最新冲刺高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：基本不等式及其应用(含解析)

专题11 基本不等式及其应用
【自主热身，归纳总结】
1、已知a>0, b>0，且2a ＋3
b ＝ab ，则ab 的最小值是________．
【答案】：2 6
【解析】 利用基本不等式，化和的形式为积的形式． 因为ab ＝2a ＋3b
≥2
2a ·3b ，所以ab ≥26，当且仅当2a ＝3
b
＝6时，取等号． 2、已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y
xy
+的最小值为 ． 【答案】9 【
解
析】：
=9．
3、已知正实数x ，y 满足，则x
y 的最小值为 ．
【答案】： 263-
4、已知a ，b 为正数，且直线 ax ＋by －6＝0与直线 2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________． 【答案】25
【解析】：由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b
＝1(a ，
b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25(当且仅当b a ＝a
b
即a ＝b ＝5时取等号)．
5、已知正实数,x y 满足，则x y +的最小值为 ．
【答案】8
【解析】：因为,0x y >
，所以10y +>．又因为，所以
10x ->，所
以，当且
仅当
，即5,3x y ==时等号成立．
易错警示 在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．
6、设实数x ，y 满足x 2
＋2xy －1＝0，则x 2
＋y 2
的最小值是________． 【答案】
5－1
2
思路分析1 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y 较易，所以消去y . 解法1 由x 2
＋2xy －1＝0得y ＝1－x 2
2x ，从而x 2＋y 2＝x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2
2x 2＝5x 2
4＋14x 2－12
≥2516－12＝5－1
2
，当且仅当x ＝±41
5
时等号成立．
思路分析2 由所求的结论x 2
＋y 2
想到将条件应用基本不等式，构造出x 2
＋y 2
，然后将x 2
＋y 2
求解出来． 解法2 由x 2
＋2xy －1＝0得1－x 2
＝2xy ≤mx 2
＋ny 2
，其中mn ＝1(m ，n >0)，所以(m ＋1)x 2
＋ny 2
≥1，令m ＋1＝n ，与mn ＝1联立解得m ＝
5－12，n ＝5＋12，从而x 2＋y 2
≥15＋1
2
＝5－12. 7、若正实数x y ，满足1x y +=，则4
y x y
+的最小值是 ▲ ． 【答案】、8
【解析】： 因为正实数x y ，
满足
1x y +=， 所
以
，当且仅当
4y x
x y
=，即2y x =，又1x y +=，即，
等号成立，即
4
y x y
+取得最小值8. 8、若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】： 8
解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，
所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1
y －3
＋6≥2
y －3
1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1
y －3
，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1
y －3
的最小值为8.
解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0，
所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋1
3
x －6
＋6≥2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x －6·13
x
－6
＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x
－6
，即x ＝37时
取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1
y －3
的最小值为8.
解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy ＋3x ＝3消“实数x ”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．
9、 已知正数a ，b 满足1a ＋9
b
＝ab －5，则ab 的最小值为________．
【答案】. 36
【解析】：因为正数a ，b 满足1a ＋9
b ＝ab －5，所以ab －5≥2
9
ab
，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即
ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36.
10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．
【答案】
24
11、 已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9y
y －1的最小值为________．
【答案】25
【解析】：因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－
1y
＝4x x －1＋9x ＝4＋4x －1＋9(x －1)＋9＝13＋4
x －1
＋
9(x －1)＝13＋
4x －1＋9(x －1)．又因为1y ＝1－1x >0，所以x >1，同理y >1，所以13＋4x －1
＋9(x －1)≥13＋24×9＝25，当且仅当x ＝53时取等号，所以4x x －1＋9y
y －1的最小值为25.
12、 已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a |＋|a |
b 取最小值时，实数a 的值是________．
【答案】： －2
解法1 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2
b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当a ＜0，且b 4|a |
＝|a |
b
，即a ＝－2，b ＝4时取等号．
解法2 因为a ＋b ＝2，b ＞0，所以12|a |＋|a |b ＝12|a |＋|a |
2－a (a ＜2)．
设f (a )＝12|a |＋|a |
2－a
(a ＜2)，
则f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12a ＋a 2－a
，0≤a ＜2，
－12a －a
2－a ，a ＜0.
)
当a ＜0时，f (a )＝－12a －a 2－a ，从而f ′(a )＝12a 2－
2
a －2
2
＝
3a －2a ＋2
2a 2a －2
2
，故当a ＜－2时，f ′(a )＜0；当－2＜a ＜0时，f ′(a )＞0，故f (a )在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，
故当a ＝－2时，f (a )取得极小值34；同理，当0≤a ＜2时，函数f (a )在a ＝23处取得极小值5
4.综上，当a
＝－2时，f (a )min ＝3
4.
