2019-2020学年高中数学课时跟踪检测二十圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点北师大版选修

k 的取值范围．
解：(1)设 P 点的坐标为(x，y)，
yy
3
依题意，有x－2·x＋2＝－4(x≠±2)，
x2 y2
化简并整理，得 4 ＋ 3 ＝1(x≠±2)．
x2 y2
∴动点 P 的轨迹 C 的方程是 4 ＋ 3 ＝1(x≠±2)．
( ) 1
1
，0
(2)依题意，直线 l 过点 2 且斜率不为零，故可设其方程为 x＝my＋2，联立Error!消
|FA|＝2|FB|，则 k＝( )
1
2
A.3
B. 3
2
22
C.3
D. 3
解析：选 D 将 y＝k(x＋2)代入 y2＝8x，
得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
8－4k2 设 A(x1，y1), B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ k2 ，x1x2＝4， 抛物线 y2＝8x 的准线方程为 x＝－2，
长半轴长为 2 的椭圆，它的短半轴长 b＝ 22－ 32＝1. y2
故曲线 C 的方程为 4 ＋x2＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error! 消去 y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
由根与系数的关系得
2k
3
x1＋x2＝－k2＋4，x1x2＝－k2＋4.
―OA→ ―OB→ 若 ⊥ ，则 x1x2＋y1y2＝0.
由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得 x1＋2＝2(x2＋2)，
即 x1＝2＋2x2，代入 x1x2＝4，整理得 x2＋x2－2＝0，
8－4k2
解得 x2＝1 或 x2＝－2(舍去)．所以 x1＝4， k2 ＝5，
8
22
解得 k2＝9，又因为 k>0，所以 k＝ 3 .
x2 y2 4．设 F1，F2 是双曲线 C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若
3
.
显然 x1－x2≠0，
y1－y2 3x1＋x2 ∴x1－x2＝ y1＋y2 ＝6，即 kAB＝6.
答案：6
3 6．已知点 M 到定点 F(1,0)的距离与 M 到定直线 l：x＝3 的距离的比为 3 ，则动点 M 的
轨迹方程为________．
x－12＋y2 3 解析：设 M(x，y)，则 |x－3| ＝ 3 ， ∴3(x－1)2＋3y2＝(x－3)2.
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 中点为(x0，y0)，
2n
n
则 x1＋x2＝m＋n，∴x0＝m＋n，
m
代入 y＝1－x 得 y0＝m＋n.
y0 2 m 2
由题意x0＝ 2 ，∴n＝ 2 ，选 A.
3．已知直线 y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若
8．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，－ 3)，(0， 3)的距离之和等于 4，设点
P 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； ―OA→ ―OB→
(2)设直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A，B 两点，k 为何值时 ⊥ ？此时|AB|的值是多
少． 解：(1)设 P(x，y)，由椭圆的定义知，点 P 的轨迹 C 是以(0，－ 3)，(0， 3)为焦点，
―OA→ ―OB→ ∴ ⊥ ，即 OA⊥OB.
6．在直角坐标平面内，已知点 A(2,0)，B(－2,0)，P 是平面内一动点，直线 PA，PB 斜
3 率之积为－4.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；
( ) 1 ，0 (2)过点 2 作直线 l 与轨迹 C 交于 E，F 两点，线段 EF 的中点为 M，求直线 MA 的斜率
课时跟踪检测（二十） 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点
一、基本能力达标
1．过点(2,4)作直线与抛物线 y2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：选 B 点(2,4)位于抛物线 y2＝8x 上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线
∴2x2＋3y2＝6. x2 y2
∴所求方程为 3 ＋ 2 ＝1. x2 y2
答案： 3 ＋ 2 ＝1
7．已知直线 l 与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两点，且 l 经过抛物线的焦点 的中点到准线的距离．
解：设 AB 的中点是 P，到准线的距离是|PQ|， 4
B．3 条
C．2 条
D．1 条
y2 解析：选 B 因为双曲线方程为 x2－ 4 ＝1，所以 P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过
P(1,0)并且和 x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两
条就是过 P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有 3 条．
4．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若
线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
( ) p
p
，0
解析：选 B 抛物线的焦点 F 2 ，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y＝x－2，即
( ) p
p
y＋
x＝y＋2，将其代入 y2＝2px＝2p 2 ＝2py＋p2，
y1＋y2 所以 y2－2py－p2＝0，所以 2 ＝p＝2，
有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．
x2 y2 2．若直线 kx－y＋3＝0 与椭圆16＋ 4 ＝1 有两个公共点，则实数 k 的取值范围是( )
( ) 5 5
－， A. 4 4
{ } 5 5 ，－ B. 4 4
( ) ( ) 5 5
－∞，－
，＋∞
C.
