借助联想式教学提高初中学生的数学解题能力

借助联想式教学提高初中学生的数学解题能力
在多个有理数相乘教学中，学生由已掌握的“两数相乘的法则”，来猜想出“积的符号规律”，
并对猜想得出的结论通过举例来加以验证。

而猜想又往往是以联想为中介的。

学生通过联想，产生了一个个新的数学问题，从而把他们的思维引向了新的领域，也使他们不断产生新的求
知欲望。

数学能力就是用熟悉教材形成概括的、简缩的、灵活的、可逆的联想和联想系统的能力。

联
想习惯的养成对于学生数学能力的提高起着重要作用。

从教学实践知道，善于运用联想的方
法和规律，使学生养成自觉合理进行联想的习惯，是学生获取知识、智力发展、能力提高的
重要手段；也是教师提高教学质量的重要手段；对培养学生的创造性思维也有重要的意义。

二、有关概念界定
联想是由一事物想到另一事物的心理过程，是由这一事物想到与之相关的另一事物的思维。

适合初中生的有：类似联想、因果联想、视图联想、发散联想等几种，不论属于哪一种联想，都必须依赖一定的事物刺激于人们的感觉器官，才能产生相应的联想。

针对这一规律，在解
题之前，就应当在题目中寻觅刺激物，这就需要认真仔细的观察，通过观察，把题目中熟悉
的因素、类似因素、特殊因素、因果关系等找出来，然后展开联想思维活动，从而达到提高
解题的能力。

三、联想式教学的实施策略
1.借助类似联想，提高学生数学归纳分析能力
由具体相似特征的事物之间形成联系，而由一种事物联想到另一事物的过程。

在应用类似联
想时，要学会分析题中的条件或者结论中相似的因素，从而找到解题的思路。

例1：如图，半圆上的两弦AD、BC 相交于P，AB 是直径，求证AP·AD+BP·BC=AB2
分析：仔细观察，可以发现两个熟悉的因素，即AB 是直径，弦AD 与BC 相交，一个类似因素；APAD 与BPBC 都和割线定理的元素相类似，所以可采用四点共圆来解决，要使AD 成圆
的割线，要过P、D、B 三点作圆，由此可得到下面证明。

.
证明：如图1，作PE⊥AB 交AB于E，连接BD、AC
∵AB 是直径
∴∠PEB＝∠PDB＝Rt∠
∴P、E、B、D 四点共圆
则AP·AD=AE·AB ………………①
同理可证BP·BC=BE·AB……②
①与②相加得AP·AD+BP·BC=AB2
通过类比联想，既可以归纳总结，又可以拓展延伸，从而形成知识网络。

2.借助因果联想，提高学生数学逻辑推理能力
由事物之间在时空、性质等方面的因果关系而形成联系，由一事物联系到另一事物的过程，应用因果联想，要关于寻找命题的条件与结论上的因果关系，然后进行推理。

例2：已知PAB 和PCD 是圆的割线，PQ 是圆的切线，Q为切点∠CAP＝∠DAB，求证：PQ2-PA2=AC·AD
分析：观察发现题目的因果关系并非独立，可以根据部分因果进行联想，这里的已知条件的切线与结论中PQ2 显然相关，所以可以利用割线定理去推理，下面给出证明。

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证明：如图2，连接AC、BD
∵PQ2=PA·PB=PA（PA+PB）=PA2+PA·PB
∴PQ2-PA2=PA·AB
又∵∠CAP＝∠DAB ∠PCA＝∠B
∴△ABD∽△PCA
∴ PA AD
AC =AB
即PA·AB=AC·AD ∴PQ2-PA2=AC·AD
从上例可以看出，应用因果联想，具有很强的目的性，从而可以避免学生盲目乱推的习惯，提高他们的解题能力。

3.借助视图联想，提高学生数学数形转化能力
由事物的图形而联想到另一事物的过程，应用视图联想，要学会观察图形与命题的结论的关系，找到角或者线段与图形的关系，从而解决问题。

例3（2008 嘉兴市中考)：如图3，正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为（）。

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A．4/3
B．3/4
C．4/5
D．3/5
分析：从图形中可以发现的值比45 度的正弦值小，在这四个答案中，只有D 的答案符合要求，所以利用视图联想很快就可以发现答案，这在数学中考试卷中出现较难的选择题时，可采用视图联系，这样可以大大节省解题的时间。

4.借助发散联想，提高学生数学发散思维能力
由一事物的特征而联想各种可能的发散的方向，应用发散联想，能够使思路狭窄，思维迟钝的学生最后转变成思路开阔，思维敏捷的学生，并且遇到问题时，善于动脑筋，分析各种可能的情况，从而更好地解决问题。

例4：已知圆内接四边形ABCD的对角线段AC、BD 交于E，且AE=EC，求证AB·AD=BC·DC .
分析：常规的思路转化成比例线段，AB∶DC=BC∶AD，然后通过证明这四条线段所在的两个三角形相似，但△ABC与△ADC 不够条件相似，这时，可以联想把AB 转换到别的位置。

证明：延长AB 使AB=BF，连接FC
∵AE＝EC
∴BE∥FC
∴∠ABE＝∠F
又∵∠FBC＝∠ADC
∴△FBC∽△CDA
∴FB∶DC＝BC∶AD
∵AB∶DC=BC∶AD
即AB·AD=BC·DC
应用发散思维，能够使一题多解和一题多变，一题多解，是在人们的认识不断发展、变化，对原有的解法不断改进的基础上逐步提出，这是发散联想的结果。

在课堂教学过程中，教师如果能够经常强调多解、求异、多变引导学生发散思维联想，那么学生的创造性思维就能够得以培养和发展，使他们的智慧大门定会打开，思维变得更加灵活和聪明，从而成为一名具有创新能力的学生。

四、几点思考
1.教师要有充分的课前准备
联想有利于思维创新，有利于问题解决。

培养学生的联想能力，除了注意方法以外，还要求教师在心理上足够重视。

教师在备课时要从广度和深度两个方面挖掘教材，比如二次根式概念的教学，书上讲得很简单，但对学生的要求并不低。

概念的给出要多写一些式子，让学生自己观察，说出共性，得到定义。

然后纵横联想———被开方数为分式或完全平方式、二次根式作分母时对被开方数的要求。

这样学生对二次根式这个概念的内涵和外延都有了比较清晰的认识。

2.要给学生联想的时间和空间
数学教学除了培养学生严谨的推理、精确的运算外，创新能力的培养异常重要，有创新才有发展。

联想是创新的前提。

学生联想能力的培养主要靠课堂教师的引导。

比如三视图、勾股定理等的教学多让学生想一想比教师讲授效果要好得多。

课堂上让学生思考看起来比满堂灌浪费时间，但从长远看来正好相反。

而且数学学习的目的不是模仿而是创造。

因此给学生留有想象的时间和空间是非常必要的。

3.加强对数学解题方法、数学思想的记忆
数学记忆力的本质在于对典型的推理和运算模式均概括的记忆，在学习数学过程中，经常遇到一些典型试题，对这些题型及解题模式的记忆可以提高学生的解题能力。

记忆常用的解题方法和数学思想是提高数学解题能力的充分保证。

在数学教学中适时、经常地运用联想，使陌生问题熟悉化、复杂问题简单化，让学生学会观察、分析、联想等方法去分析问题，那么一定能够探寻得到解决问题的途径。

但解题方法的获得，不是一朝一夕的事情，只有在平时的学习中不断积累，不断醒悟，才能驾轻就熟，达到应用自如的境界。