新高考高中数学 名师预测 考前押题精品 函数及其性质(选择与填空)(解析版)

精选05 函数及其性质（选择与填空）
1．利用函数的单调性，求参数的取值范围：应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
2．利用函数的单调性解不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f f h x x g >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与
()h x 的取值应在外层函数的定义域内．
3．利用单调性求最值：应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[],a b 上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[],a b 上是减函数，则()f x 在[],a b 上的最小值为()f b ，最大值为()f a ． 4．与函数奇偶性有关的问题及解决方法
（1）已知函数的奇偶性，求函数的值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式：已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数：在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()f x -()f x =，列式求解，也可以利用特殊值法求解．对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解．
（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性．
一、单选题
1．函数()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的解析式为
A ．2()()()f x x a b x =--
B ．2()()()f x x a x b =-+
C ．2()-()()f x x a x b =-+
D ．2()()()f x x a x b =--
【答案】A
【解析】由图象知，当x b =时，()0f x =，故排除B ，C ； 又当x b >时，()0f x <，故排除D ．故选A ．
2．设函数()2
12
1log 2x a x f x x x ⎧
-+<⎪⎪=⎨⎪≥
⎪⎩，，的最小值为1-，则实数a 的取值范围是
A ．1
2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
，
B ．12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，
C ．12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
，
D ．[
)1-+∞， 【答案】A
【解析】由于函数()2
12
1log 2x a x f x x x ⎧
-+<⎪⎪=⎨⎪≥
⎪⎩
，，的最小值为1-，
当12x ≥
时，()211log 122f x f ⎛⎫
≥==- ⎪⎝⎭
，
当12x ≤
时，()112
f x a >-+≥-，解得1
2a ≥-，故选 A ． 3．设3,10
()(5),10
x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为
A ．16
B ．18
C ．21
D ．24
【答案】B
【解析】因为3,10
()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨
+≤⎩
，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=．故选B ．
4．已知函数2log ,0()3,0,
x
x x f x x >⎧=⎨≤⎩则1
[()]4f f = A ．1
9 B ．9 C ．1-9
D ．9-
【答案】A
【解析】2
11
()log 244
f ==-， 所以2
11[()](2)349
f f f -=-==，故选A ．
5．已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()3
2
f x
g x x x a -=++，
则()3g = A ．27 B ．27- C ．8-
D ．8
【答案】B
【解析】由题意，函数()(),f x g x 分别是在
R 上的偶函数和奇函数，且
()()32f x g x x x a -=++，
令3x =，可得()()3336f g a -=+，
令3x =-，可得()()3318f g a ---=-+，即()()3318f g a +=-+， 联立方程组，可得()23183654g =--=-，所以()327g =-．故选B ．
6．已知奇函数()f x 在R 上单调递减，且()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集是
A ．[]22-,
B ．[]1,1-
C ．[]0,4
D ．[]1,3
【答案】D
【解析】因为()f x 为奇函数且且()11f =-，所以不等式()121f x -≤-≤， 即为()()()121f f x f ≤-≤-，因为函数在区间(),-∞+∞单调递减， 所以121x -≤-≤，解得13x ≤≤， 故x 的取值范围为[]1,3．故选D ．
7．若f (x )=,1
3,1a
x x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是
A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【解析】因为函数()3f x x a =-+在(,1)-∞上是单调递减的，
又()f x =,1
3,1a
x x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+<⎩是R 上的单调函数，
所以()a
f x x
=
在[1，+∞)上单调递减，即a >0， 并且131a a ≤-+，解得12
a ≥，
综上所述，a 的取值范围为1
[,)2
+∞．故选D
【名师点睛】解答本题时易只考虑两段上的单调性，忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系，但是忽视了取等号的情况而导致结果错误．
8．已知函数()()()
,(0)
23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，
都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是 A ．()0,1a ∈
B ．3,14a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
C ．30,4
a ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
D ．3,24
a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立， 即函数()()()
,(0)
23,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩为R 上的减函数，
可得01
20123a a a a
<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩
，解得3
04a <≤．故选C ．
9．函数()3
1
()31
x x e f x x x e -=-⋅+的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由题知()3
