数理逻辑考试题及答案

“离散数学”数理逻辑部分考
核试题答案
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一、命题逻辑基本知识（5分）
1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。

共2分）
（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。

解：Øp∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。

（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。

解：q→Øp，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。

（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。

解：Ør→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。

（3）小王与小张是亲戚。

解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。

2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。

共1分）
（0）A：(Ø(p«q)®((pÙØq)Ú(ØpÙq)))Úr
（1）B：(pÙØ(q®p))Ù(rÙq)
（2）C：(p«Ør)®(q«r)
（3）E：p®(pÚqÚr)
（4）F：Ø(q®r)Ùr
解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。

3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共2分）
（0）设y=2|x|，x为实数。

推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。

发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。

解：设y=2|x|，x为实数。

令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。

由此，p为假，q为真。

本题推理符号化为：(p®q)Ùq®p。

由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。

（1）若2和3都是素数，则6是奇数。

2是素数，3也是素数。

所以，5或6是奇数。

解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。

由此，p=1，q=1，r=1，s=0。

本题推理符号化为： ((p Ù q) →s) Ùp Ùq) →(r Ú s)。

计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。

二、命题逻辑等值演算（5分）
1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

共2分）
（0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(Øq∧Ør)))的主析取范式。

解：p→((q∧r) ∧(p∨(Øq∧Ør)))ÛØp∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧Øq∧Ør)
ÛØp∨(q∧r∧p) ∨0 Û(p∧q∧r) ∨Û(Øp∧1∧1) ∨(q∧r∧p)
Û (Øp∧(q∨Øq)∧(r∨Ør)) ∨(q∧r∧p)Û (Øp∧(q∨Øq)∧(r∨Ør)) ∨m7
Û (Øp∧Øq∧Ør)∨(Øp∧Øq∧r)∨(Øp∧q∧Ør)∨(Øp∧q∧r)∨m7
Ûm0∨m1∨m2∨m3∨m7.
（1）求公式Ø(Ø(p→q))∨(Øq→Øp)的主合取范式。

解：Ø(Ø(p→q)) Ú(Øq→Øp)Û (p→q) Ú (p→q)Û (p →q)
ÛØpÚq Û M2.
（2）求公式(p→(p∨q))∨r的主析取范式。

解：(p→(pÚq))ÚrÛØpÚ(pÚq) Úr Û (ØpÚpÚqÚ r)Û1Ûm0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7. 2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共3分）
（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：
甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。

乙预言：孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。

丙预言：钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。

村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。

赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？
解：设P1：赵炼玉为村长，p2：钱谷王为村长，p3：孙竹湾为村长，
q1：赵炼玉为村支书，q2: 钱谷王为村支书，r1：赵炼玉为村妇女主任。

判断公式FÛ( (p1ÙØq2)Ú(Øp1Ùq2))Ù( (p3ÙØq1)Ú(Øp3Ùq1) )Ù( (p2ÙØr1)Ú(Øp2Ùr1))
ÛØp1Ùq2Ùp3ÙØq1ÙØq2Ùr1Û1Ûq2Ùp3ÙÙr1，
由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉
为村妇女主任。

说明：p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。

一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。

（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。

选派条件是：
①若赵去，钱也去。

②李、周两人必有一人去。

③钱、孙两人去且仅去一人。

④孙、李两人同去或同不去。

⑤如周去，则赵、钱也同去。

如何选派他们出国？
解：①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去。

② (1) (p®q)(2) (sÚu)(3) ((qÙØr)Ú(ØqÙr))
(4) ((rÙs)Ú(ØrÙØs))(5) (u®(pÙq))
③ (1) ~ (5)构成的合取式为：
A= (p®q)Ù(sÚu)Ù((qÙØr)Ú(ØqÙr))Ù ((rÙs)Ú(ØrÙØs))Ù(u®(pÙq))
Û (ØpÙØqÙrÙsÙØu)Ú(pÙqÙØrÙØsÙu)
由此可知，A的成真赋值为00110与11001，
因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。

