上海江湾初级中学八年级数学上册第五单元《分式》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．将分式
2
+
x
x y
中的x，
y的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
1
3
C．保持不变D．无法确定2．关于x的一元一次不等式组
3
1,
2
24
x
m x
x x
⎧
-≤+
⎪
⎨
⎪-≤
⎩
的解集为4
x≤，且关于y的分式方程
13
1
22
my y
y y
--
+=
--
有整数解，则符合条件的所有整数m的和为（）
A．9 B．10 C．13 D．14
3．分式
29
3
x
x
-
-
等于0的条件是（）
A．3
x=B．3
x=-C．3
x=±D．以上均不对4．如图，在数轴上表示
2
22
4411
424
x x
x x x x
-+
+÷
-+
的值的点是（）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
5．已知2,1
x y xy
+==，则
y x
x y
+的值是（）
A．0 B．1 C．-1 D．2
6．若数a关于x的不等式组
()
()
1
12
23
321
x
x
x a x
⎧
-≤-
⎪
⎨
⎪-≥-+
⎩
恰有三个整数解，且使关于y的分式方程
13y2a
2
y11y
-
-=-
--
的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．
2
a
a b
b a
++
-
的结果是( )．
A．
2
a
-B．4
a
C．
2
b
a b
-
-
D．
b
a
-
8．下列各式计算正确的是（）
A．
3
3
x x
y y
=B．
6
3
2
m
m
m
=C．
22
a b
a b
a b
+
=+
+
D．
3
2
()
()
a b
a b
b a
-
=-
-
9．在代数式
2π，15x +，221x x --，33x -中，分式有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．若分式
2132x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．±1 11．若220.3,3a b --=-=-，213c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，013d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c d <<<
B ．b a c d <<<
C ．b a d c <<<
D ．a b d c <<< 12．化简
214a 2a 4---的结果为（ ） A ．1a 2+ B ．a 2+ C ．1a 2- D ．a 2-
二、填空题
13．计算2
216816a a a -++÷428
a a -+=__________． 14．若关于x 的分式方程
233x m x x
=---的解为正数，则常数m 的取值范围是______． 15．已知关于x 的分式方程239133x mx x x ---=--无解，则m 的值为______． 16．符号“a b
c d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b
c d ＝ad ﹣bc ，请你根据上
述规定求出下列等式中x 的值．若2
111111x
x =--，那么x ＝__．
17．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．
18．计算：()1211x x x x x ⎡⎤-⋅=⎢⎥+-⎣
⎦______． 19．若关于x 的分式方程11222mx x x
-=---无解，则m =______． 20．方程22020(1)1x x x ++-=的整数解的个数是_____．
三、解答题
21．先化简，再求值：214111
x x x -⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中5x = 22．某小区购买了A 型和B 型两种垃圾桶，购买A 型垃圾桶花费了2500元，购买B 型垃圾桶花费了2000元，且购买A 型垃圾桶数量是购买B 型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个A 型垃圾桶比购买一个B 型垃圾桶少用30元，求购买一个A 型垃圾桶、一个B 型垃圾
桶各需多少元?（要求列分式方程求解）
23．先化简，再求值：
22121124x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭
，其中3x =． 24．先化简，再求值．
（1）22121244x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭
，其中x 是9的平方根； （2）2222221211
⎛⎫-+-÷ ⎪-+-⎝⎭a a a a a a a ，然后从－1，0，1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．
25．秋冬来临之际，天气开始慢慢变冷，某商家抓住商机，在十一月份力推甲、乙两款儿童棉服．已知十一月份甲款棉服的销售总额为8400元，乙款棉服的销售总额为9000元，乙款棉服的单价是甲款棉服单价的1.2倍，乙款棉服的销售数最比甲款棉服的销售数量少6件．
（1）求十一月份甲款棉服的单价是多少元?