1
()31
x x e f x x x e -=-⋅+的定义域为(),-∞+∞．
因为()()()3
33
111()333()111
x x x x x
x e e e f x x x x x x x f x e e e ------=-+⋅=--⋅=-⋅=+++， 所以()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除选项B ；
又221
(2)201
e f e -=⨯>+，故排除选项C ，D ．故选A ．
【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
10．已知函数21,0,
()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩
，若()05f x =，则0x 的取值集合是
A ．{2}-
B ．5,22⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭ C ．{2,2}- D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩
⎭
【答案】A
【解析】若00x ≤，可得2
015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；
若00x >，可得02x -=5，可得05
2
x =-，与00x >相矛盾，故舍去， 综上可得02x =-．故选A ．
【名师点睛】本题主要考查分段函数，分段求解是处理分段函数的核心．
11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-．则不等式
()0x f x ⋅>的解集为
A ．()()1,01,-⋃+∞
B ．()
()1,00,1-
C ．()(),10,1-∞-⋃
D ．()(),11,-∞-+∞
【答案】C
【解析】当0x ≥时，()()1f x x x =-，由()0x f x ⋅>可得()0f x >，即()10x x ->，解得01x <<；
当0x <时，0x ->，则()()1f x x x -=-+，又()f x 是偶函数，()()1f x x x ∴=-+，由()0x f x ⋅>可得()0f x <，即()10x x -+<，解得1x <-， 综上，()0x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故选C ．
12．已知函数f (x )＝1
3
31,,log 1x x x x ⎧≤⎪
⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】因为函数()f x 1
33,1
log ,1x x x x ⎧≤⎪
=⎨>⎪⎩，
所以函数()1f x -()11
3
3,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪
=⎨-<⎪⎩，
当x ＝0时，y ＝f （1）＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ； 当x ＝－2时，y ＝f （3）＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ； 当0x <时，()13
11,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选D ．
13．已知函数()1
22
x
x f x =-，若实数m 满足()()313log log 21f m f m f ⎛⎫
-
≥ ⎪⎝⎭
，则实数m 的取值范围是
A ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]1,3
D ．[
)3,+∞
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为R ，且()()112
222
x
x x x f x f x ---=-
=-=-， 所以()f x 为奇函数，又()f x 为R 上的增函数，
所以()()()()()313333log log log log 2log 21f m f m f m f m f m f ⎛⎫
-=--=≥ ⎪⎝⎭
，
即()()3log 1f m f ≥，所以3log 1m ≥，解得3m ≥， 所以实数m 的取值范围是[
)3,+∞．故选D ．
14．已知函数f (x )＝1211(2)(2)(2)
og x x a x x -≥⎧⎪
⎨⎪-<⎩满足对任意的实数x 1≠x 2，都有2121()()f x f x x x --＜0成
立，则实数a 的取值范围是 A ．（﹣∞，2] B ．[﹣3，2） C ．[﹣3，+∞）
D ．[1，2）
【答案】D
【解析】函数()f x 满足对任意的实数12x x ≠，都有
2121
()()
0f x f x x x -<-成立，
所以函数是R 上的减函数，则1
2202(2)log 21a a -<⎧⎪
⎨-≥-⎪⎩
，解得12a ≤<，
所以a 的取值范围为[)1,2．故选D ． 15．对,a b ∈R ，记{},,
max ,,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩
函数()max{1,3}()f x x x x R =+-∈的最小值
是 A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】{}1,1
()max 1,33,1
x x f x x x x x +≥⎧=+-=⎨
-<⎩，
当1≥x 时，()1f x x =+，显然当1≥x 时，有()(1)2f x f =≥， 当1x <时，()3f x x =-，显然当1x <时，有()(1)2f x f >=， 因此函数()max{1,3}()f x x x x R =+-∈的最小值是2．故选B.
16．函数()12ln 41
x x
x
f x +⋅=+的部分图象大致为． A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由12
2ln ln ()4122
x x x
x x
x f x +-==++知， ()f x 为偶函数，(1)0f =，11
221ln 4
()02
22f --=<+，故排除BC 选项； 44ln16(4)0.1722f -=
≈+，55
ln 25
(5)0.1022
f -=≈+，易知()f x 在随着x 增大过程中出现递减趋势，且趋近于x 轴，故A 正确．故选A ．
17．已知()y f x =为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈时，
()()2log f x x a =+，则()2023f =
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】因为()y f x =为奇函数，所以()2001log a a f =⇒==，
因此当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，．
因为()1y f x =+是偶函数，所以()()11f x f x +=-+，而()y f x =为奇函数， 所以()()()11(1)1(1)f x f x f x f x f x +=-+=--⇒+=--， 因此有()11(11)()(2)f x f x f x f x ++=-+-⇒=-+，
因此有(2)(22)f x f x +=-++，所以()(4)f x f x =+，因此()y f x =的周期为4，
()22023(45061)(1)(1)log (11)1f f f f =⨯-=-=-=-+=-，故选A.
