苏教版七年级上册数学 压轴解答题培优测试卷

苏教版七年级上册数学 压轴解答题培优测试卷
一、压轴题
1．已知：b 是最小的正整数，且a 、b 、c 满足()2
50c a b -++=，请回答问题． (1)请直接写出a 、b 、c 的值．
a =
b =
c =
(2)
a 、
b 、
c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子：1
125x x x (请写出化简过程)．
(3)在(1)(2)的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
2．（阅读理解）如果点M ，N 在数轴上分别表示实数m ，n ，在数轴上M ，N 两点之间的距离表示为MN m n(m n)=->或MN n m(n m)=->或m n -．
利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A 与点B 的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B 在点A 的右侧，点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．
()1点A 表示的数为______，点B 表示的数为______．
()2用含t 的代数式表示P 到点A 和点C 的距离：PA =______，PC =______．
()3当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒4个单位的速度向C 点运动，Q 点到
达C 点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A ，在点Q 开始运动后，P 、Q 两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P 表示的数；如果不能，请说明理由．
3．点A 、B 在数轴上分别表示数,a b ，A 、B 两点之间的距离记为AB ．我们可以得到
AB a b =-：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ；数轴上表示1和a 的两点之间的距离是 ．
（2）若点A 、B 在数轴上分别表示数-1和5，有一只电子蚂蚁在数轴上从左向右运动，设电子蚂蚁在数轴上的点C 对应的数为c ．
①求电子蚂蚁在点A 的左侧运动时AC BC +的值，请用含c 的代数式表示； ②求电子蚂蚁在运动的过程中恰好使得1
511c c ，c 表示的数是多少？
③在电子蚂蚁在运动的过程中，探索15c c 的最小值是 ．
4．一般情况下
2323
a b a b ++=+是不成立的，但有些数可以使得它成立，例如：0a b ．我们称使得2323
a b a b
++=
+成立的一对数,a b 为“相伴数对”，记为(),a b ． （1）若()1,b 为“相伴数对”，试求b 的值；
（2）请写出一个“相伴数对”(),a b ，其中0a ≠，且1a ≠，并说明理由； （3）已知(),m n 是“相伴数对”，试说明91,4m n ⎛⎫
⎪⎝+⎭
-
也是“相伴数对”． 5．已知线段AB ＝m （m 为常数），点C 为直线AB 上一点，点P 、Q 分别在线段BC 、AC 上，且满足CQ ＝2AQ ，CP ＝2BP ．
（1）如图，若AB ＝6，当点C 恰好在线段AB 中点时，则PQ ＝ ；
（2）若点C 为直线AB 上任一点，则PQ 长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C 在点A 左侧，同时点P 在线段AB 上（不与端点重合），请判断2AP+CQ ﹣2PQ 与1的大小关系，并说明理由．
6．点O 在直线AD 上，在直线AD 的同侧，作射线OB OC OM ，，平分AOC ∠． （1）如图1，若40AOB ∠=，60COD ∠=，直接写出BOC ∠的度数为 ，
BOM ∠的度数为 ；
（2）如图2，若1
2
BOM COD ∠=
∠，求BOC ∠的度数； （3）若AOC ∠和AOB ∠互为余角且304560AOC ∠≠，，，ON 平分BOD ∠，试画出图形探究BOM ∠与CON ∠之间的数量关系，并说明理由．
7．已知：点O 为直线AB 上一点，90COD ∠=︒ ，射线OE 平分AOD ∠，设
COE α∠=．
（1）如图①所示，若25α=︒，则BOD ∠= ．
（2）若将COD ∠绕点O 旋转至图②的位置，试用含α的代数式表示BOD ∠的大小，并说明理由；
（3）若将COD ∠绕点O 旋转至图③的位置，则用含α的代数式表示BOD ∠的大小，即
BOD ∠= ．
（4）若将COD ∠绕点O 旋转至图④的位置，继续探究BOD ∠和COE ∠的数量关系，则用含α的代数式表示BOD ∠的大小，即BOD ∠= ．
8．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”.
图1
图2
备用图
（1）如图1，在线段AB 外有一点C ，现在利用尺规作图验证“两点之间线段最短”，
AB AC CB <+.请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤.
