2018版高中数学北师大版必修二学案:第一章7.3球的表面积和体积
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7.3球的表面积和体积
学习目标 1.了解球的表面积与体积公式,并能应用它们求球的表面积及体积.2.会求解组合体的体积与表面积.
知识点一球的截面
试探什么叫作球的大圆与小圆?
梳理用一个平面α去截半径为R的球O的球面取得的是________,有以下性质:
(1)假设平面α过球心O,那么截线是以________为圆心的球的大圆.
(2)假设平面α只是球心O,如图,设OO′⊥α,垂足为O′,记OO′=d,关于平面α与球面的任意一个公共点P,都知足OO′⊥O′P,那么有O′P=R2-d2,即现在截线是以____为圆心,以r=R2-d2为半径的球的小圆.
知识点二球的切线
(1)概念:与球只有________公共点的直线叫作球的切线.如图,l为球O的切线,M为切点.
(2)性质:①球的切线垂直于过切点的半径;
②过球外一点的所有切线的长度都________.
知识点三球的表面积与体积公式
类型一 球的表面积与体积
例1 (1)某几何体的三视图如下图,那么其表面积为______.
(2)已知球的表面积为64π,求它的体积.
反思与感悟 (1)要求球的体积或表面积,必需明白半径R 或通过条件能求出半径R ,然后代入体积或表面积公式求解.
(2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特点和三视图中数据的含义.依照球与球的组合体的结构特点及数据计算其表面积或体积.现在要专门注意球的三视图都是直径相同的圆. 跟踪训练1 (1)已知球的体积为500
3π,那么其表面积为________.
(2)某器物的三视图如图,依照图中数据可知该器物的体积是( )
A.4π3
B.
15π
3 C.4π3-15π3 D.
4π3+15π3
类型二 球的截面
例2 在半径为R 的球面上有A ,B ,C 三点,且AB =BC =CA =3,球心到△ABC 所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.
反思与感悟 (1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球半径R ,截面圆半径r ,球心到截面的距离d 组成的直角三角形,即
R 2=d 2+r 2.
跟踪训练2 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,若是不计容器的厚度,那么球的体积为( )
A.500π3 cm 3
B.866π3 cm 3
C.1 372π3 cm 3
D.2 048π3
cm 3
类型三 与球有关的组合体
命题角度1 球的内接或外切柱体问题
例3 (1)一个长方体的各个极点均在同一球的球面上,且一个极点上的三条棱的长别离为1,2,3,那么此球的表面积为________.
(2)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,那么该球的体积为________. 反思与感悟 (1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,假设正方体的棱长为a ,现在球的半径为r 1=a
2.
(2)长方体的外接球
长方体的八个极点都在球面上,称球为长方体的外接球,依照球的概念可知,长方体的体对角线是球的直径,假设长方体过同一极点的三条棱长为a ,b ,c ,那么过球心作长方体的对角面有球的半径为r 2=12
a 2+
b 2+
c 2
.
跟踪训练3 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a ,极点都在一个球面上,那么该球的表面积为( )
A .πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D .5πa 2
命题角度2 球的内接锥体问题
例4 假设棱长为a 的正四面体的各个极点都在半径为R 的球面上,求球的表面积.
反思与感悟 将正四面体能够补成正方体.由此可得 正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R =
6
2
a . 跟踪训练4 球的一个内接圆锥知足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,那么该圆锥的体积和此球体积的比值为________.
1.把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱,那么圆柱的高为( ) A .R B .2R C .3R D .4R
2.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,那么此球的体积为( )
A.6π B.43π C.46π D.63π
3.如图是一个几何体的三视图,依照图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A.9π B.10π C.11π D.12π
4.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
5.假设球的半径由R增加为2R,那么那个球的体积变成原先的________倍,表面积变成原先的________倍.
1.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可组成直角三角形,进行相关计算.2.解决球与其他几何体的切接问题时,通常先作截面,将球与几何体的各量表现在平面图形中,再进行相关计算.
答案精析
问题导学
知识点一
试探平面过球心与球面形成的截线是大圆.
平面只是球心与球面形成的截线是小圆.
梳理圆(1)O(2)O′
知识点二
(1)唯一(2)②相等
知识点三
4πR24
3
πR3
题型探讨 例1 (1)3π
解析 由三视图知该几何体为半球, 那么其表面积为12
×4π×12+π×12
=3π.
(2)解 设球的半径为R ,那么4πR 2
=64π,解得R =4, 因此球的体积V =43πR 3=43π·43
=2563π.
跟踪训练1 (1)100π (2)D
例2 解 依题意知,△ABC 是正三角形,△ABC 的外接圆半径r =3
3
×3= 3. 由R 2
=(R
2)2+(3)2
,得R =2.
因此球的表面积S =4πR 2
=16π.
跟踪训练2 A [利用球的截面性质结合直角三角形求解.
如图,作出球的一个截面,那么MC =8-6=2(cm),
BM =12
AB =12
×8=4(cm).
设球的半径为R cm ,那么R 2
=OM 2
+MB 2
=(R -2)2
+42
,∴R =5 cm , ∴V 球=43π×53
=500π3(cm 3).]
例3 (1)14π
解析 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即2R =12
+22
+32
=14, 因此球的表面积S =4πR 2
=14π. (2)4
3
π 解析 由题意知,此球是正方体的内切球,依照其几何特点知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是43×π×12
=4π3.
跟踪训练3 B
例4 解 把正四面体放在正方体中,设正方体棱长为x ,那么a =2x , 由题意2R =3x =3×
2a 2=6
2
a ,
∴S 球=4πR 2=32πa 2
.
跟踪训练4 932或332
当堂训练 1.D
2.B [如图,设截面圆的圆心为O ′,
M 为截面圆上任一点,
则OO ′=2,O ′M =1. ∴OM =
2
2
+1= 3.
即球的半径为3.∴V =43π(3)3
=43π.]
3.D 4.3∶1∶2 5.8 4。