中学物理中“质量为零”类问题赏析

2020年6月1日理科考试研究•综合版.39 .
中学物理中“质量为零”类问题贵析
李俊永1王长江2
(1.仁怀市周林高中贵州仁怀564500 ; 2.安徽师范大学物电学院安徽芜湖241000)
摘要：在中学物理力学教学中经常会遇到一些理想化条件下的试题，文章就“质量为零”类问题进行了分析与梳理，从解题认识论的角度进行探讨赏析.
关键词：“质量为零”类问题；中学物理；力学教学
中学物理力学习题课中经常会出现一类习题，该 种类型的习题往往会刻意提示某种力学杆件为轻质 杆件，或者提示力学系统中某装置或某部分装置的质 量忽略不计，笔者发现学生处理这类问题困难较大，既然发现了这样的现象,笔者觉得很有必要对这类问 题进行整理归类、分析，学海探玉以飨同行•
1了解“质量为零”及“质量为零”类问题
将客观的物理世界或研究对象进行理想化处理 是物理学研究经常采用的方法，可以说没有研究对象 的理想化就没有物理学，所谓质童为零，并非指研究 对象的质量真的为零，而是相较于研究系统中的其它 对象，该研究对象的质量很小达到了可以被忽略不计 的程度.因此“质量为零”是比较法下的理想化处理，它是一种为简化问题而特别引人的物理学术语.比 如，中学物理教材或教辅资料中提及的“轻绳”“轻 杆”“轻环”“轻弹簧”等就属于这种情形，围绕这些理 想化模型而设计的各种物理学问题就属于“质量为 零”类问题.
“质量为零”类问题作为一类经典，广泛存在于各 种试题当中，关于它们的讨论常见于中学物理教学研 究期刊.之所以出现诸多讨论，说明中学物理界对该 类问题的认识具有模糊性以及该类问题在解决途径 上具有复杂性，笔者的教学实践也证明了这一点.当 学生在解决该类问题时常常思维混乱，表现在各种认 识看似都对但却不能拿出有效的证据进行证明•为此 笔者梳理了四类典型“质量为零”问题进行研究赏析.
2 “质量为零”类问题分类研究与赏析
2.1 “质量为零”—轻弹簧问题
众所周知，轻弹簧意指弹簧的质量可以忽略不计,该类模型的典型性不言而喻，它常与牛顿第二定律的瞬时性问题相伴相随，由此也演变出了千变万化 的经典试题，下面先从一道高考试题说起.
例1(1987,广东卷）如图1所示，一重物m悬挂在弹簧下，再用一细绳固定在天花板上，整个装置 平衡静止后，用火焰烧断细绳.在绳断开的瞬间，m的 加速度为a(忽略弹簧质量和空气阻力），则（）•
A.a<g,方向向下
B.a =容，方向向下
C.a>g，方向向下
D. a<g，方向向上
关于本题的解析有两种说法•图1
第一种，整体分析法，因为轻弹簧无质量，无惯性，当把轻绳烧断后将轻弹簧和重物看作整体，该整 体仅受到重力，则重物部分的加速度等于整体加速 度，即a 方向向下,B选项正确.
第二种，假设轻弹簧上下两端所受之力分别为、F2，当轻绳被剪断之后，对弹簧而言可列出牛顿第 二定律的表达式/^ -心=假设为弹簧的质量，因为弹簧质量％ =0,可以得到F, =F2，因剪断细 绳之后弹簧上端的力变为〇,则&也变为〇,由此 得到弹簧和重物之间的力瞬间消失，重物仅受重力，则重物的加速度为g，方向向下，选B.
关于本题也有学生认为重物的重力加速度应为 〇,理由是在剪断细绳的瞬间弹簧只能够发生渐变不 能发生突变，因而剪断细绳前后重物的受力状态没有 发生改变.
那么问题来了，究竟那种解释正确呢？作为教师 需要对此进行深人的研究，否则不可能帮助学生在这 三种解释中做出正确的判断.王志成老师在相关文献 的基础上[1_3]，对“轻弹簧弹性势能凭空消失”作了深
作者简介：李俊永（1987 -)，男，陕西商洛人，研究生，中学一级教师，研究方向：“思维型”课堂教学研究;
王长江（1972 -),男，宁夏石嘴山人，博士，副教授，研究方向：“思维型”课堂教学理论研
究.