4∪4
( ) ( ) 5
55
－∞，－
所以抛物线的方程为 y2＝4x，准线方程为 x＝－1.
y2 5．已知双曲线 x2－ 3 ＝1，过 P(2,1)点作一直线交双曲线于 A，B 两点，并使 P 为 AB 的
中点，则直线 AB 的斜率为________．
解析：法一：显然直线 AB 存在斜率，
设 AB 斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 AB 方程为 y－1＝k(x－2)，由Error!
去 x，
并整理得 4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0，∴Δ>0 恒成立．
设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)，
3m
y1＋y2
3m
则 y1＋y2＝－3m2＋4，∴y0＝ 2 ＝－23m2＋4，
12
y0
m
∴x0＝my0＋2＝3m2＋4，∴k＝x0－2＝4m2＋4.
①当 m＝0 时，k＝0；
[( ) ] 5
4
12 4 65
× ± 2＋4 ×
＝4
17
17 ＝ 17 .
二、综合能力提升
x2 y2
1．过椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的焦点 F(c,0)的弦中最短弦长是( )
2b2
2a2
A. a
B. b
2c2
2c2
C. a
D. b
解析：选 A 最短弦是过焦点 F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c，y)的坐标代
|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 的最小内角为 30°，则 C 的离心率为________．
解析：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得
|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2 中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a) 2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cos 30°，整理得(e－ 3)2＝0，所以 e＝ 3.
答案： 3
5．若抛物线 y2＝4x 与直线 y＝x－4 相交于不同的两点 A，B，求证 OA⊥OB.
证明：由Error!消去 y，得 x2－12x＋16＝0.
∵直线 y＝x－4 与抛物线相交于不同两点 A，B，
∴可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 x1＋x2＝12，x1x2＝16.
―OA→ ―OB→ ∵ · ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝ x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
x2 y2
b2
2b2
入椭圆a2＋b2＝1，得 y＝± a ，故最短弦长是 a .
2．椭圆 mx2＋ny2＝1 与直线 y＝1－x 交于 M，N 两点，过原点与线段 MN 中点所在直线的
2m 斜率为 2 ，则n的值是( )
2 A. 2
92 C. 2
23 B. 3
23 D. 27
解析：选 A 由Error!消去 y 得，
－，
D.
4∪ 4 4
解析：选 C 由Error!得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，
当 Δ＝16(16k2－5)>0，
5
5
即 k> 4 或 k<－ 4 时，直线与椭圆有两个公共点．故选 C.
y2
3．已知双曲线方程为 x2－ 4 ＝1，过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则共有
L( ) A．4 条
由设题A(意x1知，点y1)F，(2B,(0x)2，，直y2)线，AB 的方程是：y＝3(x－2)， 由Error! 消去 x 得
y2＝8
( ) 3 y＋2 4 ⇒y2－6y－16＝0⇒y1＝8，y2＝－2.
∴|AB|＝
3 1＋ 2
25
4 |y1－y2|＝ 2 ，
1
25
由抛物线的定义知：|PQ|＝2|AB|＝ 4 .
1
4 4m＋ ②当 m≠0 时，k＝ m.
1
| | | | 4
4
41
1
11
4m＋
4m＋
∵ m ＝4|m|＋|m|≥8，∴0< m ≤8，∴0<|k|≤8，∴－8≤k≤8且 k≠0.
[ ] 1 1
－， 综合①②可知直线 MA 的斜率 k 的取值范围是 8 8 .
因为 y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)
＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
3 3k2 2k2
所以 x1x2＋y1y2＝－k2＋4－k2＋4－k2＋4＋1
4k2－1
1
＝－ k2＋4 ＝0，所以 k＝±2.
1
4
12
当 k＝±2时，x1＋x2＝∓17，x1x2＝－17.
所以|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
得(3－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－4＝0，
2k－4k2 ∴x1＋x2＝ 3－k2 ＝4，∴k＝6.
法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4，
y21
y2
y1＋y2＝2，且 x21－ 3 ＝1，x2－ 3 ＝1.
y1－y2y1＋y2
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