高考数学分项版解析 专题03 导数与应用 理

【十年高考】（浙江专版）高考数学分项版解析 专题03 导数与应用 理
一．基础题组
1. 【2007年.浙江卷.理8】设'
()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
二．能力题组
1. 【2013年.浙江卷.理8】)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k
(k ＝1,2)，则( )．
A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值
B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值
C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值
D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 【答案】：C
【解析】：当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x
－1， ∵f ′(1)＝e －1≠0，
∴f (x )在x ＝1处不能取到极值；
当k ＝2时，f (x )＝(e x
－1)(x －1)2
，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x
－2)， 令H (x )＝x e x
＋e x
－2，
则H ′(x )＝x e x
＋2e x
＞0，x ∈(0，＋∞)．
说明H (x )在(0，＋∞)上为增函数， 且H (1)＝2e －2＞0，H (0)＝－1＜0，
因此当x 0＜x ＜1(x 0为H (x )的零点)时，f ′(x )＜0，f (x )在(x 0,1)上为减函数． 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴x ＝1是f (x )的极小值点，故选C ．
2. 【2012年.浙江卷.理17】设a ∈R ，若x ＞0时均有(a －1)x －1］(x 2
－ax －1)≥0，则
a ＝__________．
【答案】
32
三．拔高题组
22.1. 已知函数()).(33
R a a x x x f ∈-+=
（1）若()x f 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为)(),(a m a M ，求)()(a m a M -； （2）设,R b ∈若()[]42
≤+b x f 对[]1,1-∈x 恒成立，求b a +3的取值范围.
【答案】（Ⅰ）()()()()338,1134,13132,134,1a a a a M a m a a a a a ≤-⎧
⎪
⎛⎫
⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪
-=⎨⎛⎫
⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭
⎪
≥⎪⎩
；（Ⅱ）b a +3的取值范围
230a b -≤+≤．
于()()1162f f a --=-+，因此，当113
a -<≤
时，()()3
34M a m a a a -=--+，当1
13
a <<时，()()332M a m a a a -=-++，
（iii ）当1a ≥时，有x a ≤，故()333f x x x a =-+，此时()x f 在()1,1-上是减函数，因此()()123M a f a =-=+，()()123m a f a ==-+，故
()()()23234M a m a a a -=+-+=，综上()()()()338,11
34,13132,134,1a a a a M a m a a a a a ≤-⎧
⎪
⎛⎫
⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪
-=⎨
⎛⎫
⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭
⎪
≥⎪⎩
； （II ）令()()h x f x b =+，则()3333,()33,()x x a b x a h x x x a b x a ⎧+-+≥=⎨-++<⎩，()2233,()
'33,()x x a h x x x a ⎧+≥=⎨-<⎩
，
因为()2
4f x b +≤⎡⎤⎣⎦，
对[]1,1-∈x 恒成立，即()22h x -≤≤对[]1,1-∈x 恒成立，所以由（I ）知，
2. 【2013年.浙江卷.理22】(本题满分14分)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2
＋3ax －3a ＋3.
(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ∈0,2]时，求|f (x )|的最大值．
【答案】
【解析】：(1)由题意f′(x)＝3x2－6x＋3a，
故f′(1)＝3a－3.
又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4. (2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，
故①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a.
②当a≥1时，有f′(x)≥0，此时f(x)在0,2]上单调递增，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3a－1.
③当0＜a＜1时，设x1＝1
x2＝1
则0＜x1＜x2＜2，f′(x)＝3(x－x1)(x－x2)．
列表如下：
故f(x1)＋f(x2)＝2＞0，f(x1)－f(x2)＝4(1－a0，从而f(x1)＞|f(x2)|.
故f(x)max＝|f(2)|＝3a－1.
综上所述，
|f(x)|max
＝
33,0,
3 121,
4
3
31,.
4
a a
a a
a a
⎧
⎪-≤
⎪
⎪
+(-<<
⎨
⎪
⎪
-≥
⎪⎩
3. 【2012年.浙江卷.理22】已知a＞0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b．
(1)证明：当0≤x≤1时，
①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；
②f(x)＋|2a－b|＋a≥0；
(2)若－1≤f(x)≤1对x∈0,1］恒成立，求a＋b的取值范围．
于是
所以，g(x)
20,1,0.a b b a a -<⎧⎪
-≤⎨⎪>⎩
在直角坐标系aOb 中，不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC ．
作一组平行直线a +b =t (t ∈R )， 得－1＜a +b ≤3，
所以a +b 的取值范围是(－1,3］．
4. 【2011年.浙江卷.理22】（本题满分14分）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2
（I ）若)(x f y e x ==为的极值点，求实数a ；
（II ）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈，恒有2
()4f x e ≤成立，注：e 为自然对数的底数。

