泰来县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

泰来县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（
）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
2． 已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）
A ．（1，5）
B ．（1，4）
C ．（0，4）
D ．（4，0）
3． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（
）A ．4B ．8C ．10D ．13
4． 下列满足“∀x ∈R ，f （x ）+f （﹣x ）=0且f ′（x ）≤0”的函数是（ ）
A ．f （x ）=﹣xe |x|
B ．f （x ）=x+sinx
C ．f （x ）
=
D ．f （x ）=x 2|x|
5． 已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（
）A ．5B ．3
C ．2
D ．
6． 复数（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
2
(2)i z i
-=i z A ． B ． C ． D ．43i -+43i +34i +34i
-【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．7． 设集合，，则（ ）
{}|||2A x R x =∈≤{}|10B x Z x =∈-≥A B =I A.
B.
C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤≤{}
2,1,1,2--{}
1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
8． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）
A ．8πcm 2
B ．12πcm 2
C ．16πcm 2
D ．20πcm 2
10．下列判断正确的是（
）
A ．①不是棱柱
B ．②是圆台
C ．③是棱锥
D ．④是棱台11．复数的虚部为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣2i
C ．2
D ．2i
12．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ）A ．33%
B ．49%
C ．62%
D ．88%
二、填空题
13．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，asinA=bsinB+（c ﹣b ）sinC ，且bc=4，则△ABC 的面积为 ．
14．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．
15．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．　
16．若复数是纯虚数，则的值为 .
34
sin (cos 55
z αα=-
+-tan α【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．17．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．　
18．在中，已知角的对边分别为，且，则角ABC ∆C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B 为
.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=ax 2+2x ﹣lnx （a ∈R ）．（Ⅰ）若a=4，求函数f （x ）的极值；
（Ⅱ）若f ′（x ）在（0，1）有唯一的零点x 0，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若a ∈（﹣，0），设g （x ）=a （1﹣x ）2﹣2x ﹣1﹣ln （1﹣x ），求证：g （x ）在（0，1）内有唯一的零点x 1，且对（Ⅱ）中的x 0，满足x 0+x 1＞1．
20．在直角坐标系xOy 中，过点P （2，﹣1）的直线l 的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ，直线l 和曲线C 的交点为A ，B ．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求|PA|•|PB|．　
21．已知椭圆x 2+4y 2=4，直线l ：y=x+m （1）若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；
（2）若l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值．　
22．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆过点，直线()2222:10x y C a b a b +=>>12,F F C P ⎛ ⎝1
PF 交轴于，且为坐标原点．
y Q 22,PF QO O =u u u u v u u u v
（1）求椭圆的方程；
C （2）设是椭圆上的顶点，过点分别作出直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率M C M ,MA MB ,A B 分别为，且，证明：直线过定点．
12,k k 122k k +=AB
23．已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设动直线与y轴相交于点，点关于直线的对称点在椭圆上，求的最小值．
24．设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．
泰来县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．
∴a＜c＜b．
故选：A．
2．【答案】A
【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a x﹣1得，f（1）=5，
则函数f（x）过定点（1，5）．
故选A．
3．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），
∵2tan=2，lg=﹣1，
∴（2tan）⊗lg=（2tan）×（lg+1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1，（）﹣1=5，
∴lne⊗（）﹣1=（）﹣1×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10．
故选：C．
4．【答案】A
【解析】解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，
A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，
且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，
B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；
D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，
故选：A．
5．【答案】D
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，
结合图象可知|AM|的最小值为点A 到直线2x+y ﹣2=0的距离，即|AM|min =．
故选：D ．
【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．　
6． 【答案】A
【解析】根据复数的运算可知，可知的共轭复数为，故选A.
43)2()2(22
--=--=-=i i i i
i z z 43z i =-+7． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及，得，则，所以，故选D.
||2x ≤22x -≤≤{}|22A x x =-≤≤{}1,2A B =I 8． 【答案】B
【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C 63=20种，其中恰有两个球同色C 31C 41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，
故选：B ．
【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．　
9． 【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R ，
R=
，S=4πR 2=12π故选B
10．【答案】C
【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；②的两个底面不平行，不是圆台；③是四棱锥；④不是由棱锥截来的，
故选：C．
11．【答案】C
【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．
故选；C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，
∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，
∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故答案为：
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
14．【答案】　（﹣1，1]　．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．
故答案为：（﹣1，1]
15．【答案】　2　．
【解析】解：∵一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差 [（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．　
16．【答案】34
-
【解析】由题意知，且，所以，则.3sin 05α-
=4cos 05α-≠4cos 5α=-3tan 4
α=-17．【答案】　（2，2）　．
【解析】解：∵log a 1=0，∴当x ﹣1=1，即x=2时，y=2，
则函数y=log a （x ﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a 1=0，属于基础题．　
18．【答案】4
π
【
解
析
】
考
点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是，消去多余的变量，从而解出角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三︒180B 角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出
2016现.
三、解答题
19．【答案】
【解析】满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），
．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
f′（x）﹣0+
f（x）↘极小值↗
故函数f（x）在单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值
，无极大值．…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0
当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，
且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）
当a＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，
只需h（1）=2a+1＞0，得．…（7分）
综上，．…（8分）
（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分）
，
由，故由（Ⅱ）可知，
方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，
且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）
又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分）
取t=e﹣3+2a∈（0，1），
则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，
从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，
即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，
从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）
解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）
（Ⅱ），
令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得．…（5分）
设，则m∈（1，+∞），，…（6分）
问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）
故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）
（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）
【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．
20．【答案】
【解析】（1）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，…
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x …
（2）∵直线l过点P（2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为（t为参数）．…
代入y2=4x 得t2﹣6t﹣14=0…
设点A，B对应的参数分别t1，t2
∴t1t2=﹣14…
∴|PA|•|PB|=14．…
21．【答案】
【解析】解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m2﹣4=0，
△=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）=﹣16m2+80=0
解得：m=．
（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的两根，
由韦达定理可得：x1+x 2=﹣
，x 1•x 2
=，∴|AB|=
==
=2；∴m=±．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．　
22．【答案】（1）；（2）证明见解析.2
212
x y +=【解析】
试
题解析：
（1），∴，∴，22PF QO =u u u u v u u u v
212PF F F ⊥1c =，2222221
121,1a b c b a b
+==+=+∴，
221,2b a ==即；2
212
x y +=（2）设方程为代入椭圆方程
AB y kx b =+，，22212102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭22221,1122A B A B kb b x x x x k k --+==++g ，∴，11,A B MA MB A B y y k k x x --==()112A B A B A B A B MA MB A B A B
y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+==g ∴代入得：所以， 直线必过．1
1k b =+y kx b =+1y kx k =+-()1,1--考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方
面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
23．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C：，
所以，，
故，解得，
所以椭圆的方程为．
因为，
所以离心率．
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设点，
则线段的中点的坐标为，
且直线的斜率，
由点关于直线的对称点为，得直线，
故直线的斜率为，且过点，
所以直线的方程为：，
令，得，则，
由，得，
化简，得．
所以
．
当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值为．
24．【答案】
【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．
当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是。