第一步，以A 为圆心，AC 为半径作弧，交线段AB 于点M ，则AC =_____________；
第二步，以B 为圆心，BC 为半径作弧，交线段AB 于点N ，则BC =_____________； 则AC BC +=______________+_______________AB =+_______________ 故：AB AC CB <+.
（2）如图2，在直线l 上，从左往右依次有四个点O ，E ，O '，F ，且4OE EO '==，10EF =.现以O 为圆心，半径长为r 作圆，与直线l 两个交点中右侧交点记为点P .再以O '
为圆心；相同半径长r 作圆，与直线l 两个交点中左侧交点记为点Q .若P ，Q ，F 三点中，有一点分另外两点所连线段之比为1:2，求半径r 的长.
9．如图，A 、B 、C 三点在数轴上，点A 表示的数为10-，点B 表示的数为14，点C 为线段AB 的中点.动点P 在数轴上，且点P 表示的数为x .
（1）求点C 表示的数；
（2）点P 从点A 出发，向终点B 运动.设BP 中点为M .请用含x 的整式表示线段MC 的长.
（3）在（2）的条件下，当x 为何值时，2AP CM PC -=？ 10．如图1，点A ，B ，C ，D 为直线l 上从左到右顺次的4个点．
(1) ①直线l 上以A ，B ，C ，D 为端点的线段共有 条；
②若AC =5cm ，BD =6cm ，BC =1cm ，点P 为直线l 上一点，则PA +PD 的最小值为 cm ；(2)若点A 在直线l 上向左运动，线段BD 在直线l 上向右运动，M ，N 分别为AC ，BD 的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD ，BC ，MN 有何数量关系并说明理由； (3)若C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，E ，F 两点同时从C ，D 出发，分别以2cm/s ，1cm/s 的速度沿直线l 向左运动，Q 为EF 的中点，设运动时间为t ，当AQ+AE+AF=
3
2
AD 时，请直接写出t 的值． 11．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC ＝30°，将一直角三角板
（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．
①求t的值；
②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．
12．设A、B、C是数轴上的三个点，且点C在A、B之间，它们对应的数分别为x A、x B、x C．
（1）若AC＝CB，则点C叫做线段AB的中点，已知C是AB的中点．
①若x A＝1，x B＝5，则x c＝；
②若x A＝﹣1，x B＝﹣5，则x C＝；
③一般的，将x C用x A和x B表示出来为x C＝；
④若x C＝1，将点A向右平移5个单位，恰好与点B重合，则x A＝；
（2）若AC＝λCB（其中λ＞0）．
①当x A＝﹣2，x B＝4，λ＝1
3
时，x C＝．
②一般的，将x C用x A、x B和λ表示出来为x C＝．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）-1；1；5；（2）2x+12；（3）不变，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；
（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2． 【详解】
解：（1）∵b 是最小的正整数，∴b=1． 根据题意得：c-5=0且a+b=0， ∴a=-1，b=1，c=5． 故答案是：-1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0， 则：|x+1|-|x-1|+2|x+5| =x+1-（1-x ）+2（x+5） =x+1-1+x+2x+10 =4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0． ∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5） =x+1-x+1+2x+10 =2x+12；
（3）不变．理由如下：
t 秒时，点A 对应的数为-1-t ，点B 对应的数为2t+1，点C 对应的数为5t+5． ∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t ）=3t+2， ∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，
即BC-AB 值的不随着时间t 的变化而改变． 【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．（1）2412--；
；（2）2t ；362t -；（3）P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226
,33
． 【解析】 【分析】
()1因为点A 在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A 表示数24-；点B 在点A 右侧且与点A 的距离为12个单位长度，故点B 表示：241212-+=-；()2因为点P
