八年级数学第二学期 第一次质量检测测试卷及解析

一、选择题
1．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ∆周长的最小值是6，则AB 的长是（ ）
A ．12
B ．34
C ．56
D ．1
2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =5,AC =53，CB 的反向延长线上有一动点D ，以AD 为边在右侧作等边三角形，连CE ，CE 最短长为（ ）
A ．5
B ．53
C ．53
D ．53 3．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（ ）
A 2）2013
B 2）2014
C ．（12）2013
D ．（12
）2014 4．如图，已知圆柱的底面直径6
BC π=，高3AB =，小虫在圆柱侧面爬行，从C 点爬到
A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）
A ．18
B ．48
C ．120
D ．72 5．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（ ）
A ．37
B ．13
C ．37或者13
D ．37或者137 6．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP 于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O 的直径AC 的长为（ ）
A ．5
B ．8
C ．10
D ．12 7．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A ．30,40,60
B ．7,12,13
C ．6,8,10
D ．3,4,6 8．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b =4，c =6
B ．a =5，b =6，c =7
C ．a =6，b =8，c =9
D ．a =7，b =24，c =25 9．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．∠A+∠B=∠C
B ．∠A ：∠B ：∠C=1：3：2
C ．a=2，b=3，c=4
D ．(b+c)(b-c)=a²
10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（ ）
A ．3尺
B ．4.2尺
C ．5尺
D ．4尺
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，
OP 的长度是_____．
12．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．
13．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.
14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___
15．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．
16．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222
()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________
17．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.
18．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
19．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ， 且 BD=3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．
20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______
三、解答题
21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
22．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
23．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .
（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.
②若线段2AD EC =，求m n
的值.
24．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．
（1）补全图形.
（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
25．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．
（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .
（1）求点A 的坐标；
（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出ADG ∆的周长.
27．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．
（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
28．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．
（1）如图1，求∠BGD 的度数；
（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；
（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．
29．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知
AB=10,BC=6,AC=8.
(1)求证:△ADG ≌△BDF ；
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；
(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；
(4)求线段EF 长度的最小值.
30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ，此时△ABC 周长最小，根据题意及作图可得出△OAD 是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE 是直角三角形，然后设AB=x ，则OB=3+x ，根据周长最小值可表示出BE=6－x ，最后在Rt △OBE 中，利用勾股定理建立方程求解即可.
【详解】
解：作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ， 此时△ABC 周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE ，
∵△ABC 周长的最小值是6，
∴AB+BE=6，
∵∠MON=45°，AD ⊥OM ，
∴△OAD 是等腰直角三角形，∠OAD=45°，
由作图可知OM 垂直平分AE ，
∴OA=OE=3，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠AOE=90°，
∴△BOE 是直角三角形，
设AB=x ，则OB=3+x ，BE=6－x ，
在Rt △OBE 中，()()22
23+3+6x x =-，
解得：x=1，
∴AB=1.
故选D.
【点睛】
本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.
2．C
解析：C
【分析】
在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴△AB’B是等边三角形，
∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，
∴∠B’AD=∠BAE，
∴△AB’D≌△ABE（SAS），
∴∠ABE=∠B’=60°，
∴点E在直线BE上运动，
过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，
∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，
∴∠BCH=30°，
∴BH=1
2
BC=
5
2
，
∴CH22
BC BH
53
．
即BE 53
．
故选C．
【点睛】
本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分S n的值，根据数的变化找出变化规
律“S n=(1
2
)n−3”，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：S1=22=4，S2=1
2
S1=2，S3=
1
2
S2=1，S4=
1
2
S3=
1
2
，…，
∴S n=(1
2
)n−3．
当n=2016时，S2016=(1
2
)2016−3=(
1
2
)2013．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是
找出规律“S n=(1
2
)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的
值，根据数值的变化找出变化规律是关键．4．D
解析：D
【分析】
要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，
点A ，C 的最短距离为线段AC 的长.
∵已知圆柱的底面直径6BC π=
， ∴623AD ππ
=⋅÷=， 在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒ ，3CD AB ==，
∴22218AC AD CD =+=，
∴从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程的平方为()222472AC AC ==.
故选D.
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
5．C
解析：C
【分析】
如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．
【详解】
当如图1所示时，AB=2，BC=3，
∴2223=13+；
当如图2所示时，AB=1，BC=6，
∴AC=221+6=37；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．
6．C
解析：C
【解析】
分析：通过切线的性质表示出EC 的长度，用相似三角形的性质表示出OE 的长度，由已知条件表示出OC 的长度即可通过勾股定理求出结果.
详解：如图：连接BC ，并连接OD 交BC 于点E ：
∵DP ⊥BP ，AC 为直径； ∴∠DPB=∠PBC=90°.
∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线.
