江西省九江市2015届高三数学第一次高考模拟统一考试试题 理 新人教A版

江西省九江市2015届高三数学第一次高考模拟统一考试试题 理 新人
教A 版
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集U R =，集合[)2,5A =，
()()U
,12,B =-∞+∞，则A
B =（ ）
A ．()2,5
B ．()1,2
C ．{}2
D ．∅ 2、设复数21i
z i
-=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．
1322i - B ．13
22
i + C ．13i - D ．13i + 3、已知3
tan 5
α=-，则sin 2α=（ ） A ．
1517 B ．1517- C ．817
- D ．817 4、已知随机变量X 服从正态分布()5,4N ，且()()4k k P X >=P X <-，则k 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 5、已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（
ϕπ<）的图象向左平移
6
π
个单位后得到()cos 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则ϕ的值为（ ）
A ．23π-
B ．3π-
C ．3
π D ．23π
6、在如下程序框图中，输入()()0sin 21f x x =+，若输出的()i f x 是()8
2sin 21x +，则程序框图中的判断框应填入（ ）
A ．6i ≤
B ．7i ≤
C ．8i ≤
D ．9i ≤
7、已知抛物线的方程为2
2y px =（0p >），过抛物线上一点()
,2p p M 和抛物线的焦点F 作
直线l 交抛物线于另一点N ，则F :F N M =（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．1:2
D ．1:3 8、若实数x ，y 满足31x y -≤≤，则2x y
z x y
+=
+的最小值为（ ） A ．
53 B ．2 C ．35 D ．12
9、如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）
A ．64223++
B ．842+
C ．662+
D ．62243++
10、已知点P 为双曲线
22
1169
x y -=右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，M 为12FF ∆P 的内心，若12F F 8S S ∆PM ∆PM =+，则12FF ∆M 的面积为（ ） A ．27 B ．10 C ．8 D ．6 11、平面α截球O 的球面得圆M ，过圆心M 的平面β与α的夹角为
6
π
，且平面β截球O 的球面得圆N ．已知球O 的半径为5，圆M 的面积为9π，则圆N 的半径为（ ） A ．3 B ．13 C ．4 D ．21 12、已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()
811f x x =--，且对任意的实数
1
22,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（n +∈N ，
且2n ≥），都有()1
12
2x f x f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）
A ．[]2,10
B ．2,10⎡⎤⎣⎦
C ．()2,10
D ．
(
)
2,10
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、()()6
212x x +-的展开式中2
x 的系数为 ．（用数字作答）
14、已知直线1y x =-+是函数()1x
f x e a
=-
⋅的切线，则实数a = ． 15、等差数列{}n a 中，
112015a =，1m a n =，1
n a m
=（m n ≠），则数列{}n a 的公差为 ．
16、如图，在C ∆AB 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
2
2
a b c bc =++，3a =，S 为C ∆AB 的面积，圆O 是C ∆AB 的外接圆，P 是圆O 上一动点，当3cos cosC S +B 取得最大值时，PA⋅PB 的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11n n S a a =-．
()1求数列{}n a 的通项公式；
()2设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18、（本小题满分12分）如图所示，在长方体CD C D ''''AB -A B 中，D λλ'AB =A =AA （0λ>），E 、F 分别是C ''A 和D A 的中点，且F E ⊥平面CD ''A B ．
()1求λ的值；
()2求二面角C '-A B -E 的余弦值．
19、（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）
几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20
()1能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
()2经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在57分钟，乙每次解答一道几何题
所用的时间在6
8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
()3现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙
两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ． 附表及公式
()
()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d -K =++++．
20、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为()F 1,0，A 、B 是椭圆C 的
左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且D ∆A B
()1求椭圆C 的方程；
()
2是否存在一定点()0,0x E （00x <<
）
，使得当过点E 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点时，2
2
11+
EA
EB
为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分12分）设函数()ln ab x f x x =
，()()1
2
g x x a b =-++（其中e 为自然对数的底数，a ，R b ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-．
()1求b 的值； ()2若对任意1,x e ⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．
请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，C 为切点，D CD A ⊥交O 于点E ，连
接C A 、C B 、C O 、C E ，延长AB 交CD 于F ．
()1证明：C C B =E ；
()2证明：CF C ∆B ∆EA ．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为1x y ⎧=+⎪⎨
=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2
sin 1sin θ
ρθ
=
-． ()1写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；
()2若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出P 点的坐标．
24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x a =---．
()1当2a =时，解不等式()1
2f x ≤-；
()2若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．
九江市2015年第一次高考模拟统一考试 数 学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1.解：
[1,2]B =，{2}A B ∴=，故选C.