从点A 出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C 运动，则t 秒后点P 表示数
242t(0t 18-+≤≤，令242t 12-+=，则t 18=时点P 运动到点C)，而点A 表示数
24-，点C 表示数12，所以()PA 242t 242t =-+--=，
PC 242t 12362t =-+-=-；()3以点Q 作为参考，则点P 可理解为从点B 出发，设点
Q 运动了m 秒，那么m 秒后点Q 表示的数是244m -+，点P 表示的数是122m -+，再分两种情况讨论：①点Q 运动到点C 之前；②点Q 运动到点C 之后．
()1设A 表示的数为x ，设B 表示的数是y ．
x 24=，x 0<
∴x 24=- 又
y x 12-=
y 241212.∴=-+=-
故答案为24-；12-．
()2由题意可知：
t 秒后点P 表示的数是()242t 0t 18-+≤≤，点A 表示数24-，点C
表示数12
()PA 242t 242t ∴=-+--=，PC 242t 12362t =-+-=-．
故答案为2t ；362t -．
()3设点Q 运动了m 秒，则m 秒后点P 表示的数是122m -+．
①当m 9≤，m 秒后点Q 表示的数是244m -+，则
()PQ 24m 4m 122m 2=-+--+=，解得m 5=或7，
当m=5时，-12+2m=-2， 当m=7时，-12+2m=2， ∴此时P 表示的是2-或2；
②当m 9>时，m 秒后点Q 表示的数是()124m 9--，
则()()PQ 124m 9122m 2=----+=， 解得2931m 33
或=， 当m=293时，-12+2m=223， 当m=
313时，-12+2m=263
， 此时点P 表示的数是
2226
33
或． 答：P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226
,33
． 【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．（1）3，3，1a -；（2）①42c -；②72-或15
2
；③6 【解析】
（1）根据两点间的距离公式解答即可；
（2）①根据两点间的距离公式可得AC 与BC 的值，然后根据绝对值的性质化简绝对值，进一步即可求出结果；
②分电子蚂蚁在点A 左侧、在点A 、B 之间和在点B 右侧三种情况，先根据两点间的距离和绝对值的性质化简绝对值，再解方程即可求出答案； ③代数式1
5c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之和，
于是可确定当15c -≤≤时，代数式15c c 取得最小值，据此解答即可．
【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是523-=； 数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是()()253---=； 数轴上表示1和a 的两点之间的距离是1a -； 故答案为：3，3，1a -； （2）①∵电子蚂蚁在点A 的左侧，
∴11AC c c =--=--，55BC c c =-=-， ∴1542AC BC c c c +=--+-=-；
②若电子蚂蚁在点A 左侧，即1c <-，则10c +<，50c -<， ∵1
511c c ，
∴()()1511c c -+--=，解得：72
c =-
； 若电子蚂蚁在点A 、B 之间，即15c -≤≤，则10c +>，50c -<， ∵1
511c c ，
∴15611c c ++-=≠，故此种情况不存在；
若电子蚂蚁在点B 右侧，即5c >，则10c +>，50c ->， ∵1
511c c ，
∴()()1511c c ++-=，解得：152
c =； 综上，c 表示的数是72-或152
； ③∵代数式15c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之
和，
∴当15c -≤≤时，代数式15c c 的最小值是()516--=，
即代数式15c c 的最小值是6．
故答案为：6．
本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的化简和应用以及简单的一元一次方程的解法等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 4．（1）94b =-；（2）92,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭（答案不唯一）；（3）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据“相伴数对”的定义，将()1,b 代入2323
a b a b
++=+，从而求算答案； （2）先根据“相伴数对”的定义算出a 、b 之间的关系为：94a b =-，满足条件即可；
（3）将将,a m b n == 代入
2323a b a b ++=+得出4
9m n ，再将4
9
m n 代入91,4m n ⎛
⎫ ⎪⎝+⎭-得到491,94n n -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭
，分别去计算等式左右两边，看是否恒等即可． 【详解】