∴∠PDE=90°=∠DEB,
∴四边形PDEB 为矩形，
∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6.
∴PD=BE=EC.
∴OE=12
AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x.
.在Rt △OEC 中:
222OE EC OC +=,
即：()()22
2363x x +-=+，解得x=2.
所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.
点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理. 7．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理的逆定理解答即可.
【详解】
A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；
B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；
C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；
D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；
故选：C .
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.
8．D
解析：D
【解析】
A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确． 故选D ．
9．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】
A 、∠A+∠
B ＝∠
C ，可得∠C ＝90°，是直角三角形，错误；
B 、∠A ：∠B ：∠
C ＝1：3：2，可得∠B ＝90°，是直角三角形，错误；
C 、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D 、∵（b+c ）（b ﹣c ）＝a 2，∴b 2﹣c 2＝a 2，即a 2+c 2＝b 2，故是直角三角形，错误； 故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10．B
解析：B
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，
根据勾股定理得：2224(10)x x +=-．
解得： 4.2x =，
∴折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
二、填空题
11．1或
78
【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】
解：分为3种情况：
①当PB PQ =时，
4=OA ，3OB =，
∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，
BAO BCO ∴∠=∠，
BPQ BAO ∠=∠，
BPQ BCO ∴∠=∠，
APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，
APQ CBP ∴∠=∠，
在APQ 和CBP 中，
BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩
， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，
∴5AP BC ==，
1OP AP OA ∴=-=；
②当BQ BP =时，
BPQ BQP ∠=∠，
BPQ BAO ∠=∠，
BAO BQP ∴∠=∠，
根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，
∴这种情况不存在；
③当QB QP =时，
QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，
PB PA ∴=，
设OP x =，则4PB PA x ==-
在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，
222(4)3x x ∴-=+， 解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或
78； 【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．
12．2
【分析】
连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=，
22125CD AD ==+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为
直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.
【详解】
连接AD 、CD ，如图所示：
由勾股定理可得，
22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，
∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，
同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，
∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线，
∴225AC AD BD ===，
在△ABC 和△DEB 中，
AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩
＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，
∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，
∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，
∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，
∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.
【点睛】
本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.
13．5
【分析】
设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值
【详解】
如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10
设绳索x 尺，则OA=OB=x
∴OC=x+1-5=x-4
在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2
∴222
(4)10x x =-+
得x=14.5（尺）
故填14.5 ,
【点睛】
此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 14．5或13
【分析】
根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ．
【详解】
解：如下图所示，
若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，
根据勾股定理，可得
A+B=C，
∴C=13．
若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，
根据勾股定理，可得
A+B=C，
∴B=9-4=5．
∴S K为5或13．
故答案为：5或13．
【点睛】
本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．
15．10
【分析】
首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．
【详解】
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可
知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′=22
=10．
OM ON
''
故答案为10．
【点睛】
本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
16．等腰直角三角形
【解析】
根据非负数的意义，由()2222
0c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角
形是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式. 17．4913
【解析】
【分析】
如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】
如图，延长AD ，交BC 于点G AD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==
,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线
1123,52
B CG B
C ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=
123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴
CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒
390B ∴∠+∠=︒
230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒
CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==
7512AG AD DG ∴=+=+=
在Rt ACG ∆中，13AC ===
13CE AB AC ==∴= 由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=
⋅=⋅ 即1110121322CF ⨯⨯=⨯⋅，解得12013
CF = 12049131313EF CE CF ∴=-=-
=
故答案为：4913．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．
18．17，144，145
【分析】
由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】
解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，
所以有222
17(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点睛】
本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可．
19．3或3或15
【分析】
根据直角三角形的性质求出BC ，勾股定理求出AB ，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：如图
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=12AC=12×8=4， 由勾股定理得，AB=22228443AC BC -=-=
43333AD ∴=-=
当点P 在AC 上时，∠A=30°，AP=2PD ，
∴∠ADP=90°，
则AD 2+PD 2=AP 2，即（33）2=（2PD ）2-PD 2，
解得，PD=3，
当点P 在AB 上时，AP=2PD ，AD=33，
∴PD=3，
当点P 在BC 上时，AP=2PD ，
设PD=x ，则AP=2x ，
由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，
()()222243
3x x ∴-=-
解得，x=15 故答案为：3或3或15.
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
20．522,322++
【分析】
过B 作BF ⊥CA 于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC 的长．
【详解】
分两种情况：
①当∠C 为锐角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，
由折叠可得，折痕PE 垂直平分AB ，
∴AP=BP=4，
∴∠BPC=2∠A=45°，
∴△BFP 是等腰直角三角形，
∴BF=DF=22
又∵BC=3，
∴Rt△BFC中，CF=221
-=，
BC BF
∴AC=AP+PF+CF=5+22；
②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，
同理可得，△BFP是等腰直角三角形，
∴BF=FP=22，
又∵BC=3，
∴Rt△BCF中，CF=221
-=，
BC BF
∴AC=AF-CF=3+22.
