =AC 时，
∵AB =AC ，OA ⊥OB ，
∴OC = OB =
∴点C 表示的数为：
②当AB =BC 时，
∵AB =BC =4，
∴OC = OB + BC =4，
∵点C 在数轴负半轴上，
∴点C 表示的数为：4-；
故答案为： 4-或
【题型二】等腰三角形存在性（求时间）
【例2－1】（2020·浙江杭州市期中）在Rt ABC 中，∠C =90°，8cm BC =，
6cm AC =，在射线BC 上有一动点D 从点B 出发，以2cm /s 的速度匀速运动，若点D 运动()t s 时以点A ，D ，B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_________s ． 【答案】258
，5，8. 【解析】解：①当AD =BD 时，
在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AD 2=AC 2+CD 2，即BD 2=(8-BD )2+62，
解得：BD =
254cm ， 则t =BD ÷2=258
秒； ②当AB =BD 时，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =10，t =AB ÷
2=5 秒.
③当AD=AB时，BD=2BC=16，t=BD÷2=8秒
故答案为：25
8
，5，8．
【变式2－1】（2020·江阴月考）如图，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．
（1）求BD的长；
（2）求运动时间t为多少秒时，PQB
△为以BP为底的等腰三角形？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=10.
（2）过点Q作QS⊥FE于S，则PS=2t-t=t，
在Rt△PSQ中，PQ2=62+t2，
当QB=QP时，BQ=8-t，
即62+t2=（8-t）2
解得：t =
74
； 运动时间t 为74秒时，△PBQ 为以BP 为底的等腰三角形． 【题型三】等腰三角形存在性（动点往返运动）
【例3－1】（2020·四川成都期中）如图，ABC 中，90,8cm,6cm C AC BC ︒∠===，
若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿A C B A →→→运动，设运动时间为(0)t t >秒．
图1 备用图 备用图
（1）若点P 恰好运动到BC 的中点，求t 的值．
（2）若△CBP 为等腰三角形，求t 的值．
【答案】见解析.
【解析】解：在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6
由勾股定理得：AB =10cm .
（1）点P 的运动路程：AC +0.5BC =8+3=11，
运动时间为11÷
2=5.5 s . （2）①P 从A →C ，0<t <4时，
此时∠C =90°，BC =CP 1=6，AP 1=2，t =1 s .
②P 从C →B 时，4≤t ≤7，△CBP 不存在
③P 从B →A 时，7＜t ≤12
（i ）当BC =CP 2=6时，过C 作CH ⊥AB 于H ，
由CH·AB=BC·AC得：CH=24 5
由勾股定理得BH=18 5
BP2=2BH=36 5
t=（8+6+36
5
）÷2=10.6 s.
（ii）BC=BP3=6，
t=（8+6+6）÷2=10 s.
（iii）BP4=CP4，
则∠2=∠B，
由∠2+∠1=90°，∠B+∠A=90°
得：∠1=∠A
∴AP4=CP4，
∴P4为AB中点，
t=（8+6+5）÷2=9.5 s.
综上所述，t的值为1s，10.6s，10s，9.5s．
【变式3－1】（2020·青神县期中）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为
每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）出发3s后，求PB的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）13cm；（2）16
3
秒；（3）11秒或12秒或13.2秒.
【解析】解：（1）当t＝3时，则AP＝3，∵AB＝16cm，
∴PB＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），
（2）由题意，AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝16
3
，
出发16
3
秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当CQ＝BQ时，如图所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ ＝AQ ，
∴CQ ＝AQ ＝10，
∴BC +CQ ＝22，
∴t ＝22÷
2＝11秒． ②当CQ ＝BC 时，如图所示，
则BC +CQ ＝24，
∴t ＝24÷
2＝12秒． ③当BC ＝BQ 时，如图所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE =485
， 由勾股定理得：CE =
365， ∴CQ ＝2CE ＝14.4，
∴BC +CQ ＝26.4，
∴t ＝26.4÷
2＝13.2秒． 综上所述，当t 为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．
【题型四】等腰三角形存在性（多动点）
【例4－1】（2020·嵊州市期中）如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，且4BC CD cm ==，1AB cm =，点P 以每秒0.5cm 的速度从点B 开始沿射线BC 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向终点D 运动．设运动时间为t 秒．
（1）当2
t=时，BP=______cm，CP=______cm．
（2）如图①，当点P与点Q经过几秒时，使得ABP
△与△PCQ全等？此时，点Q的速度是多少？（注：只求一种情况即可，并写出求解过程）
（3）如图②，是否存在点P，使得ADP
△是以AP为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1，3；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）t=2时，BP=1cm，
∵BC=4cm，
∴PC=BC－BP=3cm
故答案为1，3．
（2）①当BP=PC=2，AB=CQ=1时，
△ABP≌△QCP
t=2÷0.5=4 s
V Q=0.25 cm/s.
②当AB=CP=1，CQ=BP=3时，△ABP≌△PCQ，
t=3÷0.5=6 s，V Q=0.5cm/s.
