冲刺压轴题 专题难点突破：立体几何

江苏省 高三数学一轮复习典型题专题训练
立体几何
一、填空题
1、如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲
2、如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则2
1V V 的值是 1.5 ．
3、将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得
圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 ▲ cm 2.
4、已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β；
③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β．
其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．
5、若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为 ▲ ．
6、若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3
cm ．
7、在棱长为2的正四面体P ABC 中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一
点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ．
8、如图，正四棱锥P ABCD -的底面一边AB 的长为23cm ，侧面积为283cm ，则它的体积为 3cm
.
9、各棱长都为2的正四棱锥的体积为 ▲ ．
10、现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形
铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1S ,2S ,则12
S S 的值为 ▲ ． 11、已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 6 ，则正四棱锥的体积为
12、如图，在正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，3cm AB =，
11cm AA =，则三棱锥D 1–A 1BD 的体积为 ▲ 3cm ．
13、将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ▲ ．
14、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为
15、一个长方体的三条棱长分别为983,,，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为 ．
二、解答题
1、在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．
求证：（1）AB ∥平面11A B C ；
（2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
2、如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：
（1）EF ∥平面ABC ；
（2）AD ⊥AC ．
3、如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，
1111AC A B ⊥.
求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；
（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .
4、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：
（1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1；
（2）A 1C //平面AB 1E ．
5、如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点．
（1）求证: 平面PBC ⊥平面ABC ；
（2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长．
6、如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥平面ABCD ,//BC 平面PAD ,PBA ∆为锐角三角形，且 PB BC ⊥.
求证：(1) //AD 平面PBC ；
(2)平面PBC ⊥平面PAB .
7、如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11A C ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.
求证：（1）1//B M 平面1A BN ；
（2）AD ⊥平面1A BN .
8、如图，在直四棱柱P ABCD -中,90ADB ∠=，
CB CD =．点E 为棱PB 的中点.
（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥；
（2）求证：CE //平面PAD ．
9、如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC .
（1）若,AB BC CP PB ⊥⊥，求证：CP PA ⊥；
（2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ⊥平面PBC .
10、如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，
//,22,AD BC AD AB BC M ==为边AD 的中点，1CB ⊥底面ABCD .
（1）求证：1//C M 平面11A ABB ；
（2）平面1B BM ⊥平面1ACB .
11、如图，在三棱锥S ABC -中，SA SC =，AB AC ⊥，D 为BC 的中点，E 为AC 上一点，且//DE 平面SAB ．
求证：（1）直线//AB 平面SDE ；
（2）平面ABC ⊥平面SDE ．
12、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为
平行四边形，11C B C D =．
求证：（1）11B D ∥平面1C BD ；
（2）平面1C BD ⊥平面11AAC C ．
13、 如图，在直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， D 为 BC 中点， AB = AC , BC 1 ⊥ B 1D
求证：（1） A 1C // 平面ADB 1
（2）平面 A 1BC 1 ⊥ ADB 1
14、 如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1=3，∠BAD =120°．
（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；
（2）求二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值．
15、 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD ＝1．
（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为π3
，求BC 的长； （2）求二面角B －PD －A 的余弦值．
16、
如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，//EF BC ，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=，O 为EF 的中点.
（1）求二面角F AE B --的正弦值；
（2）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值.
17、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，
2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.
（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；
（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ PA
的值. 18、 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，且112
PA AB BC AD ====，PA ⊥平面ABCD .
（1）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
(2) 棱PD 上是否存在一点E 满足90AEC ∠=︒?若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由. 19、 如图，在三棱锥A BOC -中，,,OA OB OC 两两垂直，点,D E 分别为棱,BC AC 的中点，F 在
棱AO 上，且满足1
4
OF OA =，已知4,2OA OC OB ===.
（1）求异面直线AD 与OC 所成角的余弦值；
（2）求二面角C EF D --的正弦值.