18．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若(2log a f =4．9)()
0.821log ,26b f c f ⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭
则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<
【答案】D
【解析】因为()f x 是奇函数，所以()22211log log log 666
b f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
，
显然222log 6log 4.9log 42>>=，10.8222<=， 因此0.8
22log 6log 4.92
>>，因为()f x 在R 上是增函数，
所以()()()0.8
22log 6log 4.92
f f f >>，即c a b <<，故选D
19．函数()21
e 1
x x x f -=+的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】因为()21e 1x x x f -=+，所以()21
e 1
x
f x x -=--+ 由于()()f x f x -≠，所以函数不是偶函数，排除C ，D 选项． 当2x =时，()2
3
1e 1
2f <+=
，排除B 选项，故选A ．
20．函数()f x =的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】因为令g (x )=2cos x x -，x >0时，x 2是递增的，cos x 在(0，π)上递减， 则有g (x )在(0，π)上单调递增，而(0)1,(1)1cos10g g =-=->， 所以存在0(0,1)x ∈使得0()0g x =，
()f x ∴中0,x R x x ∈≠，排除C 、D ，
因为2
x π
=
时()0f x >，排除B ，所以选A ．故选A
【名师点睛】给定解析式，识别图象，可以从分析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上
单调性及特殊值等方面入手．
21．如图，图象对应的函数解析式可能是
A ．cos sin y x x x =+
B ．sin cos y x x x =+
C ．sin y x x =
D ．cos y x x =
【答案】A
【解析】对于A 选项，设()1cos sin f x x x x =+，该函数的定义域为R ，
()()()()()11cos sin cos sin cos sin f x x x x x x x x x x f x -=--+-=--=-+=-，该函数
为奇函数， 且1cos sin 102222f ππ
ππ⎛⎫=+=>
⎪⎝⎭
，满足条件； 对于B 选项，设()2sin cos f x x x x =+，该函数的定义域为R ，
()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=--+-=+=，该函数为偶函数，不满足条件；
对于C 选项，设()3sin f x x x =，该函数的定义域为R ，
()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，该函数为偶函数，不满足条件；
对于D 选项，设()4cos f x x x =，该函数的定义域为R ，
()()()44cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，该函数为奇函数，
4cos 022
2f ππ
π⎛⎫== ⎪⎝⎭，不满足条件．故选A ．
【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象．
22．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1．已知函数f (x )＝12
×4x
－3×2x ＋4(0<x <2)，则函数y ＝[f (x )]的值域为 A ．13,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．{－1，0，1}
C ．{－1，0，1，2}
D ．{0，1，2}
【答案】B
【解析】令t ＝2x ，t ∈(1，4)，则g (t )＝
12t 2－3t ＋4，t ∈(1，4)．由二次函数性质，－1
2
≤f (t )<
3
2
，因此[f (t )]∈{－1，0，1}．则函数y ＝[f (x )]的值域为{－1，0，1}．故选B ． 【名师点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义函数，确定求新函数值域的方法．即先求得函数()f x 的取值范围，再求函数[()]y f x =的范围． 23．函数1
ln x x
y e e -=
-的部分图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
()1ln x x y f x e e -==
-，
()()11
ln ln x x x x
f x f x e e e e --∴-===--，()f x ∴是偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除B ，C ．
()22
1
20ln f e e
-=
>-，()()22f ∴，在x 轴上方，所以排除A ．故选D ．
【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
24．已知奇函数()f x 在()-∞+∞，
单调递增，()12f =，若()02f m <<，则 A ．()(
)2
log 1log 1m m m m +>+
B ．()log 10m m -<
C ．22(1)(1)m m ->+
D ．()()1
1
3211m m ->-
【答案】D
【解析】()02f m <<，()()()01f f m f ∴<<，01m ∴<<，11m ∴+>，011m <-<．
211m m +>+，()()
2
log 1log 1m m m m ∴+<+，()log 10m m ->，所以A ，B 错误；
2y x =在()0+∞，
上为增函数，22(1)(1)m m ∴-<+，所以C 错误； (1)x y m =-在()0+∞，
上为减函数，()()1
1
3211m m ∴->-，所以D 正确．故选D 【名师点睛】本题考查抽象函数的单调性，以及基本初等函数的性质，本题的关键是根据条件可得()()()01f f m f <<，再利用函数的性质判断出01m <<．
25．函数()x
e
f x x
=的大致图象是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】法一：由函数()x
e
f x x
=，则()()x x e e f x f x x x --==-=--，所以函数()f x 为奇
函数，图象关于原点对称，所以排除B ； 因为()10f >，所以排除D ；
因为12f e ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，所以排除C ，故选A ． 26．函数()ln |||sin |,(f x x x x ππ=+-≤≤且0)x ≠的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】函数()ln |||sin()|ln |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，(x ππ-≤≤且0)x ≠是偶函数，A 不合要求．