故答案为：5+22或3+22．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米
【解析】
试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；
（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.
试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE=22
-=24米．
257
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴22
-，
CD CE
2520
-22
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
22．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +
-=（， 解得：t =252
． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，
252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132
⨯-=(cm )；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ =BQ 时，如图1所示，
则∠C =∠CBQ ．
∵∠ABC =90°，
∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，
∴∠A =∠ABQ ，
∴BQ =AQ ，
∴CQ =AQ =10，
∴BC +CQ =22，
∴t =22÷2=11(s )．
②当CQ =BC 时，如图2所示，
则BC +CQ =24，
∴t =24÷2=12(s )．
③当BC =BQ 时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，
∴CQ =2CE =14.4，
∴BC +CQ =26.4，
∴t =26.4÷2=13.2(s )．
综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
23．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②
512
m n = 【分析】
（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；
②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.
【详解】
（1）解：作图，如图所示：
（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.
理由如下：依题意得， BD BC m ==，
在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒
222BC AC AB ∴=+
22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+
222AD m AD n ∴+-
)()
2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-
0=；
∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根
②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =
2233
AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=
222BC AC AB ∴+=
2
2223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493
m n n mn m +=++ 25493
n mn = 512
m n ∴= 【点睛】
本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；
（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD ，
∵90BAC ∠=︒，
∴902DAC α∠=︒-，
又∵AB=AC ，
∴AD=AC ，
∴∠ADC=1[180(902)]2
α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，
由（2）知：∠ADC=45α︒+，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，
∴∠BED=90°，
∴△BED 是等腰直角三角形，
∴22222BD BE DE DE =+=，
∴2BD DE =.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
25．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333-．理由见解析.
【分析】
（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出
CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.
（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．
【详解】
（1）CF FH =
证明：延长DF 交AB 于点G
∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，
∴45A B ∠=∠=︒
∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，
∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．
∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，
∴135CEF FGH ∠=∠=︒，
∵点D 是AC 的中点，∴132
CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =
∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒
∴DCF GFH ∠=∠
∴CEF FGH ≌
∴CF FH =；
（2）依然成立
理由：设AH ，DF 交于点G ，
由题意可得出：DF=DE ，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵点D为AC的中点,DF∥BC，
∴DG=1
2
BC,DC=
1
2
AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中
CEF FGH
EC GF
ECF GFH
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△FCE≌△HFG(ASA)，
∴HF=FC.
由（1）可知ABC
△和CFH
△均为等腰直角三角形
当他们面积相等时，6
CF AC
==．
∴2233
DE DF CF CD
==-=
∴333
CE DE DC
=-=-
∴点E与点C之间的距离为333
-．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.
26．（1）(0，3)；（2）DF OE
=；（3）93233
+
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出6
OB=，12
AB AC BC
===，由勾股定理得出
OA ==A 的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；
（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证
出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒
，由等边三角形的性质得12
DG OF ==即可得出答案．
【详解】
解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，
6OB ∴=，12AB AC BC ===
，OA === ∴点A 的坐标为(0
，；
（2）DF OE =；理由如下：
ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，
AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，
FAD OAE ∴∠=∠，
在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，
DF OE ∴=；
（3）60AOF ∠=︒，
30FOB ∴∠=︒，
60ABO ∠=︒，
90AGO ∴∠=︒，
AFO ∆
是等边三角形，AO =
·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，
AOE AFD ∴∠=∠，
30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，
30AOD AFD ∴∠+∠=︒，
FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，
60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，
AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，
G ∴为斜边OF 的中点，
1122
DG OF ∴==⨯=
ADG ∴∆的周长9323
3AG AD DG =++=++．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）25CM =.
【解析】
【分析】
(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．
理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，
∴BC ∥EF ，
∴∠EFM ＝∠HBM ，
在△FME 和△BMH 中，
EFM MBH FM BM
FME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△FME ≌△BMH （ASA ），
∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，
∵CD ＝BC ，
∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，
∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．
（2）如图2，连接BD ，
∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，
∴45,45FDE CBD ︒︒
∠=∠=
∴点B E D 、、在同一条直线上，
∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点，
∴12CM BF =，12
EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，
∵CM FM ME ==，
∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠
∴135MCF MEF ∠+∠=︒，
∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，
∴CM ME ⊥．
（3）如图3中，连接EC ，EM ．
由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，
∵22EC 26210+=
∴CM ＝EM ＝25【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（1）∠BGD ＝120°；（2）见解析；（3）S 四边形ABCD ＝3
【解析】
【分析】
（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由
∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；
（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由
CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；
（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；
【详解】
（1）解：如图1﹣1中，。