广东省广州六中-度高一数学下学期期中考试试卷

广州六中2008-2009学年度下学期期中考试
高一数学模块四结业试题（2009.4）
（请注意：考试时一律不得使用计算器）
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答卷上的对应位置处） 1.下列命题正确的是（ * ）
A.第一象限角是锐角
B.钝角是第二象限角
C.终边相同的角一定相等
D.不相等的角，它们终边必不相同
2.在四边形ABCD 中，如果0AB CD ⋅=，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是（ * ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 3．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（ * ）
A ．125,1313⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．125,1313⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
或 4. 若││=2sin15,││=4cos15, 与的夹角为0
30，则•的值是（ * ）
A ．
2
3
B ．3
C ．23
D ．21
5．下列函数中，以π为周期且在区间02π⎛
⎫
⎪⎝⎭
，上为增函数的函数是（ * ）
A ．sin
2
x
y = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-
6. 已知1cos sin -=+x x ,则20092011
sin
cos x x +的值为（ * ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1
7.如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、，则下列各等式中不正确的是（ * ）
A.2
3BG BE =
B.2CG GF =
C.1
2
DG AG = D.0GA GB GC ++=
8. 已知C B A ,,为平面上不共线的三点，若向量=（1，则·等于（ * ）
A ．-2
B ．2
C ．0
D ．2或-2 9. 若α是锐角，且满足3
1
)6
sin(=
-
π
α,则αcos 的值为（ * ） A ．
6162+ B ． 6162- C ．4132+ D ． 4
1
32- 10. 函数)3sin()3cos(3)(θθ---=x x x f 是奇函数，则θtan 等于（ * ）
A ．
33 B ．-3
3 C ．3 D ．-3
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答卷相应位置。

） 11．已知向量(2,1)a =-与向量b 共线，且满足10a b ⋅=-，则向量b ＝_________ 。

12.已知tan 2α=，3
tan()5
αβ-=-，则tan β= . 13.已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+＝ .
14．若关于x 的方程2cos 24sin 450x x k -++=有解，则实数k 的取值范围是 。

三、解答题（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分12分）
已知：、、c 是同一平面上的三个向量，其中=(1，2).
① 若|c |=25，且c ∥，求c 的坐标;
② 若|b |=2
5
，且a +2b 与2a -b 垂直，求a 与b 的夹角θ.
16.（本小题满分12分）
已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---. （1）若△ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值； （2）若点,,A B C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 17.（本小题满分14分）
已知3sin 25α=
，53
[,]42
αππ∈. （1）求cos 2α及cos α的值；
（2）求满足条件sin()sin()2cos x x ααα--++=的锐角x .
18.（本小题满分14分） 已知向量33(cos
,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，且[,]2
x π
π∈. （1）求a b ⋅及a b +；
（2）求函数()f x a b a b =⋅++的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值.
19. （本小题满分14分）
已知)2sin 3,1(),1,2cos 1(a x N x M ++a R a R x ,,(∈∈是常数），且ON OM y ⋅=（其中O 为坐标原点）.
（1）求y 关于x 的函数关系式)(x f y =；
（2）求函数)(x f y =的单调区间；
（3）若]2
,0[π
∈x 时，)(x f 的最大值为4，求a 的值.
20．（本小题满分14分）
已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||−→
−−→
−−→−=⋅PC k BP AP ()k R ∈. （1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当2=k 时，求||−→
−−→
−+BP AP 的最大值和最小值.
广州六中2008-2009学年度下学期期中考试 高一数学模块四结业试题（2009.4）----参考答案
命题：刘冬湖 审题：李伟文 （请注意：考试时一律不得使用计算器）
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答卷上的对应位置处） 1.下列命题正确的是（ B ）
A.第一象限角是锐角
B.钝角是第二象限角
C.终边相同的角一定相等
D.不相等的角，它们终边必不相同
2.在四边形ABCD 中，如果0AB CD ⋅=，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是（ A ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 3．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（ C ）
A ．125,1313⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．125,1313⎛⎫
-- ⎪⎝⎭ C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
或 4. 若││=2sin15,││=4cos15, 与的夹角为0
30，则•的值是（ B ）
A ．
2
3
B ．3
C ．23
D ．21
5．下列函数中，以π为周期且在区间02π⎛
⎫
⎪⎝⎭
，上为增函数的函数是（ D ）
A ．sin
2
x
y = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-
6. 已知1cos sin -=+x x ,则2009
2011sin
cos x x +的值为（ C ）
A ．0
B ．1
C ．-1
D ．±1
7.如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、，则下列各等式中不正确的是（ C ）
A.2
3BG BE =
B.2CG GF =
C.1
2
DG AG = D.0GA GB GC ++=
8. 已知C B A ,,为平面上不共线的三点，若向量AB =（1，1），n =（1，-1），且n ·AC =2，则·等于（ B ）
A ．-2
B ．2
C ．0
D ．2或-2 9. 若α是锐角，且满足3
1
)6
sin(=
-
π
α,则αcos 的值为（ B ） A ．
6162+ B ． 6162- C ．4132+ D ． 4
1
32- 10. 函数)3sin()3cos(3)(θθ---=x x x f 是奇函数，则θtan 等于（ D ）
A ．
33 B ．-3
3 C ．3 D ．-3
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答卷相应位置。

） 11．已知向量(2,1)a =-与向量b 共线，且满足10a b ⋅=-，则向量b ＝_________ 。

(－4，2)
12.已知tan 2α=，3
tan()5
αβ-=-
，则tan β= . -13 13.已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+＝ . 5
7
14．若关于x 的方程2cos 24sin 450x x k -++=有解，则实数k 的取值范围是 。