当0x π>>时，()ln sin f x x x =+：当0x +→，()f x →-∞，C 不合要求；而
1()cos 0f x x x
'=
+=时，1
,cos y y x x ==-在0x π>>上只有一个交点(如下图示)，即
区间内只有一个极值点． D 不合要求，B 符合要求．故选B ．
【名师点睛】利用导函数，应用数形结合分析函数的交点情况，判断函数在区间上极值点个数．
27．已知函数f （x ）＝222,0
log 0x x x x x ⎧--≤⎪⎨>⎪⎩
，，若1234x x x x <<<，且
()()()()1234f x f x f x f x ===，给出下列结论：①121x x +=-，②341x x =，③
12341
02
x x x x <+++<
，④123401x x x x <<，其中所有正确命题的编号是 A ．①② B ．②③ C ．②④
D ．②③④
【答案】D
【解析】函数()220
2,0
log x x x f x x x ⎧≤--⎪=⎨>⎪⎩，的图象如右图所示，
函数2
2y x x =--的图象关于直线1x =-对称，则122x x +=-，故①错误；
由()()34f x f x =得2324log log x x =，所以2324log log x x -= 则()234log 0x x =，所以34
1x x =，故②正确；
设()()()()1234f x f x f x f x k ====，由2
21y x x =--≤
所以01k <<，由2log 1x =-得1
2x =
，则3112
x <<， 因为12343433
1
22x x x x x x x x +++=-++=+
-，
所以12343311202x x x x x x ⎛⎫
+++=+
-∈ ⎪⎝⎭
，，故③正确； 由2
2y x x =--的对称轴方程为1x =-，由图可知()121x ∈--，
又()2
123412111122x x x x x x x x x x ==--=--，
所以()2
12341120,1x x x x x x =--∈，故④正确．故选D ．
【名师点睛】本题考查与函数零点相关的代数式的取值范围的判断，考查数形结合思想以及函数单调性的应用，解答本题的关键是由图象得出122x x +=-，由()()34f x f x =得，
341x x =，从而得出答案，属于中等题．
28．已知函数231,1
()1,1
x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则
A ．t 没有最小值
B ．t
1 C ．t 的最小值为43
D ．t 的最小值为
1712
【答案】B
【解析】如图，作出函数()f x 的图象，
()()f n f m =且n m >，则1m ，且1n >，
2
311m n ∴+=-，即22
3
n m -=． 由2
1014
n n >⎧⎨<-≤⎩
，解得1n <≤
222211317
(32)()333212
n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，
又1n <≤∴当n =
()min 1n m -=．故选B ．
【名师点睛】（1）分段函数的图象一般分段来画，在画各段图象时要注意端点实虚． （2）多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题．根据变量间的关系消元或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法．
29．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()1213f x f ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
的实数x 的取值范围是 A ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
【答案】A
【解析】因为偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，且满足()1213f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭
，
所以不等式等价为()1213f x f ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
，即1
213x -<， 所以112133x -
<-<，解得1233x <<，故x 的取值范围是1233⎛⎫
⎪⎝⎭
，．故选A 【名师点睛】本题考查利用偶函数的单调性解不等式，解题的关键在于将问题转化为
()1213f x f ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
，进而解绝对值不等式即可，是中档题．
30．已知函数()1
|2|2
x
x f x =-，若实数m 满足()313log log 3f m f m ⎛⎫
+
≥ ⎪⎝⎭
，则实数m 的取值范围是 A ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．[]1,3
D ．[)10,3,3
⎛⎤+∞ ⎥
⎝
⎦
【答案】D
【解析】易知()f x 定义域为R ，且()()f x f x -=，故()f x 为偶函数， 当0x >时，()122x
x
f x =-
为增函数，()
3
12f =， 故()()()()()313333
log log log log 2log 321f m f m f m f m f m f ⎛⎫+=+-=≥= ⎪⎝
⎭
，
即()()3log 1f m f ≥，即()()3
log
1f
m f ≥
所以3log 1m ≥，则3log 1m ≤-，或3log 1m ≥， 解得103x <≤
或3x ≥，所以[)10,3,3m ⎛⎤
∈⋃+∞ ⎥⎝⎦
，故选D ． 【名师点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得出()
f x 为偶函数和在()0+∞，
上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为()()3log 1f m f ≥，即()()3log 1f m f ≥，再由单调性求解，属于中档题．
31．函数2
,22
()lg(1),22
x a x f x x x x ⎧--<<⎪=⎨-≤-≥⎪⎩或，对(),10x R f x ∀∈+≥，则a 的取值范围为
A
．1,
B ．1,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭ C ．(],1-∞
D ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】函数()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，则函数为偶函数，
则问题只需考虑0x ≥时即可．
当02x ≤＜时，函数()f x 单调递增，()f x 的最小值为()0f a =-； 当2x ≥时，函数()f x 单调递增，()f x 的最小值为()20f =． 要使(),10x R f x ∀∈+≥，则只需10a -+≥即可，所以1a ≤． 即a 的取值范围为(],1-∞．故选C ．
【名师点睛】本题考查分段函数不等式恒成立问题，对数函数的值域，考查运算求解能力与化归转化能力，是中档题．本题解题的关键在于根据题意，将问题转化为函数的最小值大于等于1-．
32．定义在*N 上的函数()22,3
,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩
为递增函数，则头数a 的取值范围是
A ．()1,2