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度分析，给出了重物重力加速度为〇的完美解释[4],王老师认为烧断细绳的瞬间，弹簧上方的弹力突然消 失，由于惯性导致组成弹簧的每一个小环的运动状态 并不相同，上方弹簧会发生微小收缩，从而使整个弹 簧的质心有微小的下移，从而重物与弹簧形成的系统 质心也会下移，根据质心运动定理，整体的质心加速 度为g,单就重物而言，由于惯性的存在，弹簧要发生 渐变，则重物的重力加速度为〇•
赏析第一、二种解法错误的根源在于未能注意 到轻弹簧“质量为零”成立的条件同时教材也没有说 明这个成立条件是什么，却在整体法、部分法的使用 上无懈可击，这是学生不能解释的根本原因.上述文 献对该原因的重视,正确地解决了轻弹簧“质量为零”成立的条件，也为本题背景下弹簧只能发生渐变不能 突变的事实找到了理论根据，为重物的加速度为〇找 到了坚实的证据.就思维来讲，错解在一定程度上发 展了学生的发散思维，这并没有什么坏处，更为重要 的是通过两种错解与正解的对比能够让学生的认识 得到升华,会对该类问题的解法产生较全面的理解，完整呈现这几种解法会让学生产生强烈的认知冲突，既有利于培养思维的深刻性，又发展了学生的对比思 维与辩证思维.
2.2 “质量为零”—轻滑轮问题
轻滑轮类问题，需要紧紧把握好轻滑轮质量为零 的特点，这种题型经常表现出新、奇的特点，学生不易 把握.
例2物块4和物块的质量分别为4m和m,开始/1、S均静止，细绳拉直，在竖直向上拉力F=
作用下，动滑轮竖直向上加速运动.已知动滑轮质量 忽略不计，动滑轮半径很小，不考虑绳与滑轮之间的 摩擦，细绳足够长.在滑轮向上运动过程中，物块4和 fi的加速度分别为（）_
A-aA =y g,f l B=5g
B.aA =aB =y g
c-aA=3S
D.aA=0,aB=2g
关于此题，笔者在教学中发现，在学生中出现了 两种典型的错误.
错误1学生认为滑轮向上加速运动，就顺手写 ttsT ^- r nAg - m Bg -{m A+m B)a.
错误2学生错误地将地面对物块的弹力也考虑进了方程中，具体写法是+% -m Bg + /V8 = (r nA m B)a.
这两种错误都表明了学生思维品质差，正是这样 的原因学生不能正确地判明每一个物块具体的运动 状态，从而在解法上套用公式，误把错解当正解.
正解设在运动过程中，细绳的拉力为7\滑轮的 质量为m。

，滑轮的加速度为a，则取滑轮为研究对象 可得-271: m0a,因 m〇 =0,故可得 271= F，即 71= 3m g，取/I为研究对象，因71= 3m g< = 4m g，故4没有离开地面，所以4的加速度为零，取B为研究对象，因T'zSmgsCa =m《，根据牛顿第二定律可得:3m g- m贫=mafl解得:aB =2g,方向向上，故C正确.
赏析错解1和错解2是常见的错误类型，学生 虽然使用了整体法，也看到了动滑轮质量为零的条 件，但是并没有抓住问题的突破点——对动滑轮运动 状态的分析，从此也就失去了真正能够解决问题的线 索，这表明该类学生物理分析能力弱，问题解决能力 不够,仅看到了问题的表象，却从未深入到问题的实 质.从正解的解析过程看，以“质量为零”的动滑轮为 突破点可以顺利地找到问题解决的线索，由此基于判 断的物理状态分析，变得水到渠成.
2.3 “质量为零”—轻绳问题
轻绳模型是常见的模型，它是柔索的基本类型之 一，是一个绝对柔体，拉力的方向沿着绳子并指向绳 子收缩的方向，只能够产生拉力不能产生压力且劲度 系数非常大，发生的形变极小，可认为它不可伸长.关 于轻绳的一些试题也具有典型性.