解：（1）∵()1,b 为“相伴数对”，将()1,b 代入
2323
a b a b
++=+得： 112323
b b ++=+ ，去分母得：()151061b b +=+ 解得：94
b =- （2）
2323
a b a b ++=+化简得：94a b =- 只要满足这个等量关系即可，例如：92,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（答案不唯一） （3）∵(),m n 是“相伴数对” 将,a m b n == 代入2323
a b a b ++=+： ∴
2323
m n m n ++=+ ，化简得：49
m n 将49m
n 代入91,4m n ⎛
⎫ ⎪⎝+⎭-得到：491,9
4n n -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭
将：491,94
a n
b n =-
+=- 代入2323a b a b
++=+
左边=49
149942336
n n n -+--+
=
右边=
49
149
94
2336
n n n
-++-
-
=
+
∴左边=右边
∴当(),m n是“相伴数对”时，
9
1,
4
m n
⎛⎫
⎪
⎝
+
⎭
-也是“相伴数对”
【点睛】
本题考查定义新运算，正确理解定义是解题关键．
5．（1）4；（2）PQ是一个常数，即是常数
2
3
m；（3）2AP+CQ﹣2PQ＜1，见解析．【解析】
【分析】
（1）根据已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；
（2）由题意根据已知条件AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP进行分析即可；（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系．
【详解】
解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ＝2
3
AC，CP＝
2
3
BC，
∵点C恰好在线段AB中点，
∴AC＝BC＝1
2
AB，
∵AB＝6，
∴PQ＝CQ+CP＝2
3
AC+
2
3
BC＝
2
3
×
1
2
AB+
2
3
×
1
2
AB＝
2
3
×AB＝
2
3
×6＝4；
故答案为：4；
（2）①点C在线段AB上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ＝2
3
AC，CP＝
2
3
BC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ+CP=2
3
AC+
2
3
BC＝
2
3
×（AC+BC）＝
2
3
AB=
2
3
m；
②点C在线段BA的延长线上：
∵CQ ＝2AQ ，CP ＝2BP ，
∴CQ ＝
23AC ，CP ＝2
3
BC ， ∵AB ＝m （m 为常数），
∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝23BC ﹣23AC ＝23×（BC ﹣AC ）＝23AB ＝2
3
m ；
③点C 在线段AB 的延长线上：
∵CQ ＝2AQ ，CP ＝2BP ， ∴CQ ＝
23AC ，CP ＝2
3
BC ， ∵AB ＝m （m 为常数）， ∴PQ ＝CQ ﹣CP ＝
23AC ﹣23BC ＝23×（AC ﹣BC ）＝23AB ＝2
3
m ； 故PQ 是一个常数，即是常数2
3
m ； （3）如图：
∵CQ ＝2AQ ， ∴2AP+CQ ﹣2PQ ＝2AP+CQ ﹣2（AP+AQ ） ＝2AP+CQ ﹣2AP ﹣2AQ ＝CQ ﹣2AQ ＝2AQ ﹣2AQ ＝0，
∴2AP+CQ ﹣2PQ ＜1． 【点睛】
本题主要考查线段上两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
6．（1）80°，20°；（2）90°；（3）当030AOB <∠<时，45BOM CON ∠+∠=；当
3090AOB <∠<，45CON BOM ∠-∠=，理由见解析
【解析】 【分析】
（1）利用平角的定义、角平分线的定义和角的和差即可得出结论 （2）设AOM COM x ∠=∠=，再根据已知1
2
BOM COD ∠=∠得出∠BOM=90°-x ， 再利用BOC BOM COM ∠=∠+∠即可得出结论
（3）分030AOB <∠<，3090AOB <∠<两种情况加以讨论 【详解】
解：（1）∵∠AOB=40°，∠COD=60°
∴∠BOC=180°-∠AOB -∠COD=80°,∠AOC=180°-∠COD =120° ∵OM 平分∠AOC ∴∠AOM=60°
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB =20° 故答案为：80°，20° （2）
∵OM 平分∠AOC
∴设AOM COM x ∠=∠=，则1802COD x ∠=- ∵1
2
BOM COD ∠=∠ ∴()
1
1802902
BOM x x ∠=
-=- ∴9090BOC BOM COM x x ∠=∠+∠=-+= （3）
当030AOB <∠<时，即OB 在OM 下方时 设AOB x ∠= ∴90AOC x ∠=-
∴1452AOM x ∠=-
∴13
454522BOM x x x ∠=--=-
∴11
9022
DOA DOB x ∠==-.