（2）十二月份，为了加大推销力度，该商家将甲款棉服的单价在十一月份的基础上下调了%a ，结果甲款棉服的销量比十一月份多卖了24件；乙款棉服的单价在十一月份的基础上下调3%2
a ，结果乙款棉服的销量比十一月份多卖了50件．要使十二月份的总销售额不低于22200元，求a 的最大值，
26．解答下面两题：
（1）解方程：35322x x x
-+=-- （2）化简：232121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝
⎭
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
将x 变为3x ，y 变为3y 计算后与原式比较即可得到答案．
【详解】
222
(3)93333()x x x x y x y x y
==⨯+++，
故分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A ．
【点睛】
此题考查分式的基本性质，正确掌握积的乘方运算，分解因式是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出m 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m 的值，进而求出之和即可．
【详解】 解：31224x m x x x ⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩①②
，
解①得
x≤2m+2，
解②得
x≤4，
∵不等式组31224x m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，
∴2m+2≥4，
∴m≥1．
13122my y y y
--+=--， 两边都乘以y-2，得
my-1+y-2=3y ， ∴32
y m =-， ∵m≥1，分式方程
13122my y y y --+=--有整数解， ∴m=1，3，5，
∵y-2≠0，
∴y≠2， ∴322
m ≠-， ∴m≠
72， ∴m=1，3，5，符合题意，
1+3+5=9．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 3．B
解析：B
【分析】
根据分式等于0的条件：分子为0，分母不为0解答．
【详解】
由题意得：2
90,30x x -=-≠，
解得x=-3，
故选：B ．
【点睛】
此题考查分式的值等于0的条件，熟记计算方法是解题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
先进行分式化简，再确定在数轴上表示的数即可．
【详解】 解：2224411424x x x x x x
-++÷-+ 2(2)14(2)(2)(2)
x x x x x x -=+⨯+-+， 2422x x x -=
+++， 242
x x -+=+， 22
x x +=
+， =1， 在数轴是对应的点是M ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式化简和数轴上表示的数，熟练运用分式计算法则进行化简是解题关键． 5．D
解析：D
【分析】 将y x x y
+进行通分化简，整理出含已知条件形式的分式，即可得出答案．
解：2222()2221=21
y x y x x y xy x y xy xy ++--⨯+=== 故选D ．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
先解不等式得出解集x≤2且x≥2a -，根据其有两个整数解得出0＜2a -≤1，解之求得a 的范围；解分式方程求出y ＝2a −1，由解为正数且分式方程有解得出2a −1＞0且2a － 1≠1，解之求得a 的范围；综合以上a 的范围得出a 的整数值，从而得出答案．
【详解】 解：()()11223321x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≥--⎩
①②，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x≥2a -，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴-1＜2a -≤0，
解得12a ≤＜， 解分式方程132211y a y y
--=---， 得：21y a =-，
由题意知210211a a ->⎧⎨
-≠⎩， 解得12
a >且1a ≠， 则满足12a ≤＜，12
a >
且1a ≠的所有整数a 的值是2， 所有满足条件的整数a 的值之和为2．
故选择：A ．
【点睛】 本题主要考查解一元一次不等式组和求方程的正数解，解题的关键是根据不等式组整数解和方程的正数解得出a 的范围，再求和即可．
7．C
解析：C
【分析】
根据分式的加减运算的法则计算即可．
【详解】
222
()()a a b a b a b a b b a a b a b a b
+-++=-=-----. 故选：C
【点睛】
本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据分式的基本性质进行判断即可得到结论．
【详解】
解：A 、33x y 是最简分式，所以33x x y y
≠，故选项A 不符合题意； B 、6
24m m m
=，故选项B 不符合题意； C 、22a b a b
++是最简分式，所以22
a b a b a b +≠++，故选项C 不符合题意； D 、33
22()()()()
a b a b a b b a a b --==---，正确， 故选：D ．
【点睛】
此题考查了分式的约分，以及最简分式的判断，分式的约分关键是找公因式，约分时，分式分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，最简分式即为分式的分子分母没有公因式．
9．B
解析：B
【分析】
根据分式的定义逐个判断即可得．
【详解】 常数2π
是单项式， 15
x +是多项式， 221x x --和33
x -都是分式， 综上，分式有2个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了分式的定义，掌握理解分式的定义是解题关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据分式值为零的条件列出方程和不等式，解方程和不等式得到答案．
【详解】
