数学二级结论(青云完整版)

数学二级结论
1集合的概念
集合中的元素的三个性质：确定性、互异性、无序性。

把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

n 个元素的集合共有2n 个子集，21n -个真子集。

2集合运算中的常用结论 （1）①(A B)(C )(C B);U U U C A = ②(A B)(C )(C B);U U U C A =
（2）①;A B A
B A ⊆⇔= ②;A B A B B ⊆⇔=
3与单调性有关的结论
(1)若f (x )，g (x )均为某区间上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )为某区间上的 增(减) 函数．
(2)若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 减(增) 函数．
(3)y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g (x )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]是 增函数 ．若f (x )与g (x )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]是 减函数 ．
(4)奇函数在对称区间上的单调性 相同 ，偶函数在对称区间上的单调性 相反 ． (5)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )的最大值为 f(a)，最小值为
f(b) ，值域为 [f (b )，f (a )] ．
（6）对于对勾函数y ＝x ＋a
x
(a >0)，单调增区间：(－∞，－a ]，[a ，＋∞)；单调减区间：[－a ，0)，(0，a ]． 4一些重要类型的奇偶函数
(1)函数f (x )＝a x
＋a －x
为 偶 函数，函数f (x )＝a x －a －x
为 奇 函数；
(2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1
a 2x ＋1
(a >0且a ≠1)为 奇 函数；
(3)函数f (x )＝log a 1－x
1＋x 为奇 函数；
(4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2
＋1)为 奇 函数． 5．函数的对称性及周期性
（1）若f (x )对于定义域中任意x ，均有f (x )＝f (2a －x )，或f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数
f (x )关于x ＝a 对称．
若函数f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )⇔f (2a －x )＝f (x )． (2)若f (x )关于x ＝a ，x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数且T ＝2(b －a )． (3)若f (x )关于(a,0)，(b,0)都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝2(b －a )．
(4)若f (x )关于(a,0)及x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝4(b －a )． (5)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )周期T ＝2a . (6)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1
f x
，则f (x )周期T ＝2a .
6．根式的运算性质
(1)当n 为奇数时，有n
a n
＝ a ；当n 为偶数时，有n
a n
＝ |a | . (2)负数的偶次方根 无意义 ． (3)零的任何次方根 都等于零 ． 7对数恒等式
①
＝N (a >0且a ≠1，N >0)．
②log a a b
＝b (a >0，且a ≠1，b ∈R )． (3)对数运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0) ①log a (M ·N )＝ log aM ＋log aN . ②log a M N
＝log aM －log aN . ③log a M n
＝nlogaM . (4)换底公式
log b N ＝log a N
log a b
(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，N >0)．
推论：①log a b ·log b a ＝1 . ②log a b ·log b c ＝log a c .
8．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)有定义，并且图像都通过点 (1,1) ．
(2)如果α>0，那么幂函数的图像过原点，并且在区间[0，＋∞)上为 增函数 ． (3)如果α<0，那么幂函数图像在区间(0，＋∞)上是 减函数 ．在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于＋∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴．
(4)当α为奇数时，幂函数为 奇函数 ，当α为偶数时，幂函数为 偶函数 ．
9．函数图像的三种变换
(1)平移变换
y ＝f (x )的图像向左平移a (a >0)个单位，得到y ＝f(x ＋a) 的图像；y ＝f (x －b )(b >0)
的图像可由y ＝f (x )的图像 向右平移b 个单位 而得到；y ＝f (x )的图像向下平移b (b >0)个单位，得到 y ＝f(x)－b 的图像；
y＝f(x)＋b(b>0)的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换
y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴对称；
y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点对称；
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分折到x轴上方，其余部分不变而得到；
y＝f(|x|)的图像可先作出y＝f(x)当x≥0时的图像，再作关于y轴的对称．
(3)伸缩变换
y＝f(ax)(a>0)的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的1
a
倍，
纵坐标不变而得到．
y＝af(x)的图像，可将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 a倍．
10．几个重要结论
(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线
(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图像关
②f(x，y)＝0与f(x，－y)＝0的图像关于x轴对称；
③f(x，y)＝0与f(－x，－y)＝0的图像关于原点对称；
④f(x，y)＝0与f(y，x)＝0的图像关于y＝x对称；
11.若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
12判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．
(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
(2)下列结论需记住：
①f (x ，y )＝0与f (－x ，y )＝0的图像关于y 轴对称； ②f (x ，y )＝0与f (x ，－y )＝0的图像关于x 轴对称； ③f (x ，y )＝0与f (－x ，－y )＝0的图像关于原点对称； ④f (x ，y )＝0与f (y ，x )＝0的图像关于y ＝x 对称； ⑤f (x ，y )＝0与f (2m －x ，y )＝0的图像关于直线x ＝m 对称． 13.函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2.求函数y ＝f (x )的零点：
(1)(代数法)求方程f (x )＝0的实数根(常用公式法、因式分解、直接求解等)；
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点；
(3)二分法(主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点)． 3．有关函数零点的重要结论：
(1)若连续不断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)连续不断的函数图像通过一重零点时(不是二重零点)，函数值变号；通过二重零点时，函数值可能
14数列
1）、一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =
2）、等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。

