辽宁省抚顺市六校2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题含答案

2017－2018学年度下学期六校协作体高一期末考试试题
数 学
命题单位：抚顺市十二中学 命题人：殷立
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，时间120分钟，满分150分 。

第I 卷（60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知2-=αtan ，其中α是第二象限角，则αcos = （ ）
A ．55-
B ．55
C ．55±
D ．5
5
2-
2、要得到)4
2sin(3π
+=x y 的图象只需将x y 2sin 3=的图象
（ ） A ．向左平移4
π
个单位 B ．向右平移4
π
个单位 C ．向左平移8
π
个单位 D ．向右平移
8
π
个单位
3、执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．3- B ．2
1
- C ．3
1
D ．2
4、已知3
5
sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为（ ） A ．
257 B ．2518 C ．257- D ．25
18- 5、与函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=42πx tan y 的图象不相交的一条直线是（ ）
A ．2
π
=
x B ．2
π
=
y C ．8
π
=
x D ．8
π
=
y
6、设a ＝(1，2），b ＝(1，1），c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于（ ） A ．23- B ． 3
5
- C ．53 D ．32
7、直线l 0122=++θθcos y sin x ,圆C 02222=+++θθcos y sin x y x ,l 与C 的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不能确定
8、某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（ ） A.
101 B. 103 C. 10
7
D.
10
9
9、已知方程042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是（ ） A ．14
－ B ．14
＋ C ．9 D ．14
10、已知函数()()ϕω+=x sin A x f ()πϕω<<>>000,,A 的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12
π
和
12
7π
，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论： ①()x f 的最小正周期为π； ②()x f 的最大值为2； ③14=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ；
④⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-6πx f 为奇函数．
其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11、在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点
，
=( ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
12、设()()πωωπω+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x cos x sin x cos x f 264,其中0>ω，若()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-223ππ,上
为增函
数，则ω的最大值为（ ）
A ．
21 B ．41 C ．61 D ．8
1
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题本大题共4小题，每小题5分,共20分。