2.解：2(2)(1)13
1222
i i i z i i +++=
==+-，故选B. 3.解：22223
2()
2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117
()15
ααααααα⨯-==
=-++-+，故选B. 4.解：(4)52
k k
-+= 7k ∴= 故选B.
5.解：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++ 又2()cos(2)=sin(2)63
g x x x ππ
=++
2+=233k ππϕπ∴+
即=23k πϕπ+，k Z ∈ ϕπ< =3
π
ϕ∴ 故选C. 6.解：1i =时，1()2cos(21)f x x =+；2i =时，22()2sin(21)f x x =-+；3i =时，
33()2cos(21)f x x =-+；4i =时，44()2sin(21)f x x =+；…；
8i =时，88()2sin(21)f x x
=+，结束，故选B.
7.解：:)2p l y
x =- 联立方程组22)
2y p y x
p
x ⎧⎪
⎨=-=
⎪⎩，得(,)4p N p 3424p p NF p ∴=
+=，3
22
p MF p p ∴=+= :1:2NF FM ∴=，故选C. 8.解：依题意，得实数,x y 满足30
3001
x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤≤⎩
其中(3,0)A ，(2,1)C
2151[,2]311y
x z y y x x
+
=
=+∈++，故选A. P
A B
9.解：直观图如图所示四棱锥P ABCD -
1
2222
PAB PAD PDC S S S ∆∆∆===⨯⨯=
01
sin 602
PBC S ∆=⨯=
2ABCD S ==四边形
故此棱锥的表面积为，故选A.
10.解：设内切圆的半径为R ，4,3,5a b c ===
128PMF PMF S S ∆∆=+ 121
)82
PF PF R ∴-=( 即8aR = 2R ∴=
1212102MF F S c R ∆∴=⋅⋅=，故选B. 11.解：如图，5OA =，3AM = 4OM ∴= 又3
NMO π
∠=
sin
3
ON OM π
∴=⋅=
又
5OB =
NB ∴== B.
12.解：如图所示，易得1a >
依题意得log 44
log 102a a
<⎧⎨>⎩
，a << D.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.解：2x 的系数为1512
426622(1)2(1)144C C ⨯⨯-+⨯⨯-=-.
14.解:设切点为00(,)x y ，则001()1x f x e a
'=-⋅=-，0x e a ∴=，又001
1x e x a -⋅=-+，02x ∴=
2a e ∴=
15.解：
11(1)2015m a m d n =
+-=，11(1)2015n a n d m =+-=
11()m n d n m
∴-=- 1d mn ∴=
111(1)2015m a m mn n ∴=+-= 解得112015mn =
，即1
2015d =. 16.解：2
2
2
a b c bc =++ 2221cos 22b c a A bc +-∴==- 23
A π
∴=
设圆O 的半径为R ，则22sin a R A === 1R ∴=
1
cos sin cos cos
2
S B C bc A B C B C
∴+=+=+
sin cos)
B C B C B C
=+=-
当
6
B C
π
==
时，cos
S B C
+取得最大值
建立如图直角坐标系，则(0,1)
A
，
1
()
2
B
，
1
)
2
C，设(cos,sin)
Pθθ，则
1
(cos,sin1)(cos)
2
PA PBθθθθ
⋅=-+
-
333
sin)
2223
π
θθθ
=-+=++
当且仅当cos()1
3
π
θ+=时，PA PB
⋅
取最大值
3
2
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解:（1）当1
n=时，()2
111111
1
a S a a a a
==-=-
1
a ≠
1
2
a
∴=………2分当2
n≥时，
1
(1)
n n
S a a
=-………①
111
(1)
n n
S a a
--
=-………②
①-②得()
111
22
n n n n n
a a a a a a
--
=-=-
1
2
n n
a a
-
∴=………4分
∴数列{}n a是首项为2，公比为2的等比数列2n
n
a
∴=………6分
(2)
2
n n
n
b=………7分
1231
1231
22222
n n n
n n
T
-
-
∴=+++++
2341
11231
222222
n n n
n n
T
+
-
=+++++
两式相减得
234111
11
(1)
1111112
221
1
222222222
1
2
n
n n n n n
n n n
T
+++
-+
=+++++-=-=-
-
…11分
2
2
2
n n
n
T
+
∴=-………12分
18.解：以D为原点，DA、DC、DD'为,,
x y z轴的正方向建立空间直角坐标系.