∴13
909022
CON DOC DON x x x ∠=∠-∠=+-+= ∴45BOM CON ∠+∠=
②当3090AOB <∠<，即OB 在OM 上方时
设AOB x ∠= ∴90AOC x ∠=- ∴1452
AOM x ∠=- ∴3
452
BOM x ∠=
- ∴1809090DOC x x ∠=-+=+， ∵ON 平分BOD ∠，
∴119022DON BOD x ∠=
∠=- ∴3
2
CON x ∠=
∴45CON BOM ∠-∠= 【点睛】
本题考查角的相关计算，难度适中，涉及角平分线的定义和邻补角相加等于180°的知识点；同时，里面的小题从易到难，体现了分类讨论的数学思想． 7．（1）50；（2）2BOD α∠=；（3）2α；（4）3602α︒- 【解析】 【分析】
（1）根据“∠COD=90°，∠COE=25°”求出∠DOE 的度数，再结合角平分线求出∠AOD 的度数，即可得出答案；
（2）重复（1）中步骤，将∠COE 的度数代替成α计算即可得出答案；
（3）根据图得出∠DOE=∠COD-∠COE=90°-
α，结合角平分线的性质以及平角的性质计算即可得出答案；
（4）根据图得出∠DOE=∠COE-∠COD=
α-90°，结合角平分线的性质以及平角的性质计算即可得出答案. 【详解】
解：（1）∵∠COD=90°，∠COE=25° ∴∠DOE=∠COD-∠COE=65° 又OE 平分∠AOD ∴∠AOD=2∠DOE=130° ∴∠BOD=180°-∠AOD=50° （2）∵∠COD=90°，∠COE=α
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-
α 又OE 平分∠AOD ∴∠AOD=2∠DOE=180°-2?α
∴∠BOD=180°-∠AOD=2
α （3）∵∠COD=90°，∠COE=α
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-
α 又OE 平分∠AOD ∴∠AOD=2∠DOE=180°-2?α
∴∠BOD=180°-∠AOD=2
α （4）∵∠COD=90°，∠COE=α
∴∠DOE=∠COE-∠COD=
α-90° 又OE 平分∠AOD ∴∠AOD=2∠DOE=2?α-180°
∴∠BOD=180°-∠AOD=360°-2
α 【点睛】
本题考查的是求角度，难度适中，涉及到了角平分线以及平角的性质需要熟练掌握. 8．（1）作图见解析；AM ；BN ；AM ； BN ；MN （2）6、10、2
3
、34. 【解析】 【分析】
（1）根据尺规作图的步骤按步骤进行操作，根据线段的数量关系进行判断即可. （2）根据题目中的线段间的关系，分类进行讨论，分别为当P 点在Q 、F 之间时，当Q 点在P 、F 之间时，当F 点在P 、Q 之间时，分别根据线段间的数量关系求解即可. 【详解】 解：如图：
（1）第一步，以A 为圆心，AC 为半径作弧，交线段AB 于点M ，则AC =AM ； 第二步，以B 为圆心，BC 为半径作弧，交线段AB 于点N ，则BC =BN ； 则AC BC +=AM +BN AB =+MN 故：AB AC CB <+.
（2）
当P 点在QF 之间，①PF=2QP 时， ∵'OE EO ==4，
∴'8OO =, ∵OP=r, ∴'8PO r =-， 同理可得OQ=8-r
∴QP=()()''88828OO OQ PO r r r --=----=- ∵'6O F =, ∴PF=8-r+6=14-r ， 2（2r-8）=14-r, 解得：r=6.
②PQ=2PF
∵'4,'6OE O E O F ===, ∴OF=14， ∵OP=r ， ∴PF=14-r, ∵'O Q OP r ==, ∴OQ=r-8 ∴8OQ r =-， 同理'8r O P =- ∴QP=8+2×（8-r ）=24-2r ∴24-2r=14-r 解得r=10.