例3如图3左图所示，长i = l m，不可伸长的细 绳拴住质量m =0. 2k g的小球悬挂在天花板上的0 点，现将小球拿至与〇点等高，距〇点d=〇.6m的/I 点由静止释放，求小球过最低点的速度及细绳对小球 的拉九
关于本题学生经常出现如下的错误解法.
错解假设小球从最高点下落到最低点的速度为根据机械能守恒定律mgi zfffW2,可以得到^ =
图2
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A Z：，据此求得，速度n2/5m/S，结合牛顿第二定律 T -m g71= 6N.
仔细分析该过程就可以清晰的看到，学生未能正 确认识轻绳受力可以发生突变的事实.如图3右图所 示，当小球自由下落到S点时，绳子已经绷直，将S点 的速度沿着绳子与垂直于绳子进行分解，沿着绳子方 向的速度由于轻绳的原因立即减小到〇,产生了能量 损失.因此机械能并不守恒.
正解图3右图中当小球下落到S点时,据几何关系可得到"AB= =〇.8m，且0=53°,对此过
程，据机械能守恒定律可得心==4m/s,由于 在B点的位置，速度的法向分量为〇,则损失的动能为
丨(t;asin0)2 = 1.024J.则对 /4C 过程而言，采
(2)若F=3m g,求物块/I到达下边界M/V时
间的距离.
P.............二-----Q
H
M---------------------------------N
图4
通过第（1)问的求解可得到为使间无相对运动，^应满足^矣!的条件」到达上边界时的速度v^，当F为时，/I相对圆管向上滑 动，设4的加速度为,贝i j由m g+/丨-F= m a,得a,= -g,根据运动的对称性可以知道，将4向下减速运动
用能量守恒定律= mgL - A£f f i，并结合71- m g= v1
爪-^，得到71= 3_9521^.
L
赏析该题的错解代表了一批学生的解题思路. 从正解的解题过程可以看出，在思维的提升上，应当 分三步，即自由落体运动阶段、轻绳张紧的阶段、圆周 运动阶段，特别需关注的是当轻绳张紧时小球将会损 失机械能.应该得到“质量为零”—轻绳问题中的两 个关键点：（1)当用轻绳连接的系统通过轻绳的碰撞、撞击时，系统的机械能将会损失；（2)轻绳上的弹力会 发生突变.
2.4 “质量为零”—轻管问题
所谓轻管，一般指空心薄管，在中学物理教学中 并不常见，但是该类问题往往伴随摩擦力的分析，题 目的难度较大，对学生思维要求较高，能够较好的区 分和甄别学生思维能力的高低•
例4如图4所示，一直立的轻质薄空心圆管长 为乙，在其上下端开口处安放有一个质量分别为m和 2m的圆柱形物块紧贴管的内壁，厚度不 计与管内壁间的最大静摩擦力分别是/, =m g、/2 =2m g，且设滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等•管下方存在这样一个区域：当物块4进入该区域时受 到一个竖直向上的恒力^作用，而fi在该区域运动时 不受它的作用是该区域上下水平边界，高度 差为//(L >2//)•现让管的下端从距上边界高//处由静止释放，重力加速度为g.
(1)为使间无相对运动，求F应满足的 条件.
后速度减为零,运动位移将为W.此过程中对
空心管而言/, +/; ="1管aw，由于管的质量不计,/1对 管的摩擦力与B对管的摩擦力方向相反、大小均为 m尽，/;=喂</2 = 2邮，由此可知B相对于空心管静 止.则B与圆管整体受到重力和4对管的静摩擦力作用，以％为初速度，以a2 =21二％=|为加速度做勻加速直线运动，当物块A到达下边界M/V时之
间的距离心=L + // - (t；At+ 士 M2 )，即Ax
赏析该题中质量为零的空心管在状态分析中起到了重要桥梁的作用，但是从解题思维的角度看，空心管质量为零这一条件比较隐蔽，需要解题者充分 挖掘该条件，并明白该条件在题干中存在的价值是什 么.就该题本身来讲，它对初学者而言有极大的难度，理解试题所设定的关键条件更需要学习者具备将情 景进行理想化处理的思维方式.