【命题意图】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，
同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力.
【解析】（I ）求导得2()'()2()ln ()(2ln 1).x a a
f x x a x x a x x x
-=-+
=-+- ∵()x e f x =是的极值点， ∴'()()(3)0,a
f e e a e
=--=
解得3a e a e ==或经检验，符合题意， ∴3.a e a e ==或 （Ⅱ）①当01x <≤时， 对于任意实数a ，恒有 2
()04f x e ≤<成立 ②当13x e <≤ 时，由题意，首先有2
2(3)(3)ln 34f e e a e e =-≤ 解得33ln(3)ln(3
)
e a e e e -
≤≤+ 由（Ⅰ）知 ()()(2ln 1)a
f x x a x x '=-+-
令()2ln 1a
h x x x
=+-
则(1)2ln1110h a a =+-=-<，()2ln 0h a a => 且3ln(3)(3)2ln(3)12ln(3)13e e a
h e e e e
+
=+-
≥+-2(ln 3)03ln(3)
e e =->
5. 【2010年.浙江卷.理22】(本题满分14分)已知a 是给定的实常数，设函数
22()()()f x x a x b e =-+，b R ∈， x a =是()f x 的一个极大值点．
(Ⅰ)求b 的取值范围；
(Ⅱ)设123,,x x x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x R ∈，使得
1234,,,x x x x 的某种排列1234,,,i i i i x x x x (其中{}1234,,,i i i i ={}1,2,3,4)依次成等差数列?若存在，
求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）解：f ’(x)=e x
(x-a) 2
(3)2,x a b x b ab a ⎡⎤+-++--⎣⎦
令
22
2
()(3)2,
=(3-a+b)4(2)(1)80,
g x x a b x b ab a b ab a a b =+-++--∆---=+-+>则
于是，假设1212,()0.x x g x x x =<是的两个实根，且
（1） 当x 1=a 或x 2=a 时，则x=a 不是f(x)的极值点，此时不合题意。

（2） 当x 1≠a 且x 2≠a 时，由于x=a 是f(x)的极大值点，故x 1<a<x 2. 即()0g x <
即2
(3)20a a b a b ab a +-++--< 所以b ＜-a
所以b 的取值范围是（-∞，-a ）
(Ⅱ)假设存在b 及4x 满足题意，由（Ⅰ）可知，1x <a <2x ，则3x =a ,
当b =3a --时，4x a =±
当b a =--
4x a =
当72b a =--时，412
x a =+.
6. 【2009年.浙江卷.理22】（本题满分14分）已知函数322
()(1)52f x x k k x x =--++-，
22()1g x k x kx =++，
其中k ∈R ．
（I ）设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(0,3)上不单调．．．，求k 的取值范围； （II ）设函数(),0,
()(),0.g x x q x f x x ≥⎧=⎨
<⎩
是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一
的非零实数2x （21x x ≠），使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存 在，请说明理由．
7. 【2008年.浙江卷.理21】（本题15分）已知a 是实数，函数())f x x a =
-。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值。

（i ）写出)(a g 的表达式；
（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。

【答案】（Ⅰ）()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
． （Ⅱ）（i
）00()06)6a g a a a a ⎧⎪
⎪=<<⎨-，
≤，，
，≥． （ii
）32a +≤≤【解析】：（Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，
，()f x '=
=（0x >）． 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．
（ii ）令6()2g a --≤≤．若0a ≤，无解．若06a <<，解得36a <≤．
若6a ≥
，解得62a +≤≤a
的取值范围为32a +≤≤
8. 【2007年.浙江卷.理22】（本题15分）设3()3x f x =，对任意实数t ，记2
32
()3
t g x t x t =-
（Ⅰ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；
（Ⅱ）求证：（ⅰ）当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对于任意正实数t 成立.
令2332
()()()(0)33
t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则 22
3
()h x x t '=-，
当0t >时，由()0h x '=，得1
3
x t =，
当13
()x x ∈+∞，
时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13
()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：
对任意固定的0x >，令23
2
()()(0)3
t h t g x t x t t ==-
>，则 1
13
32()()3
h t t x t -'=-，
再取3
0t x =，得30
3
00()3
x x g x =，
所以30
3
000016()4()33
x x x g x x g x =-
<=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立． 故有且仅有一个正实数02x =，
使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，0016
()43
x g x x =-， 因为0()t g x 关于t 的最大值是
3
013
x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要
条件是：
求证：当n *
N ∈时，
(Ⅰ)x ;2312
12+++=+n n n n x x x
（Ⅱ）21
)2
1
()
2
1(--≤≤n n n x
【答案】详见解析.
【解析】证明：（I ）因为'2
()32,f x x x =+
所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率12
1132.n n n k x x +++=+ 因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2
,n n x x + 所以22
1132n n n n x x x x +++=+.。