高中数学典型例题解析(第七章平面解析几何初步1)

第七章 平面解析几何初步
§7.1直线和圆的方程
一、知识导学
1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有
d=|AB|=2
21221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或
|AB|=|y 2-y 1|.
2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以
A 为起点，
B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧++=++=λ
λλλ11212
1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=22
21
21y y y x x x .
3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.
4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

直线方程的形式很多，但必须注意各种
.
5．两条直线的夹角。

当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=
2
11
21k k k k +-，
当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.
6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2⇔1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2⇔1k ·2k = -1
（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，
B 2都不为零时，有以下结论：
①l 1∥l 2⇔
21A A =21B B ≠2
1C C
②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交⇔
21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合⇔
21A A =21B B =2
1
C C 7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离
d =
2
2
00|
|B
A C By Ax +++；
（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离
d=
2
2
21||B
A C C +-.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。

圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；
（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42
2-+＞0），圆心坐标
为（-2D ，-2E
），半径为r =2
422F E D -+.
二、疑难知识导析
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .
⎩⎨⎧=++++=++0
022F Ey Dx y x C By Ax −−→−消元一元二次方程ac
b 42-=−−→−△判别式
⎪⎩
⎪
⎨⎧⇔<⇔=⇔>相离△相切△相交△000 （2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到直线的距离为 d=
2
2
|
|B
A C Bb Aa +++−→−⎪⎩
⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相交相切
相离r d r d r d 2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； |O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切；
| r 1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2⇔两圆相交； | O 1O 2 |=|r 1-r 2|⇔两圆内切； 0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含. 三、经典例题导讲
［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解：设直线方程为:
1=+b y a x ,又过P(2,3),∴13
2=+b
a ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 1=+b
y
a x 的条件是:a ≠0且
b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.
正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2
3
0203=--=
k , ∴直线方程为y=
2
3
x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=
2
3
x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程.
错解：设动点P 坐标为(x,y).由已知3,)3()1(2
2-+-=y x x 化简3x =x 2
-2x+1+y 2
-6y+9 .
当x ≥0时得x 2-5x+y 2
-6y+10=0 . ①
当x ＜0时得x 2+ x+y 2
-6y+10=0 . ②
错因：上述过程清楚点到y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 (x-52 )2+(y-3)2 = 214 ① 和 (x+12 )2+(y-3)2
= - 34 ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.
正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2
= -
34 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2
= 214 (x ≥0)
［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2
+m+2=0的图象表示一个
圆？
错解：欲使方程Ax 2+Cy 2
+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，
得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2
+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，
∴当m=1或m=-3时，x 2和y 2
项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆
错因：A=C ，是Ax 2+Cy 2
+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：
A=C ≠0且F
A ＜0.
正解：欲使方程Ax 2
+Cy 2
+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，
得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2
+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，
(1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2
=-3不合题意，舍去.
(2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1
14
,原方程的图形表示圆.
［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2
-4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程.
错解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)，于是L ′过A(-3，-3).
设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2
＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1
即
1
1k 5
k 51k 3
k 32k 22
2
=+-=
+-+-
整理得12k 2
-25k+12＝0
解得k ＝
34 L ′的方程为y+3＝3
4
(x+3) 即4x-3y+3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称
故L 的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解
正解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3).
设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，
已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2
＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1
即
1
1k 5
k 51k 3
k 32k 22
2
=+-=
+-+-
整理得12k 2
-25k+12＝0
解得k ＝
34或k ＝4
3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4
3
(x+3)。

即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
因L 和L ′关于x 轴对称
故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.
［例5］求过直线042=+-y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
（1） 过原点；（2）有最小面积.
解：设所求圆的方程是：()04214222=+-++-++y x y x y x λ 即：()()04122222=+++-+++λλλy x y x （1）因为圆过原点，所以041=+λ，即4
1-
=λ 故所求圆的方程为：02
7
472
2=-+
+y x y x . （2） 将圆系方程化为标准式，有：
()5452452222
2
2
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+⎪⎭⎫ ⎝
⎛++λλλy x
当其半径最小时，圆的面积最小，此时5
2
-
=λ为所求. 故满足条件的圆的方程是5458542
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+y x .
点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以
待定系数法。

