第二章同余与同余式
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可见S中的数可分成(p-3)/2对, 每一对数a和b, 满足 abl(mod p), 故得2·3…(p-2) (mod p), 即可得(p-1)! -1 (mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数. 假设p是合数, 令 p＝ab, a≠p. 由题设条件知, p|((p-1)!+l). 又因 a|p, 则有 a|((p-1)!+1). 但由于 a≤p-1可得 a|(p-1)!, 从而 a|(((p-1)!+1)-(p-1)!), 即a|l,
同余的应用举例
例1 已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆
节是星期几？
分析： 一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几， 就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的 余数就行了。但在计算中，如果我们能充分利用同余 性质，就可以不必算出这个总天数。
解： 2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年 7个平年，即有“366×2+365×7”天。
所以 ，结论得证。 i0
Байду номын сангаас
同余的算术应用2 ——弃九法
*证明了“弃九法”（弃九验算法）：把一个数的各 位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去 9得0），这个数就叫做原来数的弃九数．且一个数 的弃九数与其模9的余数相等。
利用这种方法可以验算较大整数的加法、减法、乘 法运算的结果是否正确，也可验算除法，但需转化 成乘法。
同余的算术应用1
* 正整数a能被9整除 iff 9整除a的十进制表示各数字的 和．
证明 若 a n ai 10, i 则由 i0 10i1(mod 9) (i=1,2,…,n)
和定理 1④可得:
n
a ( ai )(mod 9)
i0
注：因为10≡1(mod3)，同理, 一个整数能被3整除的必要
性质: ①自反性: aa (mod m). ②对称性: 若ab(mod m), 则 ba(mod m). ③传递性: 若ab(mod m), bc(mod m), 则: ac(mod m).
可见, 同余关系是等价关系.
2.0同余式定义和基本性质
定理1 若ab(mod m), cd(mod m), 则: ① ax+cy bx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数. ② ac bd(mod m).
充分条件是它的10进位数码的和能被3整除.
同余的算术应用1
** 正整数a能被7(或11，或13)整除 iff 7(或11，或13) 整除a
n
的定理十进制表示各数字的交错和
a （．-1）iai
i0
证明：因为1000与-1对模7(或11，或13)同余，
由同余性质，
a
n
（
-
1）ia（i m(o或dm7）od11，或mod13).
因而p只有因子1和p, 即p为素数.
同余关系及其在计算机领域的应用
同余的应用1：国际图书标准(ISBN编码) ISBN是international standard of book number 的缩写，即国
际标准图书编号。ISBN是国际通用的图书或独立的出版物(除定期出版 的期刊)代码。出版社可以通过ISBN清晰地辨认所有非期刊书籍。一个 ISBN只有一个或一份相应的出版物与之对应。新版本如果在原来旧版 的基础上没有内容上太大的变动，在出版时也不会得到新的ISBN号码。 当平装本改为精装本出版时，原来相应的ISBN号码也应当收回。
∵ 366×2≡2×2≡4（mod 7）， 365×7≡1×7≡0（mod 7），
∴366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。
同余的应用举例
例2 判定21991 + 1 、 21998 + 1 是否为质数。
分析： 期望找到正整数m ,使 21991 + 1 ≡0 (mod m) ,
显然, 由本定理可得如下推论. 推论 若 ac=bc(mod m), (c,m)=1,则:
ab(mod m).
2.0同余式定义和基本性质
定理4 ① 若ab(mod m), 且d|m, 则: ab(mod m). ③ 若ab(mod m), 则 (a,m)=(b,m). ③ ab(mod mi), (1≤i≤n), iff ab (mod [m1,m2,…,mn]). 证明 只给出③的证明, ①和②读者完成.
在我国古代的干支纪年也是这样的,它是以60作为除 数的纪年法.
这样,在数学中就产生了同余的概念. 同余概念是Gauss在1800年前后创立的.
2.0 同余定义和基本性质
定义1 给定一正整数m, 若用m去除两个整数a和b所得 余数相同, 则称a与b为对模m同余, 记作ab(mod m); 若余数不同, 则称 a与b为对模m不同余。 ab(mod m) iff m|(a-b). a0(mod m) iff m| a.
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
证明 必要性: 设p为一素数, 当p=2,3时, 结论显然成立.