参考答案
一、填空题
1、43
2、2
3 3、18π 4、①③ 5、6π 6、
433 7、29 8、4 9、423 10、25 11、83 12、32 13、16π3
14、5π 15、3
二、解答题
1、证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1⊂平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
2、【解答】证明：（1）∵AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，∴AB∥EF，
又∵EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，
∴由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，
∵BC⊥BD，∴FG⊥BC，
又∵平面ABD⊥平面BCD，
∴FG⊥平面ABD，∴FG⊥AD，
又∵AD⊥EF，且EF∩FG=F，
∴AD⊥平面EFG，∴AD⊥EG，
故AD⊥AC．
3、
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C
又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面
所以11AC ⊥平面11ABB A
因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥
又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面
所以111C F B D A ⊥平面
因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面 4、证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．
因为AE ⊂平面ABC ，
所以CC 1⊥AE ． ……………2分
因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ． 因为BC ⊂平面B 1BCC 1，CC 1⊂平面B 1BCC 1， 且BC ∩CC 1＝C ，
所以AE ⊥平面B 1BCC 1． ………………5分 因为AE ⊂平面AB 1E ，
所以平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1. ……………………………7分
（2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，
所以F 为A 1B 的中点． ……………………………9分 又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C ． ……………………………11分 因为EF ⊂平面AB 1E ，A 1C ⊄平面AB 1E ，
所以A 1C ∥平面AB 1E . ……………………………14分 5、（1）证明：如图1，连结PE ．
因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PE ⊥BC ， ……………………2分 且PE ＝3，同理AE ＝3．
因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2，所以PE ⊥AE ．……4分 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC ⊂平面ABC ， 所以PE ⊥平面ABC ． 因为PE ⊂平面PBC ，
所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……………………7分 （2）解法一
如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．
因为PD ∥平面AEM ，PD ⊂平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ， 所以PD ∥OM ， …………………………………9分 所以PM PC ＝DO
DC ． …………………………11分 因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ， 所以O 为∆ABC 重心，所以DO DC ＝1
3，
所以PM ＝13PC ＝2
3． …………………………14分
解法二
如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点， 所以DN ∥AE ．
P
A
M D
E
C B
N
又DN ⊄平面AEM ，AE ⊂平面AEM ， 所以DN ∥平面AEM ．
又因为PD ∥平面AEM ，DN ⊂平面PDN ，PD ⊂平面PDN ，DN ∩PD ＝D ， 所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，
所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NE
NC ． ………………………………11分 因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，
所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝2
3． ………………………………14分
6、
7、证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =， 又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形
1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，
所以1//B M 平面1A BN ；
（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，
BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，
正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，
所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥，
由题意，16AA =，2AC =，1AN =，
6
3CD =，所以
13
2
AA AN AC CD ==， 又12
A AN ACD π
∠=∠=
，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，
所以1ANA CAD ∠+∠112
ANA AA N π
=∠+∠=，
则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，
所以AD ⊥平面1A BN . 8、
9、（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC⋂平面ABC BC
=，
⊥，所以AB⊥平面PBC.
AB⊂平面ABC，AB BC
因为CP⊂平面PBC，所以CP AB
⊥
又因为CP PB
⊥，且PB AB B
⋂=，PB⊂平面PAB，
所以CP⊥平面PAB，
又因为PA⊂平面PAB，所以CP PA
⊥.
（2）在平面PBC内过点P作PD BC
⊥，垂足为D.
因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC⋂平面ABC BC
=,
PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC.
又l⊥平面ABC，所以//
l PD.
又l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，//
l平面PBC.
10、
11、（1）因为//DE 平面SAB ，DE ⊂平面ABC ，
平面SAB 平面ABC AB =，所以//DE AB ． ·················································3分 因为DE ⊂平面SDE ，AB ⊄平面SDE ， 所以//AB 平面SDE ． ···························································································6分
（2）因为D 为BC 的中点，//DE AB ，所以E 为AC 的中点． 又因为SA SC =，所以SE AC ⊥， ············································································8分
又AB AC ⊥，//DE AB ，所以DE AC ⊥． ···························································10分
,DE SE ⊂平面SDE ，DE
SE E =， 所以AC ⊥平面SDE ． ···························································································12分 因为AC ⊂平面ABC ，
所以平面ABC ⊥平面SDE ． ····················································································14分 12、
13、解析：(1) 设A 1B ∩AB 1＝E. 因为ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱，
所以AA 1B 1B 为矩形，所以E 为A 1B 的中点．(1分)
因为D 为BC 的中点，所以DE 为△BA 1C 的中位线，(2分) 所以DE ∥A 1C ，且DE ＝1
2
A 1C.(3分)
因为A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1，(5分) 所以A 1C ∥平面ADB 1.(7分)
(2) 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC.(8分)
因为ABCA 1B 1C 为直三棱柱， 所以BB 1⊥平面ABC.