【问题探究，变式训练】
:例1、 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1
y ＋1的最小值为________．
【答案】： 9
4
解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥1
4(5＋4)
＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝1
3
时取等号． 解法2 (幂平均不等式)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝22
a ＋12
b ≥
1＋22
a ＋b
＝94
. 解法3 (常数代换)设a ＝x ＋2，b ＝y ＋1，则4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b 4b ＝54＋b a ＋a 4b ≥94
，当且仅当a ＝2b 时取等号．
【变式1】、已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1
x －y
的最小值为________．
【答案】3＋224
设⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3y ＝m ，
x －y ＝n .
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝m ＋3n
4，y ＝m －n
4.
所以x ＋y ＝
m ＋n
2
≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝
2x ＋3y ＋1x －y ＝2m ＋1
n
，
所以4t ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝m n ，即m ＝2n 时取等号． 【变式2】、已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y
x ＋y 的最大值为 ．
.【答案】：
4
3
【解析
1
】：令
，从而得
，故
，当且仅当2a b =
，即2y x =时等
号成立。

解法2 设BD ＝CD ＝m ，AD ＝n ，则由已知得7(2m )2
＋2(m 2
＋n 2
)＝43，所以15m 2
＋n 2
＝23≥215mn ，所以mn ≤
55，当且仅当15m 2＝n 2时取等号，此时m 2
＝315，所以面积的最大值为55
. 例3、 若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2
＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y
2的最大值为________．
【答案】.
24
【解析】： 在2x 2
＋xy －y 2
＝1中，独立变量有两个，因为用x 表示y 或用y 表示x 均不方便，可引入第三个变量来表示x ，y .
由2x 2＋xy －y 2
＝1，得(2x －y )(x ＋y )＝1，设2x －y ＝t ，x ＋y ＝1t ，其中t ≠0.则x ＝13t ＋13t ，y ＝23t －13t ，
从而x －2y ＝t －1t ，5x 2－2xy ＋2y 2＝t 2
＋1t 2，记u ＝t －1t
，则
x －2y 5x 2
－2xy ＋2y 2＝u u 2
＋2＝1
u ＋2
u
≤1
2u ·
2u
＝24，当且仅当u ＝2u ，即u ＝2时取等号，即最大值为2
4
.
【变式1】、 已知正实数x ，y 满足5x 2
＋4xy －y 2
＝1，则12x 2
＋8xy －y 2
的最小值为________． 【答案】： 7
3
解法1(双变量换元) 因为x>0，y>0，且满足5x 2
＋4xy －y 2
＝1，由此可得(5x －
y)(x
＋y)＝1，令u ＝5x －
y ，v ＝x ＋y ，则有u>0，v>0，uv ＝1，并且x ＝u ＋v 6，y ＝5v －u 6，代入12x 2＋8xy －y 2
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋v 62＋8·u ＋v 6·5v －u 6－⎝ ⎛⎭⎪⎫5v －u 62＝
u 2＋9v 2＋22uv 12≥2u 2·9v 2＋22uv 12＝28uv 12＝28×112＝73，当且仅当u ＝3v ，uv ＝1，即u ＝3，v ＝
33，亦即x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2
取得最小值73
. 解法2(常数1的代换) 因为x>0，y>0，且满足5x 2
＋4xy －y 2
＝1，由此可得(5x －y)(x ＋y)＝1，因为x>0，y>0，x ＋y>0，所以5x －y>0，即有0<y x <5，令t ＝y x ，则0<t<5，所以12x 2＋8xy －y 2＝12x 2
＋8xy －y 2
1＝
12x 2
＋8xy －y 2
5x 2＋4xy －y 2＝1＋7x 2
＋4xy 5x 2＋4xy －y 2＝1＋
7＋4·
y x 5＋4·y x －⎝ ⎛⎭
⎪
⎫y x 2
＝1＋4t ＋7
－t 2＋4t ＋5. 再令f(t)＝1＋4t ＋7
－t 2＋4t ＋5
(0<t<5)．
令f ′(t)＝4（－t 2
＋4t ＋5）－（4t ＋7）（－2t ＋4）（－t 2＋4t ＋5）2＝2（2t －1）（t ＋4）
（－t 2＋4t ＋5）2＝0，因为0<t<5，所以t
＝1
2
. 当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(t)<0，f(t)单调递减；当t ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5时，f ′(t)>0，f(t)单调递增，所以当t ＝12时，f(t)取极小值，也是最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝7
3
.
此时x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝39时，12x 2＋8xy －y 2
取
得最小值7
3
.