3 ‘‘质量为零”类问题的研究意义与启示
“质量为零”类问题共同的特征是相关研究对象 为轻质，“轻”是物理学上相对意义的概念，属于典型 的辩证思维，也许很多年之后学生把所学的物理学知 识“都还给了老师”，但是物理学思想与方法却将永远 地沉淀在学生的头脑当中，通过上述四类的梳理分析 发现，它们经常与牛顿第二定律相综合，借助被选定 研究对象质量为零的特征，问题往往拨云见日.它的
教学意义至少有以下几点.
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(1)
打破了学生惯有的思维方式，使得学生重新 认识牛顿第二定律中的“质量”在解题技巧上的意义, 根据以往经验，学生经常认为牛顿第二定律中的质量 不可以为零，确实也不应当为零，但是基于比较法下 的解题实践启示我们在具体的教学中需要渗透比较 法下的辩证思维，在适当的条件下，质量是可以为 零的.
(2)
帮助学生理解和建构“质量为零”的物理模
型对于理解物理原理很有帮助.模型教学法就是基于
对基本物理现象的深度思考透过现象看本质,并将共 性的联系通过原型提炼应用于课堂的教学法，不论学 生怎么看待诸多具体的物理知识，在教师的观念中应 当树立物理模型至上的认识，因为“方法”总蕴藏在物 理模型当中，它给教学的启发是教师应当不断在课堂 中帮助学生梳理这样或那样的物理模型，通过模型的 建构过程发展学生的高阶思维.
(3) “质量为零”类问题不是什么新问题，只是为 方便物理教学研究而引入的名称，它的引入解决了物
理教学研究将该类问题简单归纳为轻杆、轻绳、轻管
等典型分类，该分类更具有统摄性，它给物理教师带 来的启发是物理教师需要善于归纳总结基本物理问 题，并努力做好梳理工作，为后继研究做好积累，服务 物理教学.
参考文献：
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王志成.也谈一个值得探讨的问题[•!].物理教师，
2005(05) ：44,
[2] 赵志栋,陈光红.轻弹簧之“困境” [J ].物理通报，2016
(05) ：98 -101.
[3] 赵坚，一个值得探讨的问题[J ].物理教师，2003 (〇7)：13,
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兼谈轻弹簧理想化模型的条件[J ].中学物理教 学参考,2019,48(17) :34-35.
[5]
赵志强.理想“轻绳”之烦恼[J ].湖南中学物理,2015,
30(08) :89 -90.
(收稿日期:2020-02 -27)
重力场中竖直方向圆雉摆的“圆碓体高皮”的分柝与启用
王丽霞
(会宁县第二中学甘肃白银73〇799)
摘要：重力场中竖直方向的圆锥摆旋转形成的“圆锥体的高度”貌似与摆长、角速度、摆球质量都有关系，想当然
其中任何一个量的变化都会导致高度的变化.实际不是这样，这个高度仅仅只与勾速圆周运动角速度的二次方成反比 一项有关，与摆长、质量均无关，圆锥摆的高度只与匀速圆周运动的角速度息息相关.
关键词：重力场；圆锥摆；圆锥体的高度；角速度
如图1所示，重力场中竖直方向的圆锥摆，悬点 为〇、摆球质量为m 、摆长为/、角速度为w 、摆角为a 、摆球轨迹圆心为圆锥体高为/；，则轨迹半径/•=
s /l 2 -h2.根据牛顿第二定律/^合=mgtana = wmu 2/"=
-h2 ,又几何三角形中 tana = + = —^ ~ ^ ,
h h
联立以上两式得g -~h2 = c u 2//2 -V ，即可得圆锥
基金项目：甘肃省教育科学“十三五”规划2017年度“ ‘深度学习’教学改进与学科教研方式转变研究”课题（课题批准号：GS
[2017]G H B 0111)成果.
作者简介：王丽霞（ 1970 -),女，甘肃会宁人，本科，中学高级教师，研究方向：
教学难点突破和实验改进.。