B ．33,42⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．()1,3
【答案】D
【解析】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，
由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <； 当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，
则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<， 综上可知a 的取值范围是()1,3，故选D ．
【名师点睛】解答本题的关键在于分析函数的定义域和单调性，从而确定出a 所满足的不等关系，注意将本题与定义域为R 的分段函数单调性问题作区分．
33．已知函数()f x 是R 上的满足(1)(1)f x f x +=--，且()f x 的图象关于点()1,0对称，
当[]0,1x ∈时，()22x
f x =-，则()()()()0122021f f f f +++⋅⋅⋅+的值为
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】D
【解析】因为(1)(1)()()f x f x f x f x +=--⇒=-，又()f x 关于(1,0)对称，
所以(2)()()(4)(2)()f x f x f x f x f x f x +=--=-⇒+=-+=，所以()f x 的周期为4， 由函数解析式及性质易知，(0)1f =，(1)0f =，(2)1f =-，(3)0f =，
(0)(1)(2)(2021)505[(0)(1)(2)(3)](2020)(2021)f f f f f f f f f f +++=+++++
0(0)(1)1f f =++=故选D ．
【名师点睛】当求和项较多时，利用函数周期性，结合函数解析式求值．
34．已知函数2
1
2,022
()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且
()03-<f x a ，则实数a 的取值范围
A ．[2,3)
B ．[1,3)
C ．[1,2)
D ．(1,3)
【答案】C
【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002
x a
=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤
⎪⎩
，得1a ≥．又()03-<f x a ，所以
32a f a ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
， 即
12
332
a
a a -+<，整理得
12
2
1a -+>，102
a
-+>，解得2a <． 综上，12a ≤<．故选C ．
【名师点睛】求解分段函数与方程、不等式问题的交汇问题，关键是依据自变量的不同范围或参数的不同范围分类讨论求解，最后还要根据讨论对象的不同（是对自变量进行的分类讨论还是对参数进行的分类讨论）来确定最终结果．
35．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递增，且满足
()12f -=-，则关于x 的不等式()2
sin f x x x
π<
+的解集为． A ．()
(),11,-∞-+∞
B ．()()1,01,-⋃+∞
C ．()(),10,1-∞-⋃
D ．()
()1,00,1-
【答案】C 【解析】
()f x 为()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，
令()()2g x f x x =-
，则()()()()22
g x f x f x g x x x
-=-+=-+=-， ()g x ∴为()(),00,-∞⋃+∞上奇函数；
()f x 在(),0-∞上单调递增，2
y x
=-在(),0-∞上单调递增，
()g x ∴在(),0-∞上单调递增，由奇函数性质知()g x 在()0,∞+上单调递增； ()12f -=-，()()1120g f ∴-=-+=，则()10g =，
又()()51122f f f ⎛⎫
>=--=
⎪⎝⎭
，当52x =时，2459sin sin 525x x ππ+=+=， ∴当52x =
时，()2sin f x x x π<+不成立，即55sin 22g π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
不成立，
由此可在坐标系中画出()g x 与sin y x =π大致图象如下图所示：
由图象可知当()(),10,1x ∈-∞-时，()sin g x x π<，
即当()
(),10,1x ∈-∞-时，()2
sin f x x x
π<
+．故选C ． 【名师点睛】本题考查函数不等式的求解，解题关键是能够通过构造函数的方式，结合奇偶性和单调性的知识确定函数的大致图象，利用数形结合的方式求得结果． 二、多选题
36．德国数学家狄里克雷（Dirichlet ）是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，我们称函数()1,0,x D x x ⎧=⎨
⎩
为有理数
为无理数，为狄里克雷函数．记
()()sin f x x D x =⋅，则下列的叙述中正确的是
A ．()D x 的值域为[]0,1
B ．()D x 是周期函数
C ．()f x 是奇函数
D ．()f x 是单调函数
【答案】BC
【解析】函数()D x 的值域为{}0,1，故A 错误；
对于任意的有理数T ，当x 为有理数时，x T +也是有理数，则()()1D x T D x +==， 当x 为无理数时，x T +也是无理数，则()()0D x T D x +==，即函数()D x 是周期函数，故B 正确；
()D x 的定义域为R ，当x 为有理数时，x -是有理数，则()()1D x D x -==，当()D x 为
无理数时，x -是无理数，则()()0D x D x -==，即()D x 为偶函数，故
()()()()()sin sin f x x D x x D x f x -=-⋅-=-⋅=-，故C 正确；
()1sin1f =，02f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
π，()2sin 2f =，显然()f x 不是单调函数，故D 错误，故选BC ．
37．关于函数()()21
lg 0x f x x x
+=≠，则下列说法正确的是 A ．其图象关于y 轴对称
B ．当0x >时，()f x 是增函数；当0x <时，()f x 是减函数
C ．()f x 的最小值是lg 2
D ．()f x 无最大值，也无最小值 【答案】AC
【解析】函数()()21
lg
0x f x x x
+=≠定义域为()()00-∞∞，，+，
又满足()()f x f x -=，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，A 正确；
函数()()21
lg 0x f x x x +=≠，当0x >时，令1t x x =+，原函数变为lg y t =，1t x x
=+在()01，上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，所以()f x 在()01，上是减函数，在[1,)+∞上
是增函数，1
2t x x
=+≥，又是偶函数，所以函数()f x 的最小值是lg 2，故BD 不正确，C 正确;故选AC ．
38．设R x ∈，用[]
x 表示不大于x 的最大整数，则[]
y x =称为高斯函数，也叫取整函数，下列结论正确的是 A ．[][][]a b a b +<+(),R a b ∈