3）、等差数列的前n 项和公式：S n =
S n =
S n =
当d≠0时，S
n 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a
1
≠0），S
n
=na
1
是关
于n的正比例式。

4）、等比数列的通项公式： a
n = a
1
q n-1 a
n
= a
k
q n-k
(其中a
1为首项、a
k
为已知的第k项，a
n
≠0)
5）、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S
n =n a
1
(是关于n的正比例式)；
当q≠1时，S
n =S
n
=
6）、等差数列{a
n }的任意连续m项的和构成的数列S
m
、S
2m
-S
m
、S
3m
-S
2m
、S
4m
- S
3m
、……
仍为等差数列。

7）、等差数列{a
n
}中，若m+n=p+q，则
8）、等比数列{a
n
}中，若m+n=p+q，则
9）、等比数列{a
n }的任意连续m项的和构成的数列S
m
、S
2m
-S
m
、S
3m
-S
2m
、S
4m
- S
3m
、……
仍为等比数列。

10）、两个等差数列{a
n }与{b
n
}的和差的数列{a
n+
b
n
}、{a
n
-b
n
}仍为等差数列。

11）、两个等比数列{a
n }与{b
n
}的积、商、倒数组成的数列
{a
n b
n
}、、仍为等比数列。

12）、等差数列{a
n
}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

13）、等比数列{a
n
}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

14）、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
15）、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；
16）、{a
n
}为等差数列，则(c>0)是等比数列。

17）、{b
n }（b
n
>0）是等比数列，则{log
c
b
n
} (c>0且c1) 是等差数列。

18）. 在等差数列中：
（1）若项数为，则
（2）若数为则，，19）. 在等比数列中：
（1）若项数为，则
（2）若数为则，
15 解递推关系式常见方法
1） 公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有)2n (S S a 1n n n ≥-=-，等差数列和等比数列的通项公式。

2.）归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。

这种方法叫做归纳法。

3）. 累加法：利用恒等式)a a ()a a (a a 1n n 121n --+⋯
+-+=求通项公式的方法称为累加法。

累加法是求型如)n (f a a n 1n +=+的递推数列通项公式的基本方法（其中数列{f(n)}可求前n 项和）。

4） 累乘法：利用恒等式)0a (a a
a a a a a a n 1
n n 23121n ≠⋯⋅⋅=-求通项公式的方法称为累乘法。

累乘法是求型如n 1n a )n (g a =+的递推数列通项公式的基本方法（数列g{n}可求前n 项积）。

5）. 转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。

常用的转化途径有：
（1）凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式d qa a n 1n +=+（q 、d 为常数，0q ≠，
1q ≠）。

通过凑配变成⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=-+
+1q d a q 1q d a n 1n ，或消常数项转化为
)a a (q a a n 1n 1n 2n -=-+++；
（2）倒数变换——如将一阶分式递推公式
d a ca a n n
1n +=
+（c 、d 为非零常数）取倒数得
c 1a 1c
d a 1n 1n +
⋅=+；
（3）对数变换——如将一阶递推公式)1p ,0p ,0c ,0a (ca a n p
n 1n ≠>>>=+取对数得
c lg a lg p a lg n 1n +=+
（4）换元变换——如将一阶递推公式n
n 1n d qa a +=+（q 、d 为非零常数，1q ≠，1d ≠）
变换成d 1dd qa d
a n n 1
n 1n +=++，令n n
n d a b =，则转化为一阶线性递推公式。

