最新-2021学年高中数学必修4课件：2.2.1 向量的加法 精品

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【自主解答】 (1)如图，连结 FC 交 AD 于点 O，连结 OB，由平面几何知 识得四边形 ABOF，四边形 ABCO 均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有A→O＝A→B＋A→F＝a＋b. 在平行四边形 ABCO 中，A→C＝A→B＋A→O＝a＋a＋b＝2a＋b.A→D＝2A→O＝2a＋ 2b. 而F→E＝A→O＝a＋b， 由三角形法则得：A→E＝A→F＋F→E＝b＋a＋b＝a＋2b. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝0. 【答案】 (1)2a＋b 2a＋2b a＋2b (2)0
2．如图 2-2-4 所示，在平行四边形 ABCD 中，B→C＋D→C＋ B→A＝________.(填序号)
①A→D；②D→B；③B→C；④C→B.
【解析】 ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴B→C＝A→D， ∴B→C＋D→C＋B→A＝A→D＋D→C＋B→A＝A→C＋B→A＝B→C. 【答案】 ③
[基础·初探] 教材整理 1 向量的加法 阅读教材 P63 第 1,2 自然段及 P64 思考前的有关内容，完成下列问题． 1．向量加法的定义 求__两__个__向__量__和___的运算叫做向量的加法．
2．向量加法的运算法则 (1)三角形法则：
已知向量 a 和 b，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则向量_O→_B_叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 a＋b＝O→A＋A→B＝_O→_B_.
【证明】 ∵A→P＝A→B＋B→P， A→Q＝A→C＋C→Q， ∴A→P＋A→Q＝A→B＋A→C＋B→P＋C→Q. 又∵BP＝QC 且B→P与C→Q方向相反， ∴B→P＋C→Q＝0，∴A→P＋A→Q＝A→B＋A→C， 即A→B＋A→C＝A→P＋A→Q.
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
＝(A→B＋B→C)＋C→D
＝A→C＋C→D
＝A→D
【答案】
→ AD
2.A→B＋B→C＋C→A＝________. 【解析】 A→B＋B→C＋C→A＝A→C＋C→A＝0. 【答案】 0
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
图 2-2-4
3．在四边形中，若A→C＝A→B＋A→D，则四边形 ABCD 一定是________． 【解析】 结合平行四边形法则可知，ABCD 一定是平行四边形． 【答案】 平行四边形 4．设 a 表示“向东走 5 km”，b 表示“向南走 5 km”，则 a＋b 表示________.
【解析】 如图所示，
【导学号：06460042】 【解】 如图，延长 AC 到 E，使 AC＝CE，则C→E＝A→C， ∴a＋b＋c＝A→B＋B→C＋C→E＝A→E， 即A→E为所求作的向量． ∵四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，∴|A→C|＝ 2， ∴|A→E|＝2|A→C|＝2 2. 故|a＋b＋c|＝2 2.
(2)如图所示，设M→A表示水流的速度，M→N表示小船实际过河的速度． 设 MC⊥MA， |M→A|＝|M→B|＝10，∠CMN＝30°. ∵M→A＋M→B＝M→N， ∴四边形 MANB 为菱形． 则∠AMN＝60°， ∴△AMN 为等边三角形． 在△MNB 中，|B→N|＝|M→N|＝|M→B|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴ ∠CMB＝30°， 所以小船要由 M 直达码头 N，其航向应为北偏西 30°.
【导学号：06460043】
A→C＝a＋b，|A→B|＝5，|B→C|＝5，且 AB⊥BC，则|A→C|
＝5 2，∠BAC＝45°. 【答案】 向东南走 5 2 km
5．如图 2-2-5 所示，P，Q 是△ABC 的边 BC 上两点，且 BP＝QC.
求证：A→B＋A→C＝A→P＋A→Q.法运算 (1)在正六边形 ABCDEF 中，A→B＝a，A→F＝b，则A→C＝________，A→D ＝________，A→E＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________. 【精彩点拨】 (1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解． (2)由向量加法的三角形法则求解．
阶
阶
段
段
一
三
2.2 向量的线性运算
2.2.1 向量的加法
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几 何意义．(重点)
2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运 用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点)
3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释 向量加法运算律的合理性．(难点)
用向量证明几何问题的一般步骤： 1要把几何问题中的边转化成相应的向量； 2通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.