（2）面积最小时即圆半径最小。

也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.
［例6］（06年辽宁理科）已知点A(11,y x )，B(22,y x )（21x x ≠0）是抛物线)0(22>=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量,满足｜+｜＝｜-｜.设圆C 的方程为0)()(21212
2
=+-+-+y y y x x x y x （1）证明线段AB 是圆C 的直径；
（2）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为
5
5
2时，求p 的值.
解：（1）证明 ∵｜OB OA +｜＝｜OB OA -｜，∴（OB OA +）2＝（OB OA -）2
， 整理得：OB OA ⋅＝0 ∴21x x ＋21y y ＝0
设M （y x ,）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则⋅＝0 即 ))((21x x x x --＋))((21y y y y --＝0 整理得：0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径.
（2）设圆C 的圆心为C （y x ,），则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=22
2121y y y x x x ∵12
12px y =，)0(222
2>=p px y
∴22
221214p
y y x x =
又∵21x x ＋21y y ＝0 ，21x x ＝－21y y
∴－21y y 22
2
214p
y y =
∵21x x ≠0，∴21y y ≠0 ∴21y y ＝－42
p
21212
22122212141)2(41)(412y y p
y y y y p y y p x x x -++=+=+=
＝
)2(1
22p y p
+ 所以圆心的轨迹方程为2
2
2p px y -= 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为ｄ，则
＝
p
p p y y p y p
y x 5|
)(|5
|2)2(1|5
|
2|2222
+-=
-+=
-
当y ＝p 时，ｄ有最小值5
p ，由题设得
5
p ＝
5
5
2 ∴p ＝2.
四、典型习题导练
1．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 （ ）
A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
2.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2
+y 2
=4相切 ，那么a 的值是
( )
A.5
B.4
C.3
D.2 3. 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2
+y 2＝３，则
x
y
的最大值为： . 4.设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2
+y 2
-6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为
3
1. （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率；
（2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；
（3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程.
5.如图，已知圆C ：（x+4）2+y 2
=4。

圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 外切。

圆 D 与y 轴交于A 、B 两点，点P 为(-3，0).
（1）若点D 坐标为（0，3），求∠APB 的正切值；
（2）当点D 在y 轴上运动时，求∠APB 的正切值的最大值；
（3）在x 轴上是否存在定点Q ，当圆D 在y 轴上运动时，∠AQB 是定值？如果存在，求出点Q 坐标；如果不存在，说明理由
.
§7.2圆锥曲线
一、知识导学
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹.
2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，122
22=+b
x a y （0>>b a ）
3.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数
e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆. 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率
椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式.
4．椭圆的准线方程
对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2
1:-=；右准线c a x l 22:=.
对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 2
2:=.
5.焦点到准线的距离c
b c c a c c a p 2
222=-=-=（焦参数） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称. 6.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕ
ϕ
⎩⎨
⎧==b y a x .
7．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线. 即a MF MF 221=-. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
8．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：
焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b
y
a x (0>a ,0>
b )；
焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b
x a
y (0>a ,0>b )
(2)c b a ,,有关系式2
22b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a .
其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,.
9.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2
x 、2
y 项的
分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴. 而双曲线是根据项
的正负来判断焦点所在的位置，即2
x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2
y 项的系数是
正的，那么焦点在y 轴上. 10．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性
由标准方程122
22=-b
y a x ，从横的方向来看，直线x=-a ,x=a 之间没有图象，从纵的方向来
看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那
样是封闭曲线. 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. （2）顶点
顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21
实轴：21A A 长为2a , a 叫做半实轴长. 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长. 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异. （3）渐近线
过双曲线12222=-b
y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b y
a x ） .
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==
22，叫做双曲线的离心率. 范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：112
2
222-=-=-==e a
c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知，双曲线的离心率越
大，它的开口就越阔.
11． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=
a c a
c
e 的点的轨迹是双曲线. 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线. 常数e 是双曲线的离心率． 12．双曲线的准线方程：
对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2
1:-=，相对于右焦点
)0,(2c F 对应着右准线c a x l 2
2:=；
焦点到准线的距离c
b p 2
=（也叫焦参数）.
对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F 对应着上准线c a y l 2
1:=；相对于下焦点
),0(2c F -对应着下准线c
a y l 2
2:-=
13. 抛物线定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.
二、疑难知识导析
椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别,因此，要准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 1．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线. 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e .
2．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±
=)0(>±=k x ka
kb
，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2
2
22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x .
3．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线. 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上. 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1.
4．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性
以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 19.抛物线的焦半径公式：
抛物线)0(22>=p px y ，0
022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22
>-=p px y ，0
022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22
>=p py x ，0
022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22
>-=p py x ，0
02
2y p p y PF -=-= 三、经典例题导讲
[例1]设双曲线的渐近线为：x y 2
3
±
=，求其离心率. 错解：由双曲线的渐近线为：x y 23±=，可得：23=a b ，从而213
122=+==a
b a
c e
剖析：由双曲线的渐近线为x y 2
3
±=是不能确定焦点的位置在x 轴上的，当焦点的位置在y 轴上时，
3
2
=a b ，故本题应有两解，即： 213122=
+==a
b a
c e 或313
. ［例2］设点P(x,y)在椭圆442
2=+y x 上，求y x +的最大、最小值.
错解：因4422=+y x ∴442≤x ，得：11≤≤-x ，同理得：22≤≤-y ，故
33≤+≤-y x ∴最大、最小值分别为3,-3.
剖析：本题中x 、y 除了分别满足以上条件外，还受制约条件4422=+y x 的约束.当x=1时,y 此时取不到最大值2,故x+y 的最大值不为3.其实本题只需令θθsin 2,cos ==y x ，则)sin(5sin 2cos ψθθθ+=+=+y x ，故其最大值为5，最小值为5-. ［例3］已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ,离心率2=e ,求双曲线方程.
错解一： .60,40,10,422222
=-=∴=∴===a c b a c c
a x 故所求的双曲线方程为.160
402
2=-y x 错解二： 由焦点)0,10(F 知,10=c .75,5,2222=-==∴==
a c
b a a
c
e 故所求的双曲线方程为
.175
252
2=-y x 错因： 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。