方法二：数列求和常见的方法 1. 公式法
2. 错位相减法
3. 裂项相消法求和
4. 并项求和
5. 倒序相加求和
例
5. 已知数列{}n a 的前n 项和
12)1n (S n
n +⋅-=，是否存在等差数列{}n b ，使n n n 2n 21n 1n C b C b C b a +⋯++=对一切自然数n 均成立？
解析：由公式
⎩⎨
⎧≥-==-)2n (S S )1n (S a 1n n 1
n 依条件先求出a n 的通项，再由倒序相加法得出结论。

n=1时，1S a 11==
当2n ≥时，1n n n S S a --=
1
n 1n 1n n 2
n )
2n 2n 2(212)2n (12)1n (---⋅=+--⋅=-⋅--+⋅-=
因1a 1=满足2n ≥时n a 的式子 ∴
)N n (2n a 1
n n ∈⋅=- 假设存在等差数列{}n b 满足条件，设0b 0= 且{})N n (b n ∈仍成等差数列，则n n n 2n 21n 10n 0n
C b C b C b C b a +⋯+++=
倒序，得
0n 02n n 2n 1n n 1n n n n n C b C b C b C b a +⋯+++=---- 相加得
0n 0n 1n 1n 10n n 0n C )b b (C )b b (C )b b (a 2++⋯+++⋅+=- n
n n n 1n 0n n 02
b )
C C C )(b b (⋅=+⋯+++=
∴1
n n n 2b a -⋅=
令b n =n ，显然n=0时，b 0=0
故存在等差数列{}n b 满足已知等式。

16等差数列的设项
（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，d 2x ,d x ,x ,d x ,d 2x ++--，…，此时公差为d ；
（2）对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，d 3a ,d a ,d a ,d 3a ++--，…，此时公差为2d 。

1
17等比数列的设项
（1）对于连续奇数项的等比数列，通常可设为…，22
aq ,aq ,a ,q a
,q a ，…，此时公比仍为q ；
（2）对于连续偶数项的等比数列，通常可设为…，3
3
aq ,aq ,q a ,q a ，…，此时公比为0q 2>。

18、1）当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB BC CD PQ QR AR +++
++=，但这时必须“首尾相连”．
2）221
(||||)()2
OAB S OA OB OA OB ∆=
⋅-⋅.
19三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。

如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线。

① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA 。

即垂直射影则垂直斜线。

② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA 。

即垂直斜线则垂直射影。

⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。

（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。

20、唯一性定理：
（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。

（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。

（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。

21、距离的求法：
（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。

求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。

注意：求点到面的距离的方法：
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。

22、常用的结论：
（1）若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l 与l ' 所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关
图2-7 斜线定理
图2-8 三垂线定理
23如何确定点在平面的射影位置：
①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个
角的平分线上；
Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等，
那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；
Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点
为端点的线段的垂直平分线上。

②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上
的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；
③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面
的交线上(
面面垂直的性质定理)；
④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。