现设p>3是一奇素数, S={2, 3, …, p-2}，aS. 因为 (a,p)=1, 存在整数m和n, 使am+pn=1, 于是am1(mod p).
1x1 2x2 (i 1)xi-1 iyi (i 1)xi1 9x9 10x10
设b=m-pq, 即b是p除m的余数, 易知 b≠1, b≠p-1, 故 bS, 且 ab1(mod p). 可以证明 a≠b.
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
假设 a=b, 则有(b-1)(b+1)0(mod p), 而 b≠l, b ≠p-1, 故(b-1)(b+1)0(mod p)不成立.
同余关系及其在计算机领域的应用
10位数ISBN的结构
现行的ISBN由10位数字组成，这10位数字由4组数字组成，中间用 “-”相连，每组数字都有不同的含义。 第一组号码是地区号，又叫组号，最短的只有一位数字，最长的达五位数 字，大体上兼顾文种、国别和地区。0、1代表英语，使用这两个代码的 国家有:澳大利亚、加拿大、爱尔兰、新西兰、波多黎各、南非、英国、 美国、津巴布韦等;2代表法语，法国、卢森堡以及比利时、加拿大和瑞士 的法语区使用该代码;3代表德语，德国、奥地利和瑞士德语区使用该代 码;4是日本出版物的代码;5是俄罗斯出版物的代码;7是中国出版物使用的 代码。 第二组: 出版社代码。由国家或地区的ISBN中心设置并分给各个出版社。 第三组:书序码。该出版物代码，是出版者分配给每一个出版物的编号。 第四组:计算机校验码。校验码是ISBN号的最后一位数值，它能够校验出 ISBN号是否正确。校验码只能是1位数，当为10时，记为罗马数字X。
同余在算术里的两个应用：
应用1——检查因数的一些方法 一整数能被3(9)整除 iff 它的十进位数码的和能被
3(9)整除. 正整数a=an1000n+an-11000n-1+ … +a0 , 0≤ai<1000, 则7(或11,
或13)整除a iff 7(或11,或13)整除(a0 + a2 + …)-(a1 + a3 + …).
第二章 同余与同余式
同余的概念与基本性质 同余方程组的求解方法 线性同余方程、高次同余方程的求解 原根和指数 应用
第二章 同余与同余式
在日常生活中,有时我们注意的常常不是某些整数,而 是这些整数用某一个固定的整数去除所得到的余数.
例如本月2日是星期3,那么9日,16日,…都是星期3,这是 因为它们用7除后得到的余数都是2
即 21991 ≡- 1 (mod m) . 解： 因为2 ≡- 1 (mod 3) ,所以,
21991 + 1 ≡ (-1)1991 + 1≡ (- 1) + 1 = 0 (mod 3) . 从而, 21991 + 1 为合数. 因为4 ≡- 1 (mod 5) ,所以, 21998 + 1 =4999+ 1 ≡ (-1)999 + 1 ≡ (-1)+ 1 = 0 (mod 5) . 从而, 21998 + 1 为合数.
同余关系及其在计算机领域的应用
左图是2007实行的新的ISBN标准，从10 位升到13位，为了讲课方便，我们仍然 用2007年以前的10位标准来讲述：
假设ISBN号已经选择前9位x1,x2 , x9,则这最后一位校验位 为：1x1+2x2 9x9 x10 (mod11) 比如：有一本书的前9位为0-619-06213,则其校验位由以下确定： (10+26+31+4 9+5 0+6 6+7 2+81+93)(mod11)=136(mod11) 4(mod11),故该书的校验码为4
③必要性:由①知,是成立的. 充分性: 若a b(mod mmi1),,m12≤,i…≤,nm, 则n的: 公m倍i|(数a-b, )从, 1而≤i≤也n,是即[m(a1-,bm)是2,…,mn]的倍 数, 因此:
ab (mod [m1,m2,…,mn]).
2.0同余式定义和基本性质
下面证明一个重要定理, 从应用和理论来说都有非常 大的意义. 尤其在理论上,它完全解决了判断给定的数 是否为素数的问题.