由于判断错误，而造成解法错误。

随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法. 解法一： 设),(y x P 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ，
离心率2=e ，由双曲线的定义知
.2|4|)10(22=-+-x y x 整理得 .148
16)2(2
2=--y
x 解法二： 依题意，设双曲线的中心为)0,(m ,
则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+.
21042
a
c
m c m c a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===.284m c a ,所以 ,4816642
22=-=-=a c b
故所求双曲线方程为
.148
16)2(2
2=--y x ［例4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率2
3
=
e ，已知点)23,0(P 到这个
椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程.
错解：依题意可设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b y a x
则 431222
22222
=-=-==a
b a b a a
c e ， 所以 41
22=a
b ，即 .2b a =
设椭圆上的点),(y x 到点P 的距离为d ，
则 2
22)2
3(-+=y x d
.
34)2
1
(349
3)1(222222
+++-=+
-+-=b y y y b y a 所以当2
1
-
=y 时，2d 有最大值，从而d 也有最大值。

所以 22)7(34=+b ，由此解得：.4,122==a b
于是所求椭圆的方程为.14
22
=+y x 错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。

结果正确只是碰巧而已。

由当2
1
-
=y 时，2d 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y 到的取值范围.事实上，由于点),(y x 在椭圆上，所以有b y b ≤≤-，因此在求2
d 的最大值时，应分类讨论. 正解：若2
1
<
b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值. 于是,)2
3()7(22
+=b 从而解得矛盾与21,21237<>-=b b .
所以必有21≥b ，此时当2
1-=y 时，2
d （从而d ）有最大值，
所以22)7(34=+b ，解得.4,12
2
==a b
于是所求椭圆的方程为.14
22
=+y x
［例5］从椭圆122
22=+b
y a x ,(a >b>0)上一点M 向x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F 1，
A 、
B 分别是椭圆长、短轴的端点，AB ∥OM.设Q 是椭圆上任意一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若⊿F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程. 解：本题可用待定系数法求解.
∵b=c, a =2c ，可设椭圆方程为1222
22=+c
y c x .
∵PQ ⊥AB,∴k PQ =-
21==b
a
k AB ，则PQ 的方程为y=2(x-c)， 代入椭圆方程整理得5x 2
-8cx+2c 2
=0， 根据弦长公式，得c PQ 5
2
6＝
, 又点F 1到PQ 的距离d=
3
6
2 c ∴==
∆d PQ S PQ F 2112
5
34c ,由,2532053422==c c ，得 故所求椭圆方程为
125
502
2=+y x . ［例6］已知椭圆：19
22
=+y x
，过左焦点F 作倾斜角为6π
的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.
解：a=3,b=1,c=22; 则F （-22，0）
由题意知：)22(3
1
:+=
x y l 与1922
=+y x 联立消去y 得： 01521242=++x x
设A （),11y x 、B （),22y x ，则21,x x 是上面方程的二实根，由违达定理，2321-=+x x
41521=
⋅x x ，2
2
3221-=+=x x x M 又因为A 、B 、F 都是直线l 上的点， 所以|AB|=215183
24)(3
2||3
1
12122121=-=
-+⋅=
-⋅+x x x x x x
点评：也可利用“焦半径”公式计算.
［例7］（06年全国理科）设P 是椭圆)1(12
22>=+a y a
x 短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一
个动点，求｜PQ ｜的最大值.
解： 依题意可设P （0,1），Q （y x ,），则｜PQ ｜＝2
2)1(-+y x ，又因为Q 在椭圆上，
所以，)1(222y a x -=，｜PQ ｜2
＝12)1(222+-+-y y y a ＝22212)1(a y y a ++--
＝2
2
222
111)11)(1(a a
a y a -+----
-. 因为||y ≤1，a ＞1，若a ≥2，则|11|2a -≤1，当2
11
a y -=时，｜PQ ｜取最大值
1
1
2
22--a a a ；若1＜a ＜2，则当1-=y 时，｜PQ ｜取最大值2. ［例8］已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为5
3
的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN =4，求双曲线方程.
解：设所求双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b
y a x ，由右焦点为（2，0）.知C=2，b 2=4-a 2
则双曲线方程为142
2
22=--a
y a x ，设直线MN 的方程为：)2(53-=x y ，代入双曲线方程整理得：(20-8a 2
)x 2
+12a 2
x+5a 4
-32a 2
=0
设M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2),则222182012a a x x --=+， 2
2
421820325a a a x x --=.
∴ ()21212
4531x x x x MN -+⋅
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
48203254820125
8
2242
22=--⋅-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⋅=a a a a a 解得 12
=a ，3142=-=∴b .