12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
三、解答题（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分12分）
已知：、、是同一平面上的三个向量，其中=(1，2).
③ 若|c |=25，且c ∥，求c 的坐标.];
④ 若||=
2
5
，且+2与2-垂直，求与的夹角θ. 15. 解：①设),(y x c =→
∵c ∥a 且|c |=25 ∴⎩
⎨
⎧=+=-200222y x y x ∴2±=x ∴=(2,4)或=(-2，-4) . ……………………（6分）
②∵（+2）⊥（2-）∴（+2）·（2-）=0, ∴22+3·-22=0
∴2||2+3||·||θcos -2||2=0
∴2×5+3×5×
2
5
θcos -2×45=0,∴θcos = -1
∴θ=ππk 2+,∵θ∈[0，π], ∴θ=π. …………………………………（12分）
16.（本小题满分12分）
已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---. （1）若△ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值；
（2）若点,,A B C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件.
16.解：（1）因为(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC m m =---，
所以(3,1)AB =，(2,1)AC m m =--，…………（3分）
若△ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥， ∴3(2)(1)0m m -+-=， 解得7
4
m =
. ………………………………………………（6分） （2）若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线. 故知3(1)2m m -≠-， ∴实数1
2
m ≠
时，满足条件. …………………………………………………（12分） （若根据点,,A B C 能构成三角形，必须任意两边长的和大于第三边的长，即由AB
BC CA +>去解答，相应给分）
17.（本小题满分14分）
已知3sin 25α=
，53
[,]42
αππ∈. （1）求cos 2α及cos α的值；
（2）求满足条件sin()sin()2cos x x ααα--++=的锐角x . 17.解：（1）因为534
2παπ<<
，所以5
232
παπ<<. ………………………（1分）
因此4cos 25
α==-. ………………………………（4分）
由2
cos 22cos 1αα=-，得cos 10
α=-
……………………（7分）
（2）因为sin()sin()2cos 10
x x ααα--++=-
，
所以2cos (1sin )x α-=，所以1sin 2x =. ………………………（10分）
因为x 为锐角，所以6
x π
=. ………………………………………………（14分）
18.（本小题满分14分） 已知向量33(cos
,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，且[,]2
x π
π∈. （1）求a b ⋅及a b +；
（2）求函数()f x a b a b =⋅++的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值. 18.解：（1）33cos
cos sin sin cos 22222
x x x x
a b x ⋅=-=， ……………………（3分） (cos
a b += ………………………（4分）
=
2cos x == …………………………………………（7分） ∵[
,]2
x π
π∈， ∴cos 0x <.
∴2cos a b x +=-. …………………………………………………………（8分） （2）2
()cos 22cos 2cos 2cos 1f x a b a b x x x x =⋅++=-=-- 2
13
2(cos )2
2
x =-- …………………………………………………（10分） ∵[
,]2
x π
π∈， ∴1cos 0x -≤≤， ……………………………………（12分）
∴当cos 1x =-，即x π=时max ()3f x =. ………………………………（14分）
19. （本小题满分14分）
已知)2sin 3,1(),1,2cos 1(a x N x M ++a R a R x ,,(∈∈是常数），且y ⋅=（其中O 为坐标原点）.
（1）求y 关于x 的函数关系式)(x f y =； （2）求函数)(x f y =的单调区间；
（3）若]2
,
0[π
∈x 时，)(x f 的最大值为4，求a 的值.
19.解：（1）a x x ON OM y +++=⋅=2sin 32cos 1，所以
a x x x f +++=12sin 32cos )(----------------------（4分） （2）由（1）可得a x x f +++=1)6
2sin(2)(π
----------------------（6分）
由2222
6
2k x k π
π
π
ππ-
<+
<+
解得：()36
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈
由3222262k x k πππππ+<+<+解得：2()63
k x k k Z ππ
ππ+<<+
∈ 所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
， 单调递减区间为2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦。

----------------------（10分） （3）a x x f +++=1)6
2sin(2)(π
，因为,2
0π
≤
≤x 所以
676
26
ππ
π
≤
+
≤x ， 当262ππ=+x 即6
π
=x 时)(x f 取最大值3+a ， 所以3+a =4，a =1----------------------------------（14分）
20．（本小题满分14分）
已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2
||−→
−−→
−−→−=⋅PC k BP AP ()k R ∈.
（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当2=k 时，求||−→
−−→
−+BP AP 的最大值和最小值. 20、解：( 1 ) 设动点P 的坐标为),(y x ，
则)1,(-=−→
−y x AP ，)1,(+=−→
−y x BP ，),1(y x PC -=−→
−，
∵2||−→−−→−−→−=⋅PC k BP AP ，∴[]2222)1(1y x k y x +-=-+，-------------（3分） 即 012)1()1(22=--+-+-k kx y k x k 。

-------------（5分）
若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线；-------------（6分） 若1≠k ，则方程为222)11()1(k y k k x -=+-+，表示以)0,1(k k -为圆心，以|1|1k -为半径的圆。

-------------（9分）
( 2 ) 当2=k 时，方程化为1)2(22=+-y x ，
(,1)(,1)(2,2)AP BP x y x y x y −−→−−→
+=-++= ∴222||y x BP AP +=+−→−−→−，-------------（12分）
又∵1)2(22=+-y x ，∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则
θcos 4522||22+=+=+−→−−→−y x BP AP
∴当1cos =θ时，||−→−−→−+BP AP 的最大值为6，当1c
o s -=θ时，最小值为2。

------（14分）
（由数形结合可得13≤
同样给分）。