《充要条件》 导学案

《充要条件》导学案
一、学习目标
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。

2、能够判断给定命题中条件与结论之间的关系。

3、掌握充要条件的证明方法。

二、学习重点
1、充分条件、必要条件、充要条件的判定。

2、利用充要条件解决相关问题。

三、学习难点
1、理解充要条件的概念，区分充分不必要条件、必要不充分条件。

2、灵活运用充要条件进行推理和证明。

四、知识回顾
1、命题的定义：可以判断真假的陈述句叫做命题。

2、命题的结构：命题由条件和结论两部分组成。

五、新课导入
在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的条件和结论之间的关系。

比如，“如果今天下雨，那么地面会湿”，这里“今天下雨”是条件，“地
面会湿”是结论。

那么，条件对于结论来说，到底起到了怎样的作用呢？这就涉及到我们今天要学习的充要条件的知识。

六、充分条件
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p 成立可以推出q 成立，那么就说 p 是 q 的充分条件。

例如：“若 x ＞ 5，则 x ＞3”，因为当 x ＞ 5 时，一定有 x ＞ 3，所
以“x ＞5”是“x ＞3”的充分条件。

通俗理解：有了这个条件，结论一定能成立。

七、必要条件
定义：如果命题“若q，则p”为真命题，即q 成立可以推出p 成立，那么就说 p 是 q 的必要条件。

例如：“若 x 是偶数，则 x 能被 2 整除”，因为如果 x 能被 2 整除，
那么 x 一定是偶数，所以“x 能被 2 整除”是“x 是偶数”的必要条件。

通俗理解：没有这个条件，结论就不能成立。

八、充要条件
定义：如果既有 p ⇒ q，又有 q ⇒ p，就说 p 是 q 的充分必要条件，
简称充要条件。

例如：“在三角形 ABC 中，∠A ＝∠B 是边 AB ＝边 AC 的充要条件”，因为如果∠A ＝∠B，那么边 AB ＝边 AC；反之，如果边 AB
＝边 AC，那么∠A ＝∠B。

通俗理解：这个条件既是充分的，又是必要的，两者缺一不可。

九、判断充要条件的方法
1、定义法
分别判断“若 p，则q”和“若 q，则p”的真假。

若都是真命题，则 p 是 q 的充要条件；若前者为真，后者为假，则 p 是 q 的充分不必要条件；若前者为假，后者为真，则 p 是 q 的必要不充分条件；若都是假命题，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件。

2、集合法
设集合 A ＝｛x ｜ p(x)｝，集合 B ＝｛x ｜ q(x)｝。

（1）若 A ⊆ B，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

（2）若 A ＝ B，则 p 是 q 的充要条件。

十、例题讲解
例 1：判断下列命题中，p 是 q 的什么条件？
（1）p：x ＝ 1，q：x² 1 ＝ 0
解：当 x ＝ 1 时，x² 1 ＝ 1² 1 ＝ 0，所以 p ⇒ q。

当 x² 1 ＝ 0 时，x ＝ ±1，所以 q 不能推出 p。

因此，p 是 q 的充分不必要条件。

（2）p：两直线平行，q：内错角相等
解：如果两直线平行，那么内错角相等，所以 p ⇒ q。

如果内错角相等，那么两直线平行，所以 q ⇒ p。

因此，p 是 q 的充要条件。

例 2：证明“x ＞ 0 且 y ＞0”是“x ＋ y ＞ 0 且 xy ＞0”的充要条件。

证明：
充分性：若 x ＞ 0 且 y ＞ 0，则 x ＋ y ＞ 0 且 xy ＞ 0。

因为两个正数相加一定是正数，两个正数相乘也一定是正数。

必要性：若 x ＋ y ＞ 0 且 xy ＞ 0，则 x ＞ 0 且 y ＞ 0。

因为 xy ＞ 0 说明 x 和 y 同号，又因为 x ＋ y ＞ 0，所以 x 和 y 只能都是正数。

综上，“x ＞ 0 且 y ＞0”是“x ＋ y ＞ 0 且 xy ＞0”的充要条件。

十一、课堂练习
1、判断下列命题中，p 是 q 的什么条件？
（1）p：a 是整数，q：a 是自然数
（2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形
2、证明：“a ＝0”是“函数 f(x) ＝ x²＋ ax 为偶函数”的充要条件。

十二、课堂小结
1、充分条件、必要条件、充要条件的概念。

2、判断充要条件的方法。

十三、课后作业
1、课本 P_____页第_____题至第_____题。

2、思考：在实际生活中，如何运用充要条件的知识解决问题？
通过本节课的学习，我们对充要条件有了深入的理解和掌握，希望同学们在今后的学习和生活中，能够灵活运用所学知识，准确判断条件与结论之间的关系，解决更多的问题。