由题意得：|x|−1＝0，x 2−3x+2≠0，解得，x ＝-1，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是分式为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】 解：2
1000.39a -=-=-，2193b -==--，2913c -⎛⎫=- ⎪⎭=⎝，0113d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∵10011999
-
<-<<， ∴a b d c <<<， 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 12．A
解析：A
【分析】
根据分式的减法可以解答本题．
【详解】 解：()()214a 241a 2a 4a 2a 2a 2
+--==--+-+， 故选：A ．
【点睛】
本题考查异分母分式的减法运算，解答本题的关键是明确公分母．
二、填空题
13．-2【分析】原式利用除法法则变形约分即可得到结果【详解】解：原式==-
2故答案为：-2【点睛】本题考查了分式的除法熟练掌握运算法则是解本题的关键
解析：-2
【分析】
原式利用除法法则变形，约分即可得到结果
【详解】
解：原式=2(4)(4)2(4)(4)4a a a a a
-++-⋅+-=-2， 故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了分式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．且【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可【详解】解：∵∴∴∵方程的解为正数则∴∵∴；∴常数的取值范围是且；故答案为：且【点睛】此题考查了分式方程的解分式有意义的条 解析：6m <且3m ≠-
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可．
【详解】
解：∵
233x m x x
=---， ∴62x x m =--， ∴63
m x -=， ∵方程的解为正数，则
603
m x -=
>， ∴6m <， ∵633
m x -=≠， ∴3m ≠-；
∴常数m 的取值范围是6m <且3m ≠-；
故答案为：6m <且3m ≠-．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，分式有意义的条件，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m
解析：1或4
【分析】
先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可．
【详解】
解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3，
整理得：（m-1）x=9，
∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；
当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，
把x=3代入（m-1）x=9，
解得：m=4，
综上，m 的值为1或4．
故答案为：1或4．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 16．4【分析】首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程解分式方程即得问题答案【详解】解：∵=1∴方程两边都乘以x ﹣1得：2+1＝x ﹣1解得：x ＝4检验：当x ＝4时x ﹣1≠01﹣x≠0即x ＝4是分式方程的
解析：4
【分析】
首先根据题意由二阶行列式得到一个分式方程，解分式方程即得问题答案 ．
【详解】
解：∵2
11111x
x --=1， ∴21111x x
-=--， 方程两边都乘以x ﹣1得：
2+1＝x ﹣1，
解得：x ＝4，
检验：当x ＝4时，x ﹣1≠0，1﹣x≠0，
即x ＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查分式方程与新定义实数运算的综合运用，通过观察所给运算式子归纳出运算规律并得到分式方程再求解是解题关键．
17．【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算
然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可【详解】；【点睛】本 解析：6627a b 4
2a b
【分析】
（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；
（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可.
【详解】
()6322
66627327a a b a b b --==； 4
22
422()a a b a b b
----==. 【点睛】 本题考查了负整数指数幂，利用了积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
18．【分析】先把括号里的分式通分再相减然后运用分式乘法进行计算即可
【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查了分式的混合运算掌握正确的运算顺序和运算法则是解题关键 解析：11
x + 【分析】
先把括号里的分式通分，再相减，然后运用分式乘法进行计算即可．
【详解】 解：()1211x x x x x ⎡⎤-⋅⎢⎥+-⎣⎦
， =()12(1)11x x x x x x x ⎡⎤+-⋅⎢⎥++-⎣
⎦， =
1(1)1x x x x x -⋅+-， =11
x +， 故答案为：
11
x +． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算，掌握正确的运算顺序和运算法则是解题关键．
19．2或1【分析】将分式方程化成整式方程按照一元一次方程无解的条件及分
式方程无解的条件求得m的值即可【详解】解：方程两边同时乘以（x﹣2）得：1﹣mx＝－1﹣2（x﹣2）整理得：（2﹣m）x＝2∵无解∴
解析：2或1
【分析】
将分式方程化成整式方程，按照一元一次方程无解的条件及分式方程无解的条件求得m的值即可．
【详解】
解：方程11
2