B ．()2
2
10n n ++->()N n *
∈
C ．==(
)N
n *
∈
D ．[][]121n x x x x nx n n n -⎡
⎤⎡⎤⎡⎤+++++⋅⋅⋅++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
()N n *
∈ 【答案】BCD
【解析】对于A ，当a ，b 都是整数时，有[][][]a b a b +=+，故A 错误．
对于B ，因为N n *∈，所以()2
2
2
1n ==+，
所以()()()2
2
22
1110n n n n n n ++-=++-+=>，故B 正确，
对于C ，由题意知≤
<<
则只需证明1+>
令1x =+，则241x n >+，
当2x m =(
)N
m *
∈时，2
2441x
m n =>+，则有21m n ≥+，
那么2244443x m n n =≥+>+； 当21x m =-()N
m *
∈时，2
244141x
m m n =-+>+，2m m n ->，即21m m n -≥+，
那么(
)
2
2
414543x m m n n =-+≥+>+，所以命题成立，
即1≤<+，
所以==(
)N
n *
∈，故C 正确．
对于D ，构造函数()[][]121n f x nx x x x x n n n -⎡
⎤⎡⎤⎡⎤=--+
-+-⋅⋅⋅-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 则[][]()()112111n f x nx x x x x f x n n n n -⎛
⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+
=+-+-+-⋅⋅⋅-+-+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣
⎦， 所以函数()f x 是以
1n 为周期的周期函数，故只需证明()0f x =在10,n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内恒成立即可，因为当10,x n
⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0f x =，所以结论成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】对于函数的新定义试题的求解：（1）根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确；（2）正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质进行推理、论证求解．
39．已知函数()20lg 0x x f x x
x +≤⎧=⎨>⎩，方程()()2
10f x mf x --=有4个不同的实数根，
则下列选项正确的为
A ．函数()f x 的零点的个数为2
B ．实数m 的取值范围为3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．函数()f x 无最值
D ．函数()f x 在()0,∞+上单调递增
【答案】ABC
【解析】因为函数()20lg 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩
，可得函数图象如图：
由图知函数()f x 有2个零点，故A 选项正确； 函数()f x 没有最值，故C 选项正确；
函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故D 选项错误； 由于方程
()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，
令()t f x =则210t mt --=有4个不同的实数根，
因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为12t t ，， 由根与系数关系知1212,1t t m t t +==-， 则12t t ，异号，由图可知122t t <<≤0，0， 所以22210m --≥，解得3
2
m ≤
，故B 选项正确；故选ABC 【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
40．函数3,1,()ln ,1,
x e x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩则关于函数f (x )的说法正确的是
A ．定义域为R
B ．值域为(－3，＋∞)
C ．在R 上为增函数
D ．只有一个零点
【答案】ACD
【解析】由()31
ln 1x e x f x x
x ⎧-=⎨≥⎩＜，得()f x 的定义域为R ，A 正确；
当1x ＜时，()3x
f x e =-，由0x e e <＜，得33x e e -<--＜3，
当1≥x 时，()ln f x x =，由ln ln10x ≥=， 所以值域为(3,3)[0,)e --⋃+∞，B 错误；
由图象知()f x 在R 上为增函数，C 正确；
当1x ＜时，()30x
f x e =-=，得3x e =， ln31x =>，不满足，
当1≥x 时，()ln 0f x x ==，得1x =，满足，
()f x ∴只有一个零点，D 正确．故选ACD ．
【名师点睛】本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了数形结合思想，考查了计算和推理能力． 41．设函数()f x 和()()()()
g x f x g x ≠的定义域的交集为M ．若0,x x M ∃∀∈．不等式
()()()00f x g x x x --≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则称()()(),f x g x 构成“相关函数对”，下列所给的两
个函数构成“相关函数对”的有 A ．()f x x =，()3
g x x =
B ．()ln f x x =，()1
g x x
=
C ．()21f x x =-，()2
g x x = D ．(
)f x =
12
x
g x
【答案】BD
【解析】若0,x x M ∃∀∈．不等式()()()00f x g x x x --≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则称()()
(
)
,f x g x
构成“相关函数对”，因此，当00x x ->时， ()()0f x g x -≥．当00x x -<时，
()()0f x g x -≤．
对于选项A ： ()f x x =，()3
g x x =，如图示：
不存在x 0，使得当00x x -≥时， ()()0f x g x -≥恒成立．故A 错误． 对于选项B ： ()ln f x x =，()1
g x x
=
，如图示：
当00x x ->时， ()()0f x g x -≥．当00x x -<时， ()()0f x g x -≤．故B 正确． 对于C ： ()21f x x =-，()2
g x x =，如图示：
不存在x 0，使得当00x x -≥时， ()()0f x g x -≥恒成立．故C 错误．
对于D ： ()f x =()12x
g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，如图示，
取01
2
x =
时，当00x x ->时， ()()0f x g x -≥．当00x x -<时， ()()0f x g x -≤．．故
D 正确．故选BD
【名师点睛】数学中的新定义题目解题策略： （1）仔细阅读，理解新定义的内涵； （2）根据新定义，对对应知识进行再迁移．
