福建省基地校厦门双十中学2015年高三数学10月专项练习数列不等式算法初步及推理与证明形成性测试理

《数列、不等式、算法初步及推理与证明》形成性测试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为（ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
2． 不等式091242≥-+-x x 的解集为（ ）
（A ）Ø
（B ）R
（C ）}2
3|{≠
x x （D ）}2
3{
3． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于（ ）
（A ）13
（B ）－1
3
（C ）19
（D ）－1
9
4． 已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为（ ）
（A ）13 （B ）12 （C ）34
（D ）23
5． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n
(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于（ ）
（A ）15
（B ）12
（C ）－12
（D ）－15
6． 执行如图所示的算法框图，则输出的k 的值是（ ）
（A ）3
B ．4
C ．5
D ．6
7． 若,,x y R ∈则"1"xy ≤是22"1"x y +≤的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
8． 已知数列{}n a 满足n n a n n
a a 2,111+=
=+，则此数列的通项公式n a 等于（ ） （A ）
2
)
1(2
+n （B ）)
1(2+n n （C ）121-n （D ）121
-n
9． 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c
b
；②a c
<b c
；③log b (a －c )>log a (b －c )．
其中所有正确结论的序号是（ ） （A ）① （B ）①② （C ）②③ （D ）①②③
10．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它
的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于（ ） （A ）2 008 （B ）2 010 （C ）1 （D ）0 11．设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下
列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ ） （A ）自然数集 （B ）整数集 （C ）有理数集 （D ）无理数集 12．数列{}n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则{}n a 的前60项和为（ ）
（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 13．若关于x 的不等式组⎩⎨
⎧>+->,
0,
1a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________.
14．已知f (x )＝x
1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2015(x )的表达式为________．
15．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值
范围为________．
16．定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|
成立，则称函数f (x )在定义域D 上满足利普希茨条件．若函数f (x )＝x (x ≥1)满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为________．
三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 17．求下列关于x 的不等式的解集：
(I)1)2()3(-+≤-x x x x ； (II)(2)30x x -⋅-<.
18．已知函数b
ax x x f +=2
)(（a 、b 为常数），且方程012)(=+-x x f 有两个实根为4,321==x x .
(I)求函数)(x f 的解析式；(II)设1>k ，解关于x 的不等式：x
k
x k x f --+≤2)1()(.
19．已知数列{}n a 满足)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+.
(I)求数列{}n a 的通项公式；
(II)若数列{}n b 满足)(,1*11N n a b b b n n n ∈+==+，求通项公式n b ；
20．定义：由n 个有顺序的数123,,,...,n x x x x 所组成的有序数组()123,,,...,n x x x x 称为n 维向量，记作
123(,,,...,)n a x x x x =，它的模21||a x =+已知||a =1，分别解答下列问题：
（Ⅰ）当n =2时，求证：12x +x ≤
（Ⅱ）当n =3时，比较123x +x x +需证明）.
21．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 根据规划，本
年度投入800万元，以后每年将比上一年减少5
1
，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加4
1
.
(I)设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出n n b a ,的表达式； (II)问至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：3.02lg ≈）
22．已知函数f 0(x )＝sin x x
(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *
.
(I)求2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2的值；
(II)证明：对任意的n ∈N *
，等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22都成立．
《数列、不等式、算法初步及推理与证明》形成性测试卷
参考答案
1．B 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
2a 1＋4d ＝10，
a 1＋3d ＝7.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
d ＝2.
∴d ＝2.
2．D 【解析】依题意，2(23)0,x -≤解得3
2
x =
. 3．C 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2
＝9，
又a 5＝a 1q 4
＝9，所以a 1＝19
.
4．B 【解析】∵0<x <1，∴1－x >0.
∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．
5．A 【解析】由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10
＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10
×(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10
×(3×10－2)] ＝3×5＝15.
6．C 【解析】由题意，得k ＝1时，s ＝1；k ＝2时，s ＝1＋1＝2；k ＝3时，s ＝2＋4＝6；k ＝4时，s ＝6＋9＝15；k ＝5时，s ＝15＋16＝31>15，此时输出的k 值为5. 7．B 【解析】若2
2
1x y +≤，则由2
2
12x y xy ≥+≥得1
,2
xy ≤
故 1.xy ≤ 若1,xy ≤则取1,1,x y ==-满足1,xy ≤但2221x y +=>故选B. 8．B 【解析】121112
12
12
1113(1)
n n n n n n n n a a a a n n n
n n n n -------=
===
=
++++. 9．D 【解析】∵a >b >1，∴1a <1b
. 又c <0，∴c a >c
b ，故结论①正确；
函数y ＝x c
(c <0)为减函数，又a >b ，∴a c <b c
，故结论②正确；
根据对数函数的单调性，log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，故③正确． ∴正确结论的序号是①②③.
10．B 【解析】由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，
∴a n ＋1＝a n －a n －1.
故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008， －2 009，－1,2 008,2 009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4
＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.
11．C 【解析】A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭． 12．D 【解析】因为12)1(1-=-++n a a n n n ，所以
,
119,2,113,,23,2,17,,15,2,9,,7,2,1,160159158157112111110191817161514131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-=+==-=-=+==-=-=+==-=-=+==
所以
1260
1234567857585960()()()
102642234
(10234)15
1830
2
a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++++++++++=+++++⨯=
=
13．(1,)-+∞【解析】设{|1}P x ax =>-，{|0}Q x x a =+> 当0a =时，{|1}P x ax R =>-=，{|0}Q x x =>，此时P Q ⋂≠Ø;
当0a >时，1{|}P x x a =>-，{|}Q x x a =>-，此时P Q ⋂≠Ø;
当0a <时，1
{|}P x x a
=<-，{|}Q x x a =>-，要使P Q ⋂≠Ø，
则1
a a
->-，解得10a -<<，综上，1a >-.