故所求双曲线方程为：13
2
2
=-y x . 点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握.
四、典型习题导练
1. 设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 两焦点为F 1、F 2,点Q 为双曲线上除顶点外的任一点,
过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为P,则点P 的轨迹是 （ ）
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分
D.圆的一部分.
2．已知点(-2，3)与抛物线y 2
=2px(p ＞0)的焦点 的距离是5，则p= . 3.平面内有两定点4)4()301)0,1(22=-+--y x B A ），在圆（，（和上，求一点P 使
2
2BP AP +取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.
4.已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为22.（1）若圆（x-2）2+(y-1)2=320与椭圆
相交于A 、B 两点且线段AB 恰为圆的直径，求椭圆方程；（2）设L 为过椭圆右焦点F 的直线，交椭圆于M 、N 两点，且L 的倾斜角为600
，求
NF
MF 的值.
5.已知抛物线方程为)0)(1(22>+=p x p y ，直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值．
6.线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m,0）（m>0），端点A 、B 到x 轴距离之积为m 2，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线.
（1）求抛物线方程；
（2）若m AOB tg ，求1
-=∠的取值范围. §7.3 点、直线和圆锥曲线
一、知识导学
1． 点M(x 0，y 0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系
已知12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的焦点为F 1、F 2, 122
22=-b
y a x （a ＞0,b ＞0）
的焦点为F 1、F 2，px y 22
=(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x 0，y 0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明． 2．直线l ∶Ax ＋B y ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： 设直线l :Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由⎩⎨
⎧==++0
y)f(x,0
C By Ax
消去y(或消去x)得:ax 2
+bx+c=0,△=b 2
-4ac,（若a ≠0时）， △＞0⇔相交 △＜0⇔相离 △= 0⇔相切
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、疑难知识导析
1．椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离
心率。

焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式： ⎩
⎨⎧-=+=020
1ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是椭圆
的下上焦点）.
焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关. 可以记为：左加右减，上减下加. 2．双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径. 焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：
⎩⎨⎧-=+=∴0
201ex a MF ex a MF 焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：
⎩⎨
⎧-=+=∴0
201ey a MF ey a MF
（ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）
3．双曲线的焦点弦： 定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。

焦点弦公式：
当双曲线焦点在x 轴上时，
过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--=； 过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=。

当双曲线焦点在y 轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=； 过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=。

4．双曲线的通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦. a
b d 2
2=.
5．直线和抛物线 （1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）. 联立⎩⎨
⎧=+=px
y b kx y 22
，得关于x 的方程02
=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）； 当0≠a ，则
若0>∆，两个公共点（交点）； 0=∆，一个公共点（切点）； 0<∆，无公共点 （相离）. （2）相交弦长： 弦长公式：21k a
d +∆
=
. （3）焦点弦公式：
抛物线)0(22
>=p px y ， )(21x x p AB ++=. 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-=.
抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++=. 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=. （4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦. 通径：p d 2=. （5）常用结论：
⎪⎩⎪⎨⎧
=-=px
y p x k y 2)2(2
022
2=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 2
21p y y -=⇒和4
2
21p x x =.。