42．已知函数()f x x x =，若对任意的x ∈[t ，t +1]，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，则整数t 的取值可以是 A ．1- B ．1 C ．3
D ．5
【答案】CD
【解析】()f x x x =，
当0x ≥时，()2
f x x =，在[)0,+∞递增，
当0x ≤时，()2
f x x =-，在(],0-∞上递增，
且()00f =，()f x 为连续函数，
所以()f x 在R 上为增函数，且())3f x f
=，
由对任意的x ∈[t ，t +1]，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，即())f x t f +≥，
即x t +≥，所以)
1t x ≥对任意的x ∈[t ，t +1]恒成立，
由)
1y x =
在[t ，t +1]上递增，
可得)
1y x =的最大值为
)
()11t +，
即)
()11t t ≥
+，解得1t ．故选CD
【名师点睛】本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的
解法，解题的关键是将不等式转化为)
1t x ≥对任意的x ∈[t ，t +1]恒成立，考查了转
化思想和运算求解能力．
43．已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ： （1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；
（2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有 A ．2()f x x =
B ．1
()f x x = C ．1()f x x x
=+
D ．2
3()1
x
f x x =
+ 【答案】ABD
【解析】函数中存在“倍值区间”，则 （1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨
=⎩或()2()2f m n
f n m =⎧⎨=⎩
，
对于A ，2
()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n
⎧=⎨=⎩⇒0
2m n =⎧⎨=⎩，
2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；
对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1
212n m m
n
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩⇒1
2mn =，故只需1
2
mn =
即可，故存在； 对于C ，1
()f x x x
=+
；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+
=，21
2210n m m mn n
+=⇒-+=， 222210n mn m n -+=⇒=不符题意；
若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，221
21n n m n n
+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，
233
()11x f x x x x
=
=
++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调
递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，
2321m m m =+，2
321n n n =+，0m ∴=
，2
n =，
即存在“倍值区间
”；故选ABD ． 【名师点睛】本题考查新定义：“倍值区间”，关键在于紧扣定义，运用函数的单调性和值域，使问题得以解决．
44．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ∈R 时，有
()()1f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，
()211log 22f x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭，下列命题正确的是
A ．()()201920200f f +-=
B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数
C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点
D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】AB
【解析】根据题意，当x ∈R 时，有
()()1f x f x +=-，故()()()21f x f x f x +=-+=，
故()f x 为R 上的周期函数且周期为2，故B 正确．
对于A ，()()()2020202000f f f -=-==，而()()()2019100f f f ==-=， 故()()201920200f f +-=，故A 正确． 因为当[]0,1x ∈时，()12
11log 22f x x ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
， 此时
111
1222
x ≤-+≤，故()01f x ≤≤， 当[]1,2x ∈时，()()12311log 22f x f x x ⎛⎫
=--=--+
⎪⎝
⎭． 此时
131
1222
x ≤-+≤，故()10f x -≤≤， 故在[]0,2上，()f x 的值域为[]1,1-，因为()f x 的周期为2， 故在R 上有()f x 的值域为[]1,1-，故D 错误．
根据函数的奇偶性和周期性，可得函数的图象如图所示：
故直线y x =与函数()f x 的图象有3个交点，故C 错误．故选AB ．
【名师点睛】一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a ；如果()()
()1
0f x a a f x +=
≠，则()f x 的周期为2a ． 45．已知函数12()12
x
x
f x -=+，则下面几个结论正确的有 A ．()f x 的图象关于原点对称 B ．()f x 的图象关于y 轴对称 C ．()f x 的值域为(1,1)- D ．12,x x R ∀∈，且()()
121212
,0f x f x x x x x -≠<-恒成立
【答案】ACD
【解析】对于A ，12()12x x f x -=+，则122()()1212
1
x x x x
f x f x ----==-+-=+， 则()f x 为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确． 对于B ，计算1(1)3f =-
，1
(1)(1)3
f f -=≠，故()f x 的图象不关于y 轴对称，故B 错误． 对于C ，122()11212
x x x
f x -==-+++，12,(1,)x
t t +=∈+∞， 故2()1y f x t ==-+
，易知(1)2
,11t
--+∈，故()f x 的值域为(1,1)-，故C 正确．
对于D ，122
()11212x x x
f x -==-+
++， 因为12x
y =+在R 上为增函数，2
11=-+
+y t
为(1,)+∞上的减函数， 由复合函数的单调性的判断法则可得()f x 在R 上单调递减， 故12,x x R ∀∈，且12x x ≠，
1212
()()
0f x f x x x -<-恒成立，故D 正确．故选ACD ．