设2
AA AD
'==，则=2
ABλ
则(0,0,0)D ，(2,02)A ',，(002)D ',,，(2,2,0)B λ，(0,20)C λ,，(1,,2)E λ，(100)F ,, ……
2分
(1)由已知可得(0,,2)EF λ=--，(2,0,0)D A ''=，(0,22)A B λ'=-,………3分
EF D A ''⊥,EF A B '⊥ 0EF D A ''∴⋅=，0EF A B '⋅=即2240λ-+= λ∴5分
(2)设平面EA B '的法向量为(1,,)m y z =，则00
m A B m A E ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩
(0,2)A B '=- (A E '=-
20
10
z ⎧-=⎪∴⎨
-+=⎪⎩ y ∴=，1z = 2
(1,
m ∴=………7分 由（1）可得EF 为平面A BC '的法向量，且(0,2)EF =-………9分
2cos ,1m EF m EF m EF
⋅∴<>=
==
=⋅………11分
又二面角C A B E -'-为锐二面角 ∴二面角C A B E -'-12分 19.解:(1)由表中数据得2
K 的观测值()2
25022128850 5.556 5.024*********
K ⨯⨯-⨯=
=≈>⨯⨯⨯ ………2分
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关………3分 (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的
区域为57
68x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
(如图所示) ………4分
y
x
1
设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >………5分
∴由几何概型1
11
12()228P A ⨯⨯=
=⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18
………7分 (3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有
221C =种………8分
X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1
(2)28
P X == X 的分布列为：
………11分
1512110+1+22828282
EX ∴=⨯
⨯⨯=………12分
X 0
2
P 1528 1228 128
设过点
E 的直线方程为x ty =+
C 中得: 224
(2)0
3t y
++-=，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，
则12y y +==122
4
3(2)
y y t =-+………9分 21212
222222222222
12
1212()21
1
111111()(1)(1)11y y y y t y t y t y y t y y EM EN +-+=+=⋅
+=⋅++++ 2
1
31t
=
=+
综上得定点为E ，定值为3………12分 21.解：(1)由ln ()ab x f x x
=，得2(1ln )
()ab x f x x -'=………1分
由题意得(1)f ab ae '==………2分 0a ≠ b e ∴=………3分
(2)令2
1()(()())()ln 2
h x x f x g x x a e x ae x =-=
-++， 则任意1[,)x e
∈+∞，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1[,)e
+∞有且只有两个零点.
由21()()ln 2
h x x a e x ae x =
-++，得()()
()x a x e h x x --'=
………5分 ①当1a e
≤时，由()>0h x '得x e >；由()0h x '<得1
x e e <<.
此时()h x 在1
(,)e e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增.
2211
()()ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<，
242221112
()()2(2)(2)(2)()0222h e e a e e ae e e e a e e e e
=-++=--≥-->
（或当x →+∞时，()0h x >亦可）
∴要使得()h x 在1
[,)e
+∞上有且只有两个零点，
则只需2111()ln 2a e h ae e e e e
+=-+222(12)2(1)02e e e a
e --+=
≥，即22122(1+)e a e e -≤ ………7分
②当
1a e e
<<时，由()>0h x '得1
x a e <<或x e >；由()0h x '<得a x e <<.此时()h x 在
(,)a e 上单调递减，在1
(,)a e
和()e +∞，上单调递增.
此时222111
()ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<
∴此时()h x 在1
[,)e
+∞至多只有一个零点，不合题意………9分
③当a e >时，由()0h x '>得1x e e <<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1
(,)
e e
和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21
()02h e e =-<，∴()h x 在1[,)e
+∞至多只
有一个零点，不合题意………11分
综上所述，a 的取值范围为2
2
12(,]2(1+)
e e e --∞………12分 22.证明：(1)CD 为圆O 的切线，C 为切点， AB 为圆O 的直径 OC CD ∴⊥………1分 又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分 又OC OA = OAC OCA ∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠
BC CE ∴=………5分
(2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠
四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠=………8分 又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠ BCF EAC ∴∆∆∽………10分
23.解:(1)
由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=………1分
∴直线的极坐标方程为:cos sin 1ρθρθ-=
(cos cos
sin sin )144ππθθ-=
cos()14
π
θ+=………3分
2sin 1sin θρθ=- 2
sin cos θρθ
∴= 2cos sin ρθθ∴= 2
(cos )sin ρθρθ∴= 即曲线C 的普通方程为2
y x =………5分
F
(2)设00(,)P x y ，200y x =
P ∴
到直线的距离d ………8分
∴当012x =
时，min d = ∴此时11
()24P ， ∴当P 点为11
(,)24时，P
………10分 24.解:(1)2a = 1
(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪
∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩
………1分
1()2f x ∴≤-等价于2
112x <⎧⎪
⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨
⎪<<⎩或3112
x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分 解得
1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11
{|}4
x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分
∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得3
2
a ≤
∴实数a 的取值范围是3
(,]2
-∞………10分。