24在四面体ABCD 中：
25异面直线上两点间的距离公式：若异面直线所成的角为θ，
它们公垂线段
'AA 的长为d ，在b a ,上分别取一点F E ,，设m E A ='，n AF =；
b
α
a
A ’
A
F
E ’
E
θ
4）.在立方体中：
设正方体的棱长为a ，则
①体对角线长为a 3，②全面积为2
6a ，③体积3V a =，④内切球半径为1r ,外接球半
径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则12r a =,223r a =,222r a =
,且
123123r r r =::::
【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.
5）在球体中：
球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．
球的截面是圆面，球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是
22r R d =-.
.
27 球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612
a ,外接球的半
径为64
a ．
在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 1：8
28.不定项填空题易误知识点拾遗： (1)情况存在的“个数”问题
①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面＿＿个.（7个）； ②过直线外一点有＿＿个平面与该直线平行（无数个）；
③一直线与一平面斜交，则平面内有＿＿条直线与该直线平行.（0）； ④3条两两相交的直线可以确定＿＿个平面（1个或3个）；
⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有＿＿条（0或1）； ⑥3个平面可以把空间分＿＿个部分.（4或6或7或8）； ⑦两两相交的4条直线最多可以确定＿＿个平面（6个）；
(2)平面与空间的“区分”问题 1.错误的命题
①垂直于同一条直线的两直线平行； ②平行于同一直线的两平面平行； ③平行于同一平面的两直线平行；
④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；
⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直…… 2.正确的命题
①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行； ④两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面……
29易误提点：
①0a b ⋅<是,a b <>为钝角的必要非充分条件. ②截距不一定大于零，可为负数，可为零；
③0常常会是等式不成立的原因，0模为0，方向和任意向量平行，却不垂直； ④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”；
30．关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … …. 31、求解距离和体积
求体积常规方法：直接法（公式法）、分割法、补形法、等积法(位置转换)、比例法(性质转换)等.
32重要性质
（1）在三棱椎P ABC -中,设顶点P 在底面的射影为H ，即PH ABC ⊥.
①正三棱椎P ABC -中,则有PA BC ⊥,PB AC ⊥,PC AB ⊥,P 在底面的射影是
ABC ∆的中心.
②若PA BC ⊥,PB AC ⊥,则H 为ABC 的垂心. ③若PA PB PC ==,则H 为ABC 的外心.
④若PD ⊥AB,PE ⊥BC,PF ⊥AC 垂足分别为D 、E 、F 且PD=PE=PF. 则点H 是△ABC 的内心;
（2）①若∠POA=∠POB ，则PO 在面AOB 上的射影是∠AOB 的角平分线；
②若∠AOB ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别E 、F 且PE=PF.则点P 在面AOB 上
的射影在∠AOB 平分线.
33解析几何
1）解题的通性通法：
1、方程思想：解析几何题不少以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲
线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就能简化运算；
2、函数思想：对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系，相互
制约的量，从而使一些线段的长度及,,,,a b c e p 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效；
3、对称思想：对于圆锥曲线和圆具有对称性，所以可使分散的条件相对集中，减少一
些变量和未知量，量化计算，提高解题速度，促成问题的解决；
4、参数思想：参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动
变化状态，把圆、椭圆、双曲线上的点用参数形式设为()00,x y ，即可将参数视为常量，以相对静止来控制变化，实现变与不变的转化；另外，对于有些参数，视具体情况可在解题中将其消去，达到“设而不求”的效果；
5、转化思想：解决圆锥曲线问题时要充分注意直角坐标方程与参数方程的联系及转化，
达到优化解题的目的； 2）性质.
（1）、[]1,PF a c a c ∈-+ 12
PF F S
=1=的不平行于对称轴的弦，（2）、焦半径1[,)PF c a ∈-+∞ 12
PF F S
=
A 、
B 两点，
抛物线
抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦叫抛物线的通径，抛物线y 2＝2px (p >0)的通径长为
抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的焦点弦AB 的倾斜角为θ，则有下列性质：
(5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． (6)以AF 或(BF )为直径的圆与y 轴相切．
(7) ,M N 为抛物线y 2＝2px (p >0)上两个点，且OM ON ⊥，则直线MN 过定点(2,0)p (8) 抛物线x 2＝2py (p >0)
的焦点为F ，过F 的焦点弦为AB ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，以A 、
34 1）随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( 2）.方差的性质.
⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） 3）. 期望与方差的关系.
⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)( ⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(
4）期望与方差的转化：2
2)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）
0=-=ξξE E .
5)一组数据123,,,,n x x x x ⋯ ①样本方差
2
222121[()()()]n S x x x x x x n
=-+-+⋅⋅⋅+-2
22111111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ；
6)两组数据123,,,,n x x x x ⋯与123,,,,n y y y y ⋯,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =⋯.则
y ax b =+,它们的方差为222y x S a S =,标准差为||y x a σσ=
③若12,,
,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,
,n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +，
方差为22
a s .
样本数据做如此变换：'i i x ax b =+，则'
x ax b =+，222
()S a S '=.
35简单不等式的解法：
＞a (≥a )的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．
36不等式恒成立问题：
①在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L (形如[α，β]，(－∞，β]，[α，＋∞)等)上，含参数
的不等式f (x )≥t (t 为参数)恒成立的充要条件是f (x )min ≥t (x ∈L )．
②在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L 上，含参数的不等式f (x )≤t (t 为参数)恒成立的充要条件是f (x )max ≤t (x ∈L )．
③在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L 上，含参数的不等式f (x )≥t (t 为参数)有解的充要条件是f (x )max ≥t (x ∈L )．
(4)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L 上，含参数的不等式f (x )≤t (t 为参数)有解的充要条件是f (x )min ≤t (x ∈L )．
37简单线性规划问题：
①二元一次不等式表示的平面区域：设点P (x 1
，y 1
)，Q (x 2
，y 2
)，l ：Ax ＋By ＋C ＝0，若
Ax 1
＋By 1
＋C 与Ax 2
＋By 2
＋C 同号，则P ，Q 在直线l 的同侧，异号则在直线l 的异
侧．
38对于某些含约束条件的多变量最值问题，一般可采用柯西不等式处理。