【名师点睛】复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断． 三、填空题
46．已知函数2
()f x x x
=+，且()(2)f a f =，则实数a ＝______________． 【答案】1或2
【解析】由()(2)f a f =得2
3a a
+=，解得1a =或2a =． 故答案为1或2
47．设偶函数()y f x =的定义域为[5,5]-，若当[0,5]x ∈时，()y f x =的图象如图所示，则不等式()0y f x =<的解集是______________．
【答案】{|52x x -≤<-，或25}x <≤
【解析】由图象可知当[0,5]x ∈时，()0f x <的解为25x <≤， 因为()y f x =是偶函数，图象关于y 轴对称， 所以当[5,0]x ∈-时，()0f x <的解为52x -≤<-． 所以()0f x <的解是{|52x x -≤<-，或25}x <≤． 故答案为{|52x x -≤<-，或25}x <≤
48．已知函数21,0,
()?(1)2,0
x x f x f x x ⎧-=⎨-+>⎩，则((10))f f =______________．
【答案】40
【解析】因为()(1)2(0)f x f x x =-+>，
所以()()(10)9+28+22(1)29f f f f ==⨯=+⨯，
又0
(1)(0)212+22f f -=+==，所以(10)20f =，
所以((10))(20)(1)21940f f f f ==+⨯=． 故答案为40． 49．设函数2
2,0
(),0
x f x x bx c x >⎧=⎨
++≤⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则()f x 的解析式为()f x ＝______________．
【答案】22,0
()42,0x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩
，
【解析】由题意，函数2
2,0
(),0
x f x x bx c x >⎧=⎨++≤⎩， 因为(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，可得()()2
2
4(4)2(2)2
b c c
b c ⎧-+⨯-+=⎪⎨-+⨯-+=-⎪⎩， 即1640
260
b b
c -=⎧⎨-++=⎩，解得4,2b c ==， 所以函数的解析式为2
2,0
()42,0x f x x x x >⎧=⎨
++≤⎩
． 故答案为2
2,0
()42,0x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩
50．已知函数()3,0
21,0
x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值为______________．
【答案】2-
【解析】依题意，()()1
133300213x
f a f a f a a =-=-=->∴≤∴=+=-（）
，，，， 解得2a =-．故答案为2-．
51．已知函数1
()f x x
=
，设曲线()y f x =在第一象限内的部分为E ，过O 点作斜率为1的直线交E 于1B ，过1B 点作斜率为1-的直线交x 轴于1A ，再过1A 点作斜率为1的直线交E 于2B ，过2B 点作斜率为1-的直线交x 轴于2A ，…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论：
①12A B
； ②点3A
的坐标为0)；
③233A B A △与344A B A
的面积之比是:(2--； ④在直线5x =与y 轴之间有6个三角形． 其中，正确结论的序号是______________． 【答案】②④
【解析】由1y x y x
⎧=⎪
⎨⎪=⎩可得()11,1B ，()12,0A
由12
y x y x ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩
可得()
211B +
，()
2A ， 所以
122A B =
=
由1y x y
x ⎧=⎪
⎨
⎪=-⎩
可得
3
B
，()
3A ，故②正确
由1y x y x ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩
可得(42B ，()44,0A
所以(
233
2
1
2
A B A S ==△
(
(344
2
1
4222
A B A S =-=，故③错误
同理可求(
)(
)()567
,,A A A
因为5<<6个三角形，故④正确 故答案为②④
52．已知函数223,1()lg(1),1x x f x x
x x ⎧+-≥⎪
=⎨⎪+<⎩
，则()f x 的最小值是______________．
【答案】3
【解析】当1≥x
时，2()333f x x x =+-≥=
，当且仅当x 成立，
当1x <时，2
1[1,2)x +∈，所以()(
)
[)2
lg 10,lg 2f x x =+∈，
因为30<，所以()f x
的最小值是3．
故答案为3 53．设函数1,0()2,0x
x x f x x -+≤⎧=⎨
>⎩
，则满足1()12f x f x ⎛
⎫+-> ⎪⎝⎭
的x 的取值范围是___________．
【答案】21,log (14⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】由题意，函数1,0
()2,0
x
x x f x x -+≤⎧=⎨
>⎩， 若0x ≤，则11
22
x -
≤-，则1()12f x f x ⎛
⎫+-> ⎪⎝
⎭等价于11112x x ++-+>，
解得14
x >-
，此时01
4x -<≤；
若0x >时，此时()2(0,1)x
f x -=∈，
当11022x -
<-≤，即102x <≤时，此时(
)22
x f x -=∈，111()222f x x -=+>，此时满足1()12f x f x ⎛
⎫
+-
> ⎪⎝
⎭
恒成立， 当102x -
>时，即1
2
x >时，若1()12f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝
⎭，即12
221x x --+>，
即2
1x
->
=
，解得2log (1x <， 综上可得，实数x
的取值范围是21,log (14⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
．
故答案为21,log (14⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
54．设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f (x )＝
,20,
1,02,
ax b x ax x +-≤<⎧⎨
-<≤⎩则f (2019)＝______________． 【答案】
12
【解析】因为f (x )是奇函数，所以()()11f f -=-，即 1a b a -+=-+， 解得 1b =，因为f (x )的周期为4，所以 ()()22f f -=，即 2121a a -+=-，
解得 1
2a =，所以 ()1
1,20211,022
x x f x x x ⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，
所以()()()()()11
201945043311122
f f f f =⨯+==-=⨯-+=，
故答案为1
2
55．若函数()2
1
1x
f x e x
=-
+，若实数x 满足()()131f x f x +>-，则实数x 的取值范围为______________． 【答案】01x <<。