（3）过点A作AH⊥CD于H，
在Rt△ADH中，AH=BC=4，DH=CD-CH=CD-AB=3
由勾股定理得AD=5，AD2=25，
AP2=AB2+BP2=1+1
4
t2，PD2=CD2+PC2=16+（4-
1
2
t）2
①当AP=PD时，1+1
4
t2=16+（4-
1
2
t）2
解得t=31 4
②当AP=AD时，1+1
4
t2=25，
解得t=
．
综上所述，满足条件的t的值为31 4
．
【变式4－1】（2020·浙江诸暨市期中）如图，在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM=10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．
（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明理由
【答案】（1）a＝2；（2）t＝1，4
3
，
7
9
；（3）a＝1或3或6或9．
【解析】解：（1）当t＝2时，DB＝6，∵BM＝10，
∴DM＝4，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，∴DM＝MQ，即4＝2a，
∴a＝2；
（2）在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD＝BC＝6，t＝2；
②当AC＝CD＝10时，△DCA为等腰三角形，∵BC＝6，
∴BD＝4，t＝4
3
；
③当AD＝CD＝6+3t时，△DCA为等腰三角形，∵∠ABD＝90°，
∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，t＝7
9
；
综上所述：t＝1，4
3
，
7
9
时，△DCA为等腰三角形；
（3）△DMQ与△ABC全等，分两种情况：①若△DMQ≌△ABC，
则MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，
∵BM＝10，
∴BD＝2或BD＝18，
∴t＝2
3
或t＝6，
∴a＝9或a＝1；
②若△DMQ≌△CBA，
∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，∴BD＝4或16，
∴t＝4
3
或
8
3
，
∴a＝6或3，
综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝1或3或6或9．
【题型五】直角三角形存在性（求坐标）
【例5－1】（2020·上海奉贤区期末）已知直角坐标平面内的Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），则直角顶点是_________．
【答案】A.
【解析】解：∵A （4，3）、B （1，2）、C （3，-4），
∴AB 2=（4-1）2+（3-2）2=10，BC 2=（3-4）2+（-4-3）2=50，AC 2=（3-1）2+（-4-2）2=40， ∴BC 2=AB 2+AC 2，
∴△ABC 为直角三角形，
∴∠A =90°，即该直角三角形的直角顶点为A ．
故答案为A ．
【例5－2】（2020·浙江开化县期中）如图，在ABC 中，6AB BC ==，点O 为BC 中点，点P 是射线AO 上的一个动点，且 60AOC ∠=︒．要使得BCP 为直角三角形，CP 的长为 ________．
【答案】3或
【解析】解：①当∠CPB =90°时，P 在线段AO 延长线时，
∵点O 为BC 中点，
∴AO =BO ，
∴PO =BO ，
∵∠AOC =60°，
∴∠BOP =60°，
∴△BOP 为等边三角形，
∵AB =BC =6，
∴BP =3，PC =.
②当∠BPC =90°时，P 在线段AO 上，
∵点O 为BC 中点，
∴AO =BO ，
∵∠CPB =90°，
∴PO =BO =CO ，
∵∠AOC =60°，
∴△COP 为等边三角形，
∴CP =CO =3.
②当∠CBP =90°时，
∵∠AOC =∠BOP =60°，
∴∠BPO =30°，
∴BP =
在Rt △CBP 中，由勾股定理得：CP
故答案为：3或
【变式5－1】如图，平面直角坐标系中，点()0,3A 和()4,0B ；
（1）在x 轴上求点C ，使得BA BC =，请求出点C 的坐标；
（2）在y 轴上求点D ，使得90ABD ∠=︒，请求出点D 的坐标．
【答案】（1）（-1，0）或（9，0）；（2）（0，-163
）． 【解析】解：（1）由题意得：OA =3，OB =4，∠AOB =90 º，
在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB =5 ，
△ABC 1是等腰三角形，AB =BC 1=5，OC 1=BC 1-OB =5-4=1，则C 1坐标为（-1，0）， △ABC 2是等腰三角形，AB =BC 2=5，OC 2=BC 2+OB =5+4=9，则C 1坐标为（9，0），
则C 点坐标为（-1，0）或（9，0）.
（2）设OD =x ，∠BOD =90º，
在Rt △BOD 中，BD 2=OB 2+OD 2=16+x 2，
由∠ABD =90°，AD =3+x ，由勾股定理得AD 2=AB 2+BD 2，
即（x +3）2=25+16+x 2，解得x =
163 则D 点的坐标为（0，-163
）．
【题型六】直角三角形存在性（求时间）
【例6－1】（2019·河南平顶山月考）如图，AOB 90∠=，线段18OA m =，6OB m =，一机器人Q 在点B 处.
（1）若BC AC =，求线段BC 的长.