三、命题逻辑推理（5分）
在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

共5分）
（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。

现在的情况是张老师与李老师都要出国。

所以，王老师不出国，则孙老师出国。

解：形式化：
p：张老师出国；q：李老师出国；r：王老师出国；s：孙老师出国。

前提：p®(q®r)，pÙq
结论：Ør®s
证明：①p®(q®r) 【前提引入】
②ØpÚ(ØqÚr)Û pÙq®r 【①置换】
③pÙq 【前提引入】
④ r 【②③假言推理】
⑤rÚs 【④附加规则】
⑥ØØr∨s 【⑤置换】
⑦Ør®s 【⑥置换】证毕。

（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。

所以，李同学不是乐山人。

解：形式化：
p：张同学是乐山人；q：李同学是乐山人；r：王同学是雅安人；s：王同学喜欢吃雅鱼。

前提：(pÙq)® r，r® s，Øs，p
结论：Øq
证明：①(pÙq)® r 【前提引入】
②r® s 【前提引入】
③(pÙq)® s 【①②假言三段论】
④Øs【前提引入】
⑤Ø(pÙq)【③④拒取式】
⑥ØpÚØq 【⑤置换】
⑦p 【前提引入】
⑧Øq 【⑥⑦析取三段论】
证毕。

（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。

只有n 是偶数，m才大于6。

现有n大于5。

所以，若m大于6，则m是奇数。

解：形式化：
p：n是偶数；q：n大于5；r：m是奇数；s：m 大于6。

前提：(pÙq)® r，s®p，q
结论：s® r
证明：①q 【前提引入】
②ØsÚq 【①附加规则】（这是证明的关键）
③s®q 【②置换】
④s® p【前提引入】
⑤(s® q）Ùq（s® p）【③④合取】
⑥s®(pÙq)【⑤置换】
⑦(pÙq)® r 【前提引入】
⑧s®r【⑥⑦假言三段论】
证毕。

四、一阶逻辑的基本概念（5分）
1、一阶逻辑命题形式化（总共6题，完成的题号为学号尾数取6的余，完成1题。

共2分）
（0）人人都生活在地球上。

解："x(F(x)→G(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x生活在地球上。

（1）有的人长着金色的头发。

解：$x(F(x)ÙG(x))，其中，F(x)：x是人，G(x)：x长着金色的头发。

（2）没有能表示成分数的无理数。

解：Ø$x(F(x)ÙG(x))，其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x能表示成分数。

（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。

解：Ø"x"y (F(x)ÙG(y)→S(x,y))，其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。

（4）有的学生不住在校内。

解：$x(F(x)ÙØG(x))，其中，F(x)：x是学生，G(x)：x住在校内。

（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。

解：$x (F(x)Ù"y(G(x)→S(x,y)))，
其中，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，S(x,y)：x比y力气大。

2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

共3分）
（0）"x(F(x)Ú G(x))
解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，
G(x)：x是女人。

则在I1解释下，"x(F(x)Ú G(x))为真命题。

取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是中国人，G(x)：x是美国人。

则在I2解释下，"x(F(x)Ú G(x))为假命题。

（1）$x(F(x)Ù G(x)Ù H(x))
解：取解释I1：个体域为人的集合，F(x)：x是教师，G(x)：x是党员，H(x)：x是班主任。

则在I1解释下，$x(F(x)ÙG(x)ÙH(x))为真命题。

取解释I2：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人，H(x)：x是班主任。

则在I2解释下，$x(F(x)ÙG(x)ÙH(x))为假命题。

（2）$x(F(x)Ù"y( G(y)Ù H(x,y)))
解：取解释I1：个体域为整数集合，F(x)：x是正整数，G(x)：x是负整数，H(x,y)：x比y大。

则在I1解释下，$x(F(x)Ù"y( G(y)Ù H(x,y)))为真命题。

取解释I2：个体域为自然数集合，F(x)：x是奇数，G(x)：x是偶数，H(x,y)：x比y大。

则在I2解释下，$x(F(x)Ù"y( G(y)Ù H(x,y)))为假命题。

五、一阶逻辑等值演算（5分）
1、证明等值式（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共1分）
（0）证明等值式："x(A(x)®B)Û$x A(x)®B。