例5：(2012湖北) 设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，
22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则
a b c
x y z
++=++
A ．
1
4
B ．1
3
C ．12
D ．
3
4
【解】由于222222)())((2
cz by ax z y x c b a ++≥++++
等号成立当且仅当
,t z
c
y b x a ===则a=t x b=t y c=t z ，10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++=
==t z
y x c
b a z y x
c b a z c y b x a 所以，答案选C. 39解形如ax 2＋bx ＋c ＞0的不等式时，首先要考虑对x 2的系数进行分类讨论．当a ＝0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b ，c 进一步分类讨论；当a ≠0且Δ＞0时，不
等式可化为a (x －x 1
)(x －x 2
)＞0，其中x 1
，x 2
(x 1
＜x 2
)是方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两个根，如果
a ＞0，则不等式的解集是(－∞，x 1
)∪(x 2
，＋∞)，如果a ＜0，则不等式的解集是(x 1
，x 2
)．
41常见的裂项公式
111)1(1+-=+n n n n ）（2
1
121)2(1+-=+n n n n
）（）（1
21
12121)12(121+--=+-n n n n
）（n k n k
k n n -+=++11 n n n a a a log )1(log )1
1(log -+=+
121121)12(12211+-+=++++n n n n n ）（ 1
12
)1(1
212)1(2++⋅+-⋅=++n n n n n n n n
数学二级结论（补充）
43. 元素与集合的关系
U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 44.包含关系
A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=
45.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<
46.方程在21上有且只有一个实根,与21不等价,前者是后
者的一个必要而不是充分条件.
特别地, 方程)0(02
≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于
0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且2
22
11k k a b k +<
-<,或0)(2=k f 且22122k a
b
k k <-<+.
47..一元二次方程的实根分布
依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2
)(，则
（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨->⎪⎩；
（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()040
2
f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪
⎨-≥⎪
⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩
；
（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨-<⎪⎩ .
(4)0)(2
4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0
00a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>
或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.
49．多项式函数1
10()n n n n P x a x a x a --=++
+的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 50.几个常见的函数方程
(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数()x
f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
(4)幂函数()f x x α
=,'
()()(),(1)f xy f x f y f α==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，
()
(0)1,lim
1x g x f →==.
(5))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.
52.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42
-=∆.若)(x f 的定义域为
R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,
需要单独检验.
53. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有
(1)x y N p =+.
54.分期付款(按揭贷款)
每次还款(1)(1)1
n
n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).
是实数，且12PP PP λ=，则
1λ
+1
21OP OP OP λλ+=+ 12
(1)OP tOP t OP =+-（1
1t λ=+）. 58. 三角形五“心”向量形式的充要条件
O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为）O 为ABC ∆的外心2
2
2
OA OB OC ⇔==. ）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.
）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. O ABC ∆0aOA bOB cOC ⇔++=. 的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.
0(0)bx c +><或2
(0,4a b ≠∆=-同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++简言之：同号两根之外，异号两根之间. 12)0()x x <<；
121212)0()x x x -><. 60. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域
设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 61. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.
62. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=.
（2）圆的一般方程 2
20x y Dx Ey F ++++=(22
4D E F +-＞0).
（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ=+⎧⎨=+⎩
.
（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是
,)x y ，其中22y px =.
74.抛物线的内外部(1)点00(,P x y 点00(,)P x y 在抛物线(,P x y
对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．
P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.
||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.
78.共面向量定理
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.
79.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k = 时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．
C A B 、、、
D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔
(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.
80.射影公式
已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'
A ，作B
点在l 上的射影'
B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e
81. 四面体的对棱所成的角
四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则
2222|()()|
cos 2AB CD BC DA AC BD
θ+-+=⋅.
82.点Q 到直线l 距离
h =
(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).
83. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和
面积分别是1c 和1S ,则 ①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.
84．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 85.排列恒等式
(1）1
(1)m m n n A n m A -=-+;
（2）1m
m
n n n A A n m -=
-; （3）1
1m m n n A nA --=;
（4）11n n n
n n n nA A A ++=-; （5）1
1m m m n n n A A mA -+=+.
(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.
86.组合恒等式 （1）1
1m
m n n n m C C m --+=
; （2）1m m
n n n C C n m -=-;
（3）11m
m n n n C C m
--=;
（4）
∑=n
r r n
C
0=n 2;
（5）1
121++++=++++r n r n r r r r r r
C C C C C . (6)n
n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)1
4205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1
321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r
n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n
n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .
87．单条件排列
以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有1
1---m n m n A A （补集思想）
1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k
m k n k
k A A --种.
②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k
k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的
一组互不能挨近的所有排列数有k
h h
h A A 1+种.。