因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.(9分)
因为BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B ，BC ∩BB 1＝B ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1.(10分)
因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥BC 1.(11分)
因为BC 1⊥B 1D ，AD ⊂平面ADB 1，B 1D ⊂平面ADB 1，AD ∩B 1D ＝D ， 所以BC 1⊥平面ADB 1.(13分) 因为BC 1⊂平面A 1BC 1，
所以平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.(14分) 14、【解答】解：在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ， ∵AA 1⊥平面ABCD ，AD 、Ax ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，
以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．
∵AB =AD =2，AA 1=3，∠BAD =120°，
∴A （0，0，0），B （3，-1，0），C （3，1，0）， D （0，2，0），
A 1（0，0，3），C 1（3，1，3）．
B A 1=（3，-1，-3），1A
C =（3，1，3），DB =（3，-3，0），1DA =（0，-2，3）． （1）∵cos （B A 1，1AC ）=
|
|||1111AC B A AC B A ⋅=7
1
-
， ∴异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为
7
1； （2）设平面BA 1D 的一个法向量为x n (=，y ，)z ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
1DA n DB n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-032033z y y x ，取3=x ，得3(=n ，1，)332； 取平面A 1AD 的一个法向量为=m （1，0，0）， ∴cos （m ，n ）=
||||n m n
m ⋅=
4
3
；
∴二面角B ﹣A 1D ﹣A 的余弦值为
4
3
，则二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为47)43(12=-．
15、解：（1）以{→AB ，→AD ，→
AP }为单位正交基底，建立如图所示的空
间直角坐标系A －xyz ．
因为AP ＝AB ＝AD ＝1，
所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)． 设C (1，y ，0)，
则→PB ＝(1，0，－1)，→
CD ＝(－1，1－y ，0)．
…………………………2分
因为直线PB 与CD 所成角大小为π
3，
所以|cos ＜→PB ，→
CD ＞|＝|→PB ⋅→CD ∣→PB ∣⋅∣→
CD ∣|＝12，
即
12×1＋(1－y )
2＝1
2，解得y ＝2或y ＝0（舍）， 所以C (1，2，0)，
所以BC 的长为2． ………………………5分 （2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．
因为→PB ＝(1，0，－1)，→
PD ＝(0，1，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧→PB ⋅n 1＝0，→PD ⋅n 1＝0，
即⎩⎨⎧x －z ＝0，y －z ＝0．
令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． ………………………7分 因为平面P AD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝
n 1⋅n 2∣n 1∣⋅|n 2∣＝3
3
，
所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为
3
3
． ………………………10分 16、【解】因为AEF ∆是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO EF ⊥， 又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF
平面EFCB EF =，AO ⊂平面AEF ，
所以AO ⊥平面EFCB ，
又BE ⊂平面EFCB ，所以AO EB ⊥， 取BC 的中点G ，连结OG ，
由题设知四边形EFCB 是等腰梯形，所以OG EF ⊥，
由AO ⊥平面EFCB ，又GO ⊂平面EFCB ，所以AO GO ⊥， ………………………2分 建立如图所示空间直角坐标系，
则(,0,0)E a ，(0,0,3)A a ，(2,3(2),0)B a -，(,0,3)EA a a =-，(2,3(2),0)BE a a =--，
设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =，
则0,0,n EA n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,(2)3(2)0.ax az a x a y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩
令1z =，则3x =，1y =-，于是(3,1,1)n =-，
又平面AEF 的一个法向量为(0,1,0)p =，设二面角F AE B --为θ，
所以5cos 5n p n p n p
⋅==-
，
，225
sin 1cos 5
θθ=-=， 所以二面角的正弦值为
25
5
；………………………………………………………………6分 （2）因为BE ⊥平面AOC ，所以BE OC ⊥，即=0BE OC ⋅，
因为(2,3(2),0)BE a a =--，(2,3(2),0)OC a =--，所以22(2)3(2)BE OC a a ⋅=----， 由0BE OC ⋅=及02a <<，解得4
3
a =
.…………………………………………10分 17、解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ； 所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，
设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100
DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得20
0x y z
+=⎧⎨=⎩
，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，
111cos ,n CQ
n CQ n CQ ⋅<>=353t t
=⨯155=， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为
155. （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PA
λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的
法向量2(,,)n x y z =，则2200
DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，
由题意得2122
1()cos ,3n n -=<>12
12n n n n ⋅=2225(1)5(1)(22)()λλλλ-=-+-+-，
所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03
λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23
PQ PA =. 18、解：（1）依题意，以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -， 则()()()()0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,2,0P B C D ，从而()()()1,0,1,1,1,1,0,2,1PB PC PD =-=-=-. 设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =,则0n PC ⋅=，且0n PD ⋅=，
即0a b c +-=，且20b c -=，不妨取2c =，则1,1b a ==，
所以平面PCD 的一个法向量()1,1,2n =, 此时12
3cos ,626PB n -==-
⨯，
所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为36
；
z y x F D E A O C B （第22题）
（2）设()01PE PD λλ=≤≤，则()0,2,1E λλ-
则()()1,21,1,0,2,1CE AE λλλλ=---=-，
由90AEC ∠=︒得()()222110AE CE λλλ⋅=-+-=，
化简得，25410λλ-+=，该方程无解，
所以，棱PD 上不存在一点E 满足90AEC ∠=︒.
19、（1）如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得：(0,0,0)O ，(0,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，(1,2,0)D ，(0,2,2)E ，
(0,0,1)F ·
··········································································2分 所以，(1,2,4)AD =-，(0,4,0)OC =
于是8AD OC ⋅=，||21AD = ，||4OC =，
所以，8221cos ,21||||421
AD OC AD OC AD OC ⋅<>===. ···························4分 （2）平面AOC 的一个法向量为(2,0,0)OB =.
设(,,)x y z =m 为平面DEF 的一个法向量，
又(0,2,1),(1,0,2)EF DE =--=-， 则0,0,EF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,20.
y z x z +=⎧⎨-=⎩ 不妨取2z = ，则4,1x y ==-， 所以(4,1,2)=-m 为平面DEF 的一个法向量，·
·····················································7分 从而(2,0,0)(4,1,2)421cos ,21||||221
OB OB OB ⋅⋅-<>===⨯m m m , 设二面角C EF D --的大小为θ，则421|cos |21
θ=
. 因为[0,]θ∈π，所以2105sin 1cos 21θθ=-=. 因此二面角C EF D --的正弦值为
10521 . ····························································10分。