国际标准图书编号问世后，很快得到推广，主要是因为它对出版 商、书商的工作有很大的益处，体现在:国际标准书号是机读的编码， 从图书的生产到发行、销售始终如一，对图书的发行系统起了很大的 作用;它的引入使图书的定购、库存控制、账目和输出过程等任何图书 业的分支程序都简化了;国际标准书号也对图书馆和文献中心的订购、 采选、编目和流通程序都有促进作用;ISBN系统的引入也服务于书目信 息的流动和使用，而且为一个国家的图书生产提供经济的书目控 制;ISBN对图书市场更有效率，它能确定国际上出版的任何图书及其出 版社。在书业中习惯称ISBN为库藏码(Stock Number)，就是因为其被 普遍应用于书库管理。
2.0同余式定义和基本性质
定理 3 若ac=bc(mod m), (c,m)=d, 则 a b(mod (m/d))
证明 因为m|c(a-b), 于是(m/d)|((a-b)(c/d)), 又因为 (c,m)=d, 则有((c/d, m/d)=1, 因此 (m/d)|(a-b), 即: a b(mod (m/d)).
➢ 如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式 是否正确，因为九余数只有0，1，2，…，8九种情 况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法 检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。
弃九法
例2 求证 1997×57≠113828. 证明 由于19971＋9＋9＋78 (mod 9)
57 5＋7 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9) 但是, 8×3=24, 而24≠5(mod 9), 得证.
同余关系及其在计算机领域的应用
定理：通过校验位可以发现ISBN的单一错误。
证明：假设x1x 2
x10变成y1y2
y10，其中yk
x（k k
i）,yi
x
。
i
不妨设xi >yi，必存在整数使得xi yi a。其中0 a 10。
因此
1y1 2y2 3y3 4y4 5y5 6y6 7y7 8y8 9y9 10y10
1) 设a ≡ b (modm), c是任意整数.则 ac ≡bc(modm).
2) 设ai≡ bi (modm)(i =1,2,…,n, n>2),则 a1a2…an ≡b1b2…bn (modm). ③ an bn(mod m), 其中 n＞0. ④ f(a) f(b)(mod m), 其中f(x)为任意的一个整系数多项 式.
弃九法
例1 验算 851+346=1198． 解： 先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数．
851、346的弃九数分别是5，4，1198的弃九数1． 两个加数的弃九数相加得4+5=9，弃掉9后是0，而题 目中和的弃九数是1，可以说这道题一定错误。 注：利用弃九法检验运算的结果是否正确时，
➢ 如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定 不正确；
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数. 假设p是合数, 令 p＝ab, a≠p. 由题设条件知, p|((p-1)!+l). 又因 a|p, 则有 a|((p-1)!+1). 但由于 a≤p-1可得 a|(p-1)!, 从而 a|(((p-1)!+1)-(p-1)!), 即a|l,
同余的应用举例
例1 已知2001年的国庆节是星期一，求2010年的国庆
节是星期几？
分析： 一星期有7天，要求2010年的国庆节是星期几， 就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的 余数就行了。但在计算中，如果我们能充分利用同余 性质，就可以不必算出这个总天数。
解： 2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年 7个平年，即有“366×2+365×7”天。
所以 ，结论得证。 i0
Байду номын сангаас
同余的算术应用2 ——弃九法
*证明了“弃九法”（弃九验算法）：把一个数的各 位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去 9得0），这个数就叫做原来数的弃九数．且一个数 的弃九数与其模9的余数相等。
利用这种方法可以验算较大整数的加法、减法、乘 法运算的结果是否正确，也可验算除法，但需转化 成乘法。
同余的算术应用1
* 正整数a能被9整除 iff 9整除a的十进制表示各数字的 和．
证明 若 a n ai 10, i 则由 i0 10i1(mod 9) (i=1,2,…,n)
和定理 1④可得:
n
a ( ai )(mod 9)
i0
注：因为10≡1(mod3)，同理, 一个整数能被3整除的必要
性质: ①自反性: aa (mod m). ②对称性: 若ab(mod m), 则 ba(mod m). ③传递性: 若ab(mod m), bc(mod m), 则: ac(mod m).
可见, 同余关系是等价关系.
2.0同余式定义和基本性质
定理1 若ab(mod m), cd(mod m), 则: ① ax+cy bx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数. ② ac bd(mod m).
充分条件是它的10进位数码的和能被3整除.
同余的算术应用1
** 正整数a能被7(或11，或13)整除 iff 7(或11，或13) 整除a
n
的定理十进制表示各数字的交错和
a （．-1）iai
i0
证明：因为1000与-1对模7(或11，或13)同余，
由同余性质，
a
n
（
-
1）ia（i m(o或dm7）od11，或mod13).