[再练一题] 2．已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且A→O＝O→C，O→B＝ D→O ，求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 【证明】 如图， A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C， 又∵A→O＝O→C，O→B＝D→O， ∴A→B＝D→C. 即 AB∥CD，且|A→B|＝|D→C|， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．
1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的 起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将 0 写 成 0.
2．运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其 和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
[再练一题] 1．四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，A→B＝a，B→C＝b，A→C＝c，作向量 a ＋b＋c，并求|a＋b＋c|.
解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际 问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量 →向量运算→回扣实际问题—作出解答.
[再练一题] 3．小雨滴在无风时以 4 m/s 的速度匀速下落．一阵风吹来，使得小雨滴以 3 m/s 的速度向东移动．那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？(提示：tan 37°＝34) 【解】 如图，设O→A表示小雨滴无风时下落的速度，O→B表 示风的速度，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则O→C就是 小雨滴实际飞行的速度．
利用向量证明几何问题 在▱ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线 上，取点 F，E，使 BE＝DF(如图 2-2-3)．用向量的方法证明： 四边形 AECF 也是平行四边形． 【精彩点拨】 要证 AECF 是平行四边形，只要证A→E＝F→C. 图 2-2-3
【自主解答】 因为A→E＝A→B＋B→E，F→C＝F→D＋D→C， 又因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以A→B＝D→C. 因为 FD＝BE，且F→D与B→E的方向相同，所以F→D＝B→E. 所以A→B＋B→E＝F→D＋D→C，即A→E＝F→C，所以 AE 与 FC 平行且相等，所以四 边形 AECF 是平行四边形．
教材整理 2 向量加法的运算律 阅读教材 P63，完成下列问题． (1)交换律：a＋b＝__b_＋__a__. (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(b_＋__c_)_． (3)a＋0＝0＋a＝__a_. (4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝_0__.
1．化简：A→O＋O→B＋C→D＋B→C＝________. 【解析】 (A→O＋O→B)＋C→D＋B→C
[探究共研型]
向量加法在实际问题中的应用 探究 1 速度、位移等物理量是向量吗？为什么？ 【提示】 是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素． 探究 2 利用向量加法解决实际问题的关键是什么？ 【提示】 关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际 问题．
已知小船在静水中的速度与河水的流速都是 10 km/h，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？ (2)如果小船在河南岸 M 处，对岸北偏东 30°有一码头 N，小船的航向如何 确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流) 【精彩点拨】 (1)结合向量共线知识求解； (2)借助三角形的边角关系求解． 【自主解答】 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为 20 km/h；小船 逆流行驶时实际速度最小，最小值为 0 km/h，此时小船是静止的．
(2)平行四边形法则： 已知两个不共线的非零向量 a，b，作O→A＝a，O→C＝b，以 __O_A__，_O__C__为邻边作▱OABC，则以 O 为起点的对角线上的向 量_O→__B__＝a＋b，如图．这个法则叫做向量加法的平行四边形法 则．
图 2-2-1 图 2-2-2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量相加就是两个向量的模相加．( ) (2)两个向量相加，结果有可能是个数量．( ) (3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．( ) 【解析】 (1)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(2)错误，向量相加与 向量长度、方向都有关；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点 的向量相加． 【答案】 (1)× (2)× (3)×
在 Rt△OAC 中，|O→A|＝4 m/s，|A→C|＝3 m/s， 所以|O→C|＝ |O→A|2＋|A→C|2＝5 m/s. 且 tan∠AOC＝|A→→C|＝34，即∠AOC≈37°.
|OA| 所以小雨滴实际飞行速度为 5 m/s，方向约为南偏东 37°.
[构建·体系]
1．在△ABC 中，A→B＝a，B→C＝b，则 a＋b＝________. 【解析】 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C. 【答案】 A→C