（2）在（1）的条件下，若机器人Q 从点B 出发,以3/min m 的速度沿着OBC ∆的三条边逆时针走一圈后回到点B ，设行走的时间为min t ，则当t 为何值时，OBQ ∆是以Q 点为直角顶点的直角三角形？
【答案】（1）10m （2）6.8.
【解析】解：(1) 设BC =x
∵BC =AC
∴OC =OA -CA =OA -BC =18-x
在Rt △OBC 中由勾股定理得：62+（18-x ）2=x 2
解得x =10
即BC =10m .
(2) 当BQ ⊥BC 时符合条件
此时QC =3t -(OB +OC )=3t -(6+8)=3t -14，BQ =BC -QC =24-3t
在Rt △OQC 中，由勾股定理得：
OQ 2=OC 2-CQ 2=82-（3t -14）2，
在Rt △OQB 中，由勾股定理得：
OQ 2=OB 2-BQ 2=62-（24-3t ）2
故82-（3t -14）2=62-（24-3t ）2
解得：t =6.8
则当t =6.8s 时，△OBQ 是以Q 点为直角顶点的直角三角形.
【例6－2】（2020·达州市期中）如图1，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，直角边AC 在射线OP 上，直角顶点C 与射线端点O 重合，AC =4，BC =3，如图2，向右匀速移动Rt △ABC ，在移动的过程中Rt △ABC 的直角边AC 在射线OP 上匀速向右运动，移动的速度为2个单位／秒，移动的时间为t 秒，连接OB ．
①若△OAB 为等腰三角形，求t 的值；
②Rt △ABC 在移动的过程中，能否使△OAB 为直角三角形？若能，求出t 的值：若不能，说
明理由．
【答案】（1）t =2或t =12；（2）t =98
.
【解析】解：（1）在Rt △ABC 中，AB ， 由题意得，OC =2t ，
当BO =BA 时，OC =CA ，即t =2，
当AB =AO 时，2t =5-4=1，即t =12
，
当OB =OA t +4，
解得，t =-716
（舍）， 综上所述，当t =4或t =1时，△OAB 为等腰三角形；
（2）△OAB 为直角三角形时，∠OBA =90°，
则(2t )2+32+52=（2t +4）2，
解得：t =
98， 当t =98
时，△OAB 为直角三角形． 【变式6－1】（2020·南阳市月考）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，20AB =，
15BC =，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当2t =时，CD =______，AD =______；（请直接写出答案）
（2）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当t 为何值时，CBD 是等腰三角形？并说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，
∴AC=25，AD=AC-CD=25-4=21；
故答案为：4，21；
（2）①∠CDB=90°时，AC•BD=AB•BC，∴BD=12，CD=9，
∴2t=9，
解得：t=9
2（秒）；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，∴2t=25，
解得：t=25
2
（秒）；
综上所述，当t=9
2
或
25
2
秒时，△CBD是直角三角形；
（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，
则CE=BE，DE∥AB，
∴CD=AD=1
2
AC=
25
2
，
∴2t=25
2
，
解得：t=25
4
（秒）；
②CD=BC时，CD=15，
∴2t =15，
解得：t =152
（秒）； ③BD =BC 时，过点B 作BF ⊥AC 于F ，
同理可得：CF =9，则CD =2CF =18，
∴2t =18，
解得：t =9（秒）；
综上所述，当t 为254或152或9秒时，△CBD 是等腰三角形． 【变式6－2】（2020·福建泉州月考）如图，ABC 中，10AB =，6BC =，8AC =，若动点P 从点C 开始，以每秒2个单位的速度按C A B C →→→的路径运动一周．设出发的时间为t 秒．
（1）若t =2秒时，求△ABP 的周长．
（2）若△BPC 是直角三角形，请直接写出时间t 的取值范围．
（3）是否存在某一时刻t ，使得△BPC 为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）由题意得：CP =2t ，
t =2时，CP =4，
∵AC =8，BC =6，
∴AP =4，在Rt △BCP 中，BP =
∵AB =10，
∴△APB 的周长为：AP +AB +BP =
（2）当∠BCP=90°时，点P在AC上，当点P与A重合时，t=4s
∴t的取值范围为0≤t≤4；
当∠CPB=90°时，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，∴CP·AB=AC·BC，
∴CP=24
5
，
在Rt△APC中，由勾股定理得：AP=32
5
，
∴t=（8+32
5
）÷2=
36
5
，
综上所述：当△BPC为直角三角形时，0＜t≤4或t=36
5
；
（3）存在.
①当CP=CB时，
∵BC=6，
∴CP=6，
∴2t=6，解得：t=3s；
②当CB=BP时，
∵BC=6，
∴BP=6，
∵AB=10，
∴AP=4，
∴2t=12，
∴t=6s；
③当CP=PB时，如图所示：
∴∠PCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠PCB+∠ACP=90°，∴∠A=∠ACP，
∴AP=PC，
∴AP=PB，
∵AB=10，
∴AP=5，
∴2t=13，
∴
13
=
2
t s；
综上所述：当t=3s或6s或13
2
s时，使得△PCB为等腰三角形．。