22
mx
x x
-
=-
--
两边同时乘以（x﹣2）得：
1﹣mx＝－1﹣2（x﹣2），
整理得：（2﹣m）x＝2，
∵无解，
∴当2﹣m＝0，即m＝2时，方程无解；
当x﹣2＝0时，方程也无解，此时x＝2，
则2（2﹣m）＝2，
解得m＝1．
故答案为：2或1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，明确分式方程和整式方程无解的条件是解题的关键．
20．4【分析】方程的右边是1有三种可能需要分类讨论第1种可能：指数为0底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为-1指数为偶数【详解】解：（1）当x+2020=0x2＋x－1≠0时解得x=﹣2
解析：4
【分析】
方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为-1，指数为偶数．
【详解】
解：（1）当x+2020=0，x2＋x－1≠0时，解得x=﹣2020；
（2）当x2＋x－1=1时，解得x=﹣2或1．
（3）当x2＋x－1=﹣1，x+2020为偶数时，解得x=0
因而原方程所有整数解是﹣2020，-2，1，0共4个．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．容易遗漏第3种可能情况，需特别注意．
三、解答题
2x -3
【分析】 分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值即可
【详解】 解：214111x x x -⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭ 2111114
x x x x x ++⎛⎫=+⋅ ⎪++-⎝⎭ ()()
21122x x x x x ++=⋅++- 12
x =- 把5x =代入上式，得：
1112523
x ==-- 【点睛】
本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序正确计算是解题关键．
22．购买一个A 型垃圾桶需50元，一个B 型垃圾桶需80元
【分析】
设购买一个A 型垃圾桶需x 元，购买一个A 型垃圾桶比购买一个B 型垃圾桶少用30元，一个B 型垃圾桶需()30x +元，根据购买A 型垃圾桶数量是购买B 型垃圾桶数量的2倍，构造分式方程
25002000230
x x =⨯+，解方程并检验即可． 【详解】
解：设购买一个A 型垃圾桶需x 元，则一个B 型垃圾桶需()30x +元， 由题意得：25002000230x x =⨯+， 解得50x =，
经检验，50x =是原方程的解，且符合题意，
30503080x +=+=，
答：购买一个A 型垃圾桶需50元，一个B 型垃圾桶需80元．
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法，抓住购买一个A 型垃圾桶比购买一个B 型垃圾桶少用30元设未知数，购买A 型垃圾桶数量是购买B 型垃圾桶数量的2倍构造方程，注意分式方程要验根．
1x -2
【分析】 先计算括号内的运算，然后计算除法，把分式进行化简得到最简分式，再把3x =代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：原式=()()()
22212211x x x x x x x +--+⨯=---； 当3x =时，
原式=
52
2331=-+． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算． 24．（1）
3x ；±1；（2）1a a +，2a =，值为32
【分析】
(1)先化简，后把x=3或x=-3分别代入求值；
(2)先化简，根据分母不能为零的原则，选择数值代入计算即可.
【详解】
(1)原式=212(2)2(2)x x x x x x +-+-⎛⎫⨯ ⎪--⎝⎭ =2
3(2)2(2)
x x x x -⨯-- =
3x
， ∵x 是9的平方根， ∴3x =±，
∴原式＝±1.
（2）原式=2(1)(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a ⎛⎫-++-⨯ ⎪-+⎝⎭ 1a a
+=
， 由题意当1,1,0a =-时，原分式没有意义， ∴2a =，此时原分式32
=
． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，选值时，确保每一个分式有意义是解题的关键. 25．（1）十一月份甲款棉服的单价是150元；（2）20
【分析】
（1）设十一月份甲款棉服的单价是x 元，则十一月份乙款棉服的单价是1.2x 元，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据不等量关系，列出关于a 的不等式，即可得到结论．
【详解】
（1）设十一月份甲款棉服的单价是x 元，则十一月份乙款棉服的单价是1.2x 元，
根据题意得，
8400900061.2x x
-=， 解得：x ＝150，
经检验：x ＝150是原方程的根， 答：十一月份甲款棉服的单价是150元；
（2）由题意得：150（1-%a ）（8400÷150+24）+1.2×150（1-
3%2
a ）（8400÷150-6+50）≥22200，解得：a≤20，
∴a 的最大值为20．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意，列出方程和不等式，是解题的关键．
26．（1）1x =-是该方程的解；（2）(1)x x +．
【分析】
（1）去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程，最后验证根即可；
（2）先计算括号内的，再将除法化为乘法分别因式分解后，约分即可．
【详解】
解：（1）去分母得：353(2)x x --=-，
去括号得3536x x --=-，
移项后合并得：1x =-，
经检验，1x =-是该方程的解；
（2）原式=22321121x x x x x x x x ⎛⎫+--÷ ⎪++++⎝⎭ =2232121
x x x x x x x +--÷+++ =2222112x x x x x x -+++- =2(2)(1)12
x x x x x -++- =(1)x x +．
【点睛】
本题考查解分式方程和分式的混合运算．（1）中注意分式方程一定要验根；（2）注意运算顺序，其次除法化为乘法后才能约分．。