解法3(基本不等式) 因为x>0，y>0，设u>0，v>0，则ux 2
＋vy 2
≥2uvxy.12x 2
＋8xy －y 2
≥12x 2
＋8xy －y
2
＋(2uvxy －ux 2
－vy 2
)，即12x 2
＋8xy －y 2
≥(12－u)x 2
＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2
.令(12－u)x 2
＋(8＋2uv)xy －(v ＋1)y 2＝t(5x 2＋4xy －y 2
)＝t ，则12－u ＝5t ，8＋2uv ＝4t ，v ＋1＝t ，解得t ＝73，u ＝13，
v ＝4
3
， 所以12x 2＋8xy －y 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353
x 2＋8xy －73y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋43y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫353x 2＋8xy －73y 2＋2
13x 2·43y 2＝353x 2＋283xy －73
y 2
＝73(5x 2＋4xy －y 2)＝73，当且仅当x ＝2y ，结合5x 2＋4xy －y 2
＝1，解得x ＝239，y ＝39，即当x ＝239，y ＝
39时，12x 2＋8xy －y 2
取得最小值73
.
【变式2】、若正实数x ，y 满足(2xy －1)2
＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y 的最大值为________．
【答案】：. 32
2
－1
解法1 令x ＋12y ＝z ，则2xy ＝2yz －1，代入(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)整理得(4z 2－5)y 2
－8(z －1)y ＋8
＝0 (*)，由题意得y －2≥0，该方程在[2，＋∞)应有解，故Δ≥0，即64(z －1)2
－32(4z 2
－5)≥0，化简得2z 2
＋4z －7≤0, 故0<z ≤－1＋322
.
检验：当z ＝322
－1时，方程(*)可化为(17 －122)y 2
－(122－16)y ＋8＝0，
此时y 1＋y 2＝122－1617－122>0，y 1·y 2＝817－122>4，故方程必有大于2的实根，所以x ＋12y 的最大值为32
2－
1.
解法2 (2xy －1)2
＝(5y ＋2)(y －2)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2y ，则x ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2y ＋1y 2
，所以
x ＋12y ＝1
2
⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2y ＋1y ＝
－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1－1 ≤
2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12－1 ＝322－1，
当且仅当
－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋12＋94＝1
y ＋1，即y ＝432－4
>2时等号成立，所以x ＋12y 的最大值为322－1.
解法3 由(2xy －1)2
＝(5y ＋2)(y －2)得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2y ，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2y ＋22＝9，
所以9＝⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋22≥122x －1y ＋2y ＋22，所以x ＋12y ≤322－1.
【变式3】、若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2
＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，x
y
的值为________． 【答案】：2
思路分析 设x ＝a,2y ＝b ，则问题变简单了． 设x ＝a,2y ＝b ，则实数a ，b 满足(a －b )2
＋(ab )2
＝4.
因为(a ＋b )2
＝(a －b )2
＋4ab ＝4－(ab )2
＋4ab ＝8－(ab －2)2
≤8， 当且仅当a ＝b ＝2时，a ＋b 取最大值22，此时x ＝2y ，所以x y
＝2.
【关联1】、 已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2
＋2xy ＋y 2
－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】： ⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，174
【解析】：对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy 得x ＋y ＋4＝2xy ≤
x ＋y
2
2
，解得x ＋y ≥4，
不等式x 2
＋2xy ＋y 2
－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y )2
－a (x ＋y )＋1≥0，
令t ＝x ＋y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2
－at ＋1≥0，即a ≤t ＋1t
对于任意的t ≥4恒成立，
令u (t )＝t ＋1t (t ≥4)，则u ′
(t )＝1－1t 2＝t 2
－1t 2>0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )＝t ＋1t
(t ≥4)
为单调递增函数，所以u (t )min ＝u (4)＝4＋14＝174，于是a ≤17
4
.
【关联2】、 设实数x ，y 满足x 2
4－y 2＝1，则3x 2
－2xy 的最小值是________．
【答案】. 6＋4 2
解法1 因为x 2
4－y 2＝1，所以3x 2－2xy ＝3x 2
－2xy x 24－y 2
＝3－
2y
x 14－⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x 2，令k ＝y x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则3x 2
－2xy ＝3－2k 14－k 2＝
4
3－2k 1－4k 2
，再令t ＝3－2k ∈(2,4)，则k ＝3－t 2，故3x 2
－2xy ＝4t －t 2＋6t －8
＝4
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋8t ＋6
≥4
6－28＝6＋42，当且仅当t ＝22时等号成立．
解法2 令t ＝3x 2
－2xy ，则y ＝3x 2
－t 2x ，代入方程x 2
4
－y 2＝1并化简得8x 4＋(4－6t )x 2＋t 2＝0，令u ＝x 2
≥4，
则8u 2＋(4－6t )u ＋t 2
＝0在[4，＋∞)上有解，从而由⎩⎪⎨⎪⎧
Δ4－6t 2
－32t 2
≥0，
6t －4
16>0，得t 2
－12t ＋4≥0，
解得t ≥6＋42，当取得最小值时，u ＝2＋3
2
2满足题意．
解法3 因为x 2
4－y 2
＝1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y ，所以令x 2＋y ＝t ，则x 2－y ＝1t ，从而⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1t ，y ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t －1t ，则3x 2
－
2xy ＝6＋2t 2＋4t
2≥6＋42，当且仅当t 2
＝2时等号成立．。