14．x
1＋2015x 【解析】2()()1()12f x x f x f x x ==++2320152(),(),
,().1()1312015f x x
x
f x f x f x x
x
===
+++
15. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 【解析】819
10,70,770,71.0807808a a d d d a a d d >+>+>⎧⎧⎧⇔⇔⇔-<<-⎨⎨⎨<+<+<⎩⎩⎩ 16．1
2
【解析】由已知中利普希茨条件的定义，若函数f (x )＝x (x ≥1)满足利普希茨条件，所以存在常
数k ，使得对定义域[1，＋∞)内的任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f (x 1)－f (x 2)|≤k |x 1－x 2|成立，不妨设
x 1>x 2，则k ≥x 1－x 2x 1－x 2＝1x 1＋x 2，而0<1x 1＋x 2<12
，所以k 的最小值为1
2.
17．解：（I ）原不等式可化为0122
≥--x x ，即0)1)(12(≥-+x x ，解得1
2
x ≤-
，或1x ≥.故原不等式的解集为),1[]2
1,(+∞--∞ ；
（II ）（1）当0≥x 时，原不等式可化为0322
<--x x ，所以0)1)(3(<+-x x ，所以31<<-x ，此时30<≤x ；
（2）当0<x 时，原不等式可化为
0322>+-x x ，此不等式显然恒成立，所以0<x . 综上，原不等式的解集为)3,(-∞
18．解(I)将4,321==x x 分别代入方程012)(=+-x x f 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+-=+,
8416,939
b
a b a 解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以)2(2)(2
≠-=x x
x x f .
(II)不等式即为x k x k x x --+≤-2)1(22，可化为02)1(2≤-++-x
k x k x ，即
02)
)(1(≥---x k x x . （1）当21<<k 时，解得k x ≤≤1或2>x ，解集为),2(],1[+∞ k ； （2）当2=k 时，解得1≥x 且2≠x ，解集为),2()2,1[+∞ ； （3）当2>k 时，解得21<≤x 或k x ≥，解集为),[)2,1[+∞k .
19．解（I ）因为)(12*1N n a a n n ∈+=+，所以))(1(21*1N n a a n n ∈+=++， 又由11=a 知01≠+n a ，故{}1+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，
于是n n a 21=+，即)(12*N n a n n ∈-=. （II ）依题意)(12*1N n b b n n n ∈-=-+，所以 当2≥n 时，
n
n n b b b b b b b b n n n n n n n -=+--=+--+++=+-+-++-=+-+-++-=---22)22(1)1()222(1)12()12()12()()()(2121112231
当1=n 时也符合上式，所以)(2*N n n b n n ∈-=. 20．解：（Ⅰ）当n =2时，由||a =1得22121x +x =
∴222121212()2x +x x x x x =++
22221212()2x x x x ≤+++=
∴12x +x
12x x ==
时，等号成立 （注：未写等号条件不扣分，其他方法酌情给分）
（Ⅱ）当n =3
时，123x +x x +≤
证明如下：由||a =1得2221231x +x x +=.
∴2222123123122331()222x +x +x x x x x x x x x x =+++++
222222222123122331()()()3x x x x x x x x x ≤++
++++++=.
∴1
23x +x +x 1233
x x x ===
时，等号成立 根据以上结论可得一般性的结论：123...n x x x x ++++≤21．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为)5
11(800-⨯万元，…，第n 年投入为1)51
1(800--⨯n 万
元，所以，n 年内的总投入])5
4
(1[4000)54(800548008001n n n a -⨯=⨯++⨯
+=- ； 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为)411(400+⨯万元，…，第n 年投入为1
)4
1
1(400-+⨯n 万元，所以，n 年内的旅游业总收入]1)4
5
[(1600)45(400454004001-⨯=⨯++⨯+=-n n n b .
所以，所求]1)4
5
[(1600],)54(1[4000-⨯=-⨯=n n n n b a .
（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入，即0>-n n a b ，即
0])5
4
(1[4000]1)45[(1600>-⨯--⨯n n ，
令n x )54(=，代入上式整理得02752
>--x x ，解此不等式得52<x 或1>x （舍去），即5
2)54(<n ，
两边取常用对数得5lg 2lg )5lg 2lg 2(5
2
lg 54lg -<-⇔<n n ，又15lg 2lg =+，所以
41
9.016.012lg 312lg 212lg 2)12lg 3(=--≈-->
⇔-<-n n ，又*
N n ∈，所以5min =n .
答：至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
22．解：(I)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫sin x x ′＝cos x x －sin x x 2，
于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′－⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x x 2′＝
－
sin x x －2cos x x 2＋2sin x
x
3
， 所以f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4π2，f 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝－2π＋16π3.
故2f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π2f 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝－1.
(II)证明：由已知得，xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cos x ，
即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2.
类似可得
2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，
3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3π2，
4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．
下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *
都成立． (i)当n ＝1时，由上可知等式成立．
(ii)假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
x ＋
k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，
⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（k ＋1）π2，
所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋（k ＋1）π2， 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．
综合(i)(ii)可知，等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
x ＋
n π2对所有的n ∈N *
都成立． 令x ＝π4，可得nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋n π2(n ∈N *
)，
所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π4f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2
(n ∈N *
)．。