证明："x(A(x)®B) Û"x(ØA(x)ÚB) Û"xØA(x)ÚB ÛØ$x A(x)ÚB Û$x A(x)→B。

（1）证明等值式：$x(A(x)®B)Û"xA(x)®B。

解：$x(A(x)®B) Û$x (ØA(x)ÚB) Û$xØA(x)ÚB ÛØ"x A(x)ÚB Û"x A(x)→B
2、给出下列公式的前束范式（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。

共2分）
（0）Ø"x(F(x)→G(x))
解：Ø"x(F(x)→G(x)) Û$xØ(ØF(x)ÚG(x)) Û$x(F(x)ÙØG(x))
（1）Ø$x(F(x)Ù G(x))
解：Ø$x(F(x)ÙG(x)) Û"xØ(F(x)ÙG(x)) Û"x(ØF(x)ÚØG(x)) Û"x(F(x)→ØG(x))
（2）$yF(x,y)Ù"xG(x,y,z)
解：$yF(x,y)Ù"xG(x,y,z) Û$yF(u,y)Ù"xG(x,v,z) Û$y"x(F(u,y)ÙG(x,v,z))
（3）"xF(x)→$y(G(x,y)ÙH(x,y))
解："xF(x)→$y(G(x,y)ÙH(x,y)) Û"zF(z)→$y(G(x,y)ÙH(x,y))
Û"z(F(z)→$y(G(x,y)ÙH(x,y))) Û"z$y(F(z)→
(G(x,y)ÙH(x,y)))
3、例证（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共2分）
（0）举例说明“"对Ú无分配律”。

解："对Ú无分配律指：不存在等价关系"x(A(x)ÚB(x))Û"xA(x)Ú"xB(x)。

例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。

"x(A(x)ÚB(x))的真值为真，而"xA(x)Ú"xB(x)的真值为假。

（1）举例说明“$对Ù无分配律”。

解：$对Ù无分配律指：不存在等价关系$x(A(x) ÙB(x))Û$x A(x)Ù$x B(x)。

例如，取解释I：个体域为人的集合，F(x)：x是男人，G(x)：x是女人。

$x (A(x)ÙB(x))的真值为假，而$x A(x)Ù$xB(x))的真值为真。

六、一阶逻辑推理（5分）
在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共5分）
（0）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽
车。

所以，有的人不喜欢步行。

（个体域为人类集合）
解：形式化：
F(x)：x喜欢步行；G(x)：x喜欢骑自行车；H(x)：x喜欢乘汽车。

前提："x(F(x)→ØG(x))，"x(G(x)ÚH(x))，$xØH(x)结论：$xØF(x)
证明：①"x(F(x)→ØG(x)) 【前提引入】
②F(y)→ØG(y) 【"- 】
③"x(G(x)ÚH(x))【前提引入】
④G(y)ÚH(y)【"- 】
⑤ØG(y)→H(y)【④置换】
⑥F(y)→H (y) 【②⑤假言三段论】
⑦ØH(y)→ØF (y) 【⑥置换】
⑧ØH(y)→$xØF (x) 【⑦$+ 】
⑨$xØH(x)→$xØF (x)【⑧$+ 】
⑩$xØH(x) 【前提引入】
⑾$xØF (x) 【⑨⑩假言推理】证毕。

（1）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。

王大海是
科学工作者，并且聪明。

所以，王大海在他的事业中将获得成功。

（个体域为人类集合）
解：形式化：
F(x)：x是科学工作者；G(x)：x刻苦钻研；H(x)：x 聪明；I(x)：x事业成功；a:王大海。

前提："x(F(x)→G(x))，"x(G(x)ÙH(x)→I(x))，F(a)，H(a)。

结论：I(a)
证明：①F(a) 【前提引入】
②"x(F(x)→G(x)) 【前提引入】
③F(a)→G(a)【②"-】
④G(a) 【①③假言推理】
⑤H(a) 【前提引入】
⑥"x(G(x)ÙH(x)→I(x))【前提引入】
⑦G(a)ÙH(a)→I(a)【⑥"- 】
⑧G(a)ÙH(a) 【④⑤合取】
⑨I(a)【⑦⑧假言推理】
证毕。