因而p只有因子1和p, 即p为素数.
同余关系及其在计算机领域的应用
同余的应用1：国际图书标准(ISBN编码) ISBN是international standard of book number 的缩写，即国
际标准图书编号。ISBN是国际通用的图书或独立的出版物(除定期出版 的期刊)代码。出版社可以通过ISBN清晰地辨认所有非期刊书籍。一个 ISBN只有一个或一份相应的出版物与之对应。新版本如果在原来旧版 的基础上没有内容上太大的变动，在出版时也不会得到新的ISBN号码。 当平装本改为精装本出版时，原来相应的ISBN号码也应当收回。
∵ 366×2≡2×2≡4（mod 7）， 365×7≡1×7≡0（mod 7），
∴366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。
同余的应用举例
例2 判定21991 + 1 、 21998 + 1 是否为质数。
分析： 期望找到正整数m ,使 21991 + 1 ≡0 (mod m) ,
显然, 由本定理可得如下推论. 推论 若 ac=bc(mod m), (c,m)=1,则:
ab(mod m).
2.0同余式定义和基本性质
定理4 ① 若ab(mod m), 且d|m, 则: ab(mod m). ③ 若ab(mod m), 则 (a,m)=(b,m). ③ ab(mod mi), (1≤i≤n), iff ab (mod [m1,m2,…,mn]). 证明 只给出③的证明, ①和②读者完成.
在我国古代的干支纪年也是这样的,它是以60作为除 数的纪年法.
这样,在数学中就产生了同余的概念. 同余概念是Gauss在1800年前后创立的.
2.0 同余定义和基本性质
定义1 给定一正整数m, 若用m去除两个整数a和b所得 余数相同, 则称a与b为对模m同余, 记作ab(mod m); 若余数不同, 则称 a与b为对模m不同余。 ab(mod m) iff m|(a-b). a0(mod m) iff m| a.
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
证明 必要性: 设p为一素数, 当p=2,3时, 结论显然成立.
现设p>3是一奇素数, S={2, 3, …, p-2}，aS. 因为 (a,p)=1, 存在整数m和n, 使am+pn=1, 于是am1(mod p).
1x1 2x2 (i 1)xi-1 iyi (i 1)xi1 9x9 10x10
设b=m-pq, 即b是p除m的余数, 易知 b≠1, b≠p-1, 故 bS, 且 ab1(mod p). 可以证明 a≠b.
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
假设 a=b, 则有(b-1)(b+1)0(mod p), 而 b≠l, b ≠p-1, 故(b-1)(b+1)0(mod p)不成立.
同余关系及其在计算机领域的应用
10位数ISBN的结构
现行的ISBN由10位数字组成，这10位数字由4组数字组成，中间用 “-”相连，每组数字都有不同的含义。 第一组号码是地区号，又叫组号，最短的只有一位数字，最长的达五位数 字，大体上兼顾文种、国别和地区。0、1代表英语，使用这两个代码的 国家有:澳大利亚、加拿大、爱尔兰、新西兰、波多黎各、南非、英国、 美国、津巴布韦等;2代表法语，法国、卢森堡以及比利时、加拿大和瑞士 的法语区使用该代码;3代表德语，德国、奥地利和瑞士德语区使用该代 码;4是日本出版物的代码;5是俄罗斯出版物的代码;7是中国出版物使用的 代码。 第二组: 出版社代码。由国家或地区的ISBN中心设置并分给各个出版社。 第三组:书序码。该出版物代码，是出版者分配给每一个出版物的编号。 第四组:计算机校验码。校验码是ISBN号的最后一位数值，它能够校验出 ISBN号是否正确。校验码只能是1位数，当为10时，记为罗马数字X。
同余在算术里的两个应用：
应用1——检查因数的一些方法 一整数能被3(9)整除 iff 它的十进位数码的和能被
3(9)整除. 正整数a=an1000n+an-11000n-1+ … +a0 , 0≤ai<1000, 则7(或11,
或13)整除a iff 7(或11,或13)整除(a0 + a2 + …)-(a1 + a3 + …).
第二章 同余与同余式
同余的概念与基本性质 同余方程组的求解方法 线性同余方程、高次同余方程的求解 原根和指数 应用
第二章 同余与同余式
在日常生活中,有时我们注意的常常不是某些整数,而 是这些整数用某一个固定的整数去除所得到的余数.