13、欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是________．
14、为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为250850.x .y ˆ-=.由以上信息，得到下表中c 的值为________.
15、若向量a =(2，3），向量b =(-4，7），则a 在b 上的正射影的数量为________________ 16、由正整数组成的一组数据4321,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为_____________.（从小到大排列）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分10分）已知()()()()()()
απαπαπαπαπαπα----⎪
⎭⎫
⎝⎛++-=
cos sin cos cos cos sin f 322 （1）化简()αf ；
（2）若α是第三象限角，且32223=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-παcos ，求()αf 的值. 18、（本小题满分12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40）， ，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
19、（本小题满分12分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所
示.
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班身高的样本方差；
（3）现从乙班的这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽到的概率．
20、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系Oy 中，已知以M 为
圆心的圆M ：2＋y 2－12－14y ＋60＝0及其上一点A (2，4）．
（1）设圆N 与轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线＝6上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ， 求直线l 的方程．
21、（本小题满分12分）已知函数()12322-+=x cos x cos x sin x f ，()R x ∈． （1）求函数()x f 的最小正周期及在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡20π,上的最大值和最小值；
（2）若()560=
x f ，0∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡24ππ,，求cos 20的值． 22、（本小题满分12分）已知向量m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14,x sin π，n ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=34,x cos π，()=x f ⋅m n （1）求出()x f 的解析式，并写出()x f 的最小正周期，对称轴，对称中心；
（2）令()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=6πx f x h ，求()x h 的单调递减区间；
（3）若m //n ，求()x f 的值．
2017－2018学年度下学期六校协作体高一期末考试试题
数学答案
一、选择题
1—5;ACDAC 6—10；AADBD; 11—12；DC
二、填空题
13、
π
94
； 14、6； 15、565； 16、1,1,3,3
三、解答题
17、解：（1）()()()()()
ααααααααtan cos sin cos sin cos sin -=-----=
f ..........(4分)
(2) 322sin ,322sin 2cos -=∴=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-ααπα..........(6分)
α 是第三象限角,319813221cos 2
-=--=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=∴α......(8分) ()22-=-
=-=∴α
α
ααcos sin tan f (10)
18、解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为 (0.02+0.04)×10=0.6 ,..........(2分) 样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4..........(4分) (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为
(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，
分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．..........(6分) 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为5
40020100
⨯
=．..........(8分) （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为
(0.020.04)1010060+⨯⨯=，
所以样本中分数不小于70的男生人数为1
6030
2⨯
=
．..........(10分)
所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2= ..........(12分)
19、解：(1)由茎叶图可知，甲班的平均身高为
x ＝
182＋179＋179＋171＋170＋168＋168＋163＋162＋158
10
＝170，..........(2分)
乙班的平均身高为y ＝181＋170＋173＋176＋178＋179＋162＋165＋168＋159
10＝171.1.
所以乙班的平均身高高于甲班．..........(4分) (2)由(1)知x ＝170，
∴s 2
＝1
10
[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋ (168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋
(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2...........(8分)
(3)设身高为176 cm 的同学被抽中为事件A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有(181,176)，(181,173)，(181,178)，(181,179)，(173,176)，(173,178)，(173,179)，(176,178)，(176,179)，(178,179)共10个基本事件.
而事件有(181,176)，(173,176)，(176,178)，(176,179)共4个基本事件．..........(11分) ∴P (A )＝410＝2
5. ..........(12分)
20、解：圆M 的标准方程为(－6)2＋(y －7)2＝25，
所以圆心M (6,7)，半径为5.
(1)圆N 的标准方程为(－6)2＋(y －1)2＝1...........(2分) (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－0
2－0＝2
设直线l 的方程为y ＝2＋m ，即2－y ＋m ＝0，...........(4分)
因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛BC 2
，52=∴d ...........(6分)
则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝
|m ＋5|
552=............(8分) 所以解得m ＝5或m ＝－15............(10分)
故直线l 的方程为2－y ＋5＝0或2－y －15＝0............(12分)
21．解：(1)由f ()＝23sin cos ＋2cos 2－1， 得f ()＝3(2sin cos )＋(2cos 2－1)
＝3sin 2＋cos 2＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+62πx ，...........(2分)
所以函数f ()的最小正周期为π............(3分) 16221676
26
2
0≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+≤-∴≤
+
≤∴
≤
≤πππ
π
π
x sin ,x ,x 所以函数f ()在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡20π,上的最大值为2，最小值为－1............(6分)
(2) 由(1)可知f (0)＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+620πx
又因为f (0)＝65，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+620πx ＝35.
由0∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡24ππ,，得20＋π6∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡6732ππ,...........(8分)
从而cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+620πx ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+--62102πx sin ＝－45............(10分)
所以cos 20＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+6620ππx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+620πx cos π6＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+620πx sin π6
＝3－43
10
............(12分)
22、解：（1）()=x f n m ⋅344+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=ππx cos x sin
3222134221+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
ππx sin x sin 1cos 232x =-+...........(2分) 所以()x f 的最小正周期π=T ，对称轴为()Z k k
x ∈=,2
π 对称中心为()Z k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+,3,24ππ...........(4分) （2）()332216+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx cos x f x h ...........(6分)
令Z k k x k ∈≤-
≤+-,23
22ππ
ππ 得Z k ,k x k ∈+≤
≤+-
ππ
ππ
6
3
所以()x h 的单调减区间为Z k ,k ,k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-ππππ63...........(8分)
（3）若m //n ，则3sin cos 44x x ππ⎛
⎫
⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
即314=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-πx tan 2tan =∴x ...........(10分)
()1cos 232f x x =-+()22
1sin cos 32x x =-+222
2
1sin cos 32sin cos x x x x -=⋅++ 10
33
31tan 1tan 2122=++-⋅=x x ...........(12分)。