例如本月2日是星期3,那么9日,16日,…都是星期3,这是 因为它们用7除后得到的余数都是2
即 21991 ≡- 1 (mod m) . 解： 因为2 ≡- 1 (mod 3) ,所以,
21991 + 1 ≡ (-1)1991 + 1≡ (- 1) + 1 = 0 (mod 3) . 从而, 21991 + 1 为合数. 因为4 ≡- 1 (mod 5) ,所以, 21998 + 1 =4999+ 1 ≡ (-1)999 + 1 ≡ (-1)+ 1 = 0 (mod 5) . 从而, 21998 + 1 为合数.
同余关系及其在计算机领域的应用
左图是2007实行的新的ISBN标准，从10 位升到13位，为了讲课方便，我们仍然 用2007年以前的10位标准来讲述：
假设ISBN号已经选择前9位x1,x2 , x9,则这最后一位校验位 为：1x1+2x2 9x9 x10 (mod11) 比如：有一本书的前9位为0-619-06213,则其校验位由以下确定： (10+26+31+4 9+5 0+6 6+7 2+81+93)(mod11)=136(mod11) 4(mod11),故该书的校验码为4
③必要性:由①知,是成立的. 充分性: 若a b(mod mmi1),,m12≤,i…≤,nm, 则n的: 公m倍i|(数a-b, )从, 1而≤i≤也n,是即[m(a1-,bm)是2,…,mn]的倍 数, 因此:
ab (mod [m1,m2,…,mn]).
2.0同余式定义和基本性质
下面证明一个重要定理, 从应用和理论来说都有非常 大的意义. 尤其在理论上,它完全解决了判断给定的数 是否为素数的问题.
国际标准图书编号问世后，很快得到推广，主要是因为它对出版 商、书商的工作有很大的益处，体现在:国际标准书号是机读的编码， 从图书的生产到发行、销售始终如一，对图书的发行系统起了很大的 作用;它的引入使图书的定购、库存控制、账目和输出过程等任何图书 业的分支程序都简化了;国际标准书号也对图书馆和文献中心的订购、 采选、编目和流通程序都有促进作用;ISBN系统的引入也服务于书目信 息的流动和使用，而且为一个国家的图书生产提供经济的书目控 制;ISBN对图书市场更有效率，它能确定国际上出版的任何图书及其出 版社。在书业中习惯称ISBN为库藏码(Stock Number)，就是因为其被 普遍应用于书库管理。
2.0同余式定义和基本性质
定理 3 若ac=bc(mod m), (c,m)=d, 则 a b(mod (m/d))
证明 因为m|c(a-b), 于是(m/d)|((a-b)(c/d)), 又因为 (c,m)=d, 则有((c/d, m/d)=1, 因此 (m/d)|(a-b), 即: a b(mod (m/d)).
➢ 如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算式 是否正确，因为九余数只有0，1，2，…，8九种情 况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九法 检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。
弃九法
例2 求证 1997×57≠113828. 证明 由于19971＋9＋9＋78 (mod 9)
57 5＋7 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9) 但是, 8×3=24, 而24≠5(mod 9), 得证.
同余关系及其在计算机领域的应用
定理：通过校验位可以发现ISBN的单一错误。
证明：假设x1x 2
x10变成y1y2
y10，其中yk
x（k k
i）,yi
x
。
i
不妨设xi >yi，必存在整数使得xi yi a。其中0 a 10。
因此
1y1 2y2 3y3 4y4 5y5 6y6 7y7 8y8 9y9 10y10
1) 设a ≡ b (modm), c是任意整数.则 ac ≡bc(modm).
2) 设ai≡ bi (modm)(i =1,2,…,n, n>2),则 a1a2…an ≡b1b2…bn (modm). ③ an bn(mod m), 其中 n＞0. ④ f(a) f(b)(mod m), 其中f(x)为任意的一个整系数多项 式.
弃九法
例1 验算 851+346=1198． 解： 先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数．
851、346的弃九数分别是5，4，1198的弃九数1． 两个加数的弃九数相加得4+5=9，弃掉9后是0，而题 目中和的弃九数是1，可以说这道题一定错误。 注：利用弃九法检验运算的结果是否正确时，
➢ 如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯定 不正确；