当Q 点在中间时，即QF=2PQ
∵'OE EO ==4， ∴'8OO =, ∵'OP O Q r ==, ∴PQ=8-2r ， QF=6+r 6+r=8-2r
∴r=
23
. 当F 点在Q 、P 之间，QF=2FP 时
∵'OE EO ==4， ∴'8OO =, ∵'OP O Q r ==, ∴FP=r-OF=r-14， QF=r+6， ∴r+6=2（r-14）， 解得r=34 故答案是：6、10、2
3
、34. 【点睛】
本题考查了尺规作图，根据线段关系求线段的长度，解决本题的关键是正确理解题意，根据题意分类进行讨论探究. 9．（1）2；（2）52x MC =+；（3）当2
5
x =-或6x =时，有2AP CM PC -=成立. 【解析】 【分析】
（1）根据中点的定义，即可求出点C 的坐标；
（2）先表示出点M 的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC 的长度； （3）分别求出AP ，MC 和PC 的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x 的值. 【详解】
解：（1）点A 表示的数为10-，点B 表示的数为14， ∴线段AB=14(10)24--=， ∴点C 表示的数为：142422-÷=； （2）根据题意， 点M 表示的数为：
142
x +， ∴线段MC 的长度为：142522
x x
+-=+； （3）根据题意，
线段AP 的长度为：10x +， 线段MC 的长度为：52
x +
，
线段PC 的长度为：2x -， ∵2AP CM PC -=， ∴10(5)222
x x x +-+=-， 整理得：15242
x x -=
+， ①当点P 在点C 的左边时，2x <，则20x ->， ∴15242
x x -=
+， 解得：2
5
x =-
； ②当点P 与点C 重合时，2x =， ∴
15
042
x +=， 解得：10x =-（不符合题意，舍去）； ③当点P 在点C 的右边时，2x >，则20x -<， ∴15
242
x x -=
+， 解得：6x =. ∴当2
5
x =-或6x =时，有2AP CM PC -=成立. 【点睛】
本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离. 10．(1) ①6条；②10；(2)11
22
MN AD BC =-，证明见解析；(3) 1t =. 【解析】 【分析】
（1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA +PD 最小，即P 为AD 的中点，求出AD 的长即可；
(2) 根据M ，N 分别为AC ，BD 的中点，得到1
2MC AC =
，12
BN BD =，利用MN MC BN BC =+-代入化简即可；
(3) 根据C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，得到3AC =，6CD =，并可得到2EC t =，FD t =，6
2t EQ +=，代入AQ+AE+AF=32
AD ，化简则可求出t . 【详解】
解：(1) ①线段有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6条； ②∵BD =6，BC =1，
∴CD=BD-BC=6-1=5，
当PA +PD 的值最小时，P 为AD 的中点， ∴5510PA PD AD AC CD +==+=+=； (2)11
22
MN AD BC =
-. 如图2示：
∵M ，N 分别为AC ，BD 的中点， ∴1
2MC AC =
，12
BN BD = ∴MN MC BN BC =+-
11
22AC BD BC =+- ()1
2
AC BD BC =+- ()1
2
AB BC BD BC =++- 11
22
AD BC =
-； (3)如图示：
∵C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ， ∴3AC =，6CD =，
根据E ，F 两点同时从C ，D 出发，速度是2cm/s ，1cm/s ，Q 为EF 的中点，运动时间为t ， 则有：2EC t =，FD t =，6
222
EF AD AE FD t EQ --+=== 当AQ+AE+AF=
3
2
AD 时， 则有：3
2
AE EQ AE AD FD AD +++-= 即是：()()69
32329922
t t t t +-++-+-=⨯ 解之得：1t =. 【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程．11．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC平分∠POQ；
（3）t＝70
3
秒．
【解析】
【分析】
（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t 值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；
（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；（3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解．
【详解】
（1）①∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,
∵OP平分∠BOC，
∴∠COP＝1
2
∠BOC＝75°,
∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,
∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°, t＝15÷3＝5；
②是，理由如下：
∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，
∴OQ平分∠AOC；
（2）∵OC平分∠POQ，
∴∠COQ＝1
2
∠POQ＝45°．
设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，
由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，解得：t＝5，
当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，
解得：t＝65，
∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；
（3）设经过t秒后OC平分∠POB，
∵OC平分∠POB，
∴∠BOC ＝
1
2
∠BOP ， ∵∠AOQ +∠BOP ＝90°， ∴∠BOP ＝90°﹣3t ，
又∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣30°﹣6t ， ∴180﹣30﹣6t ＝
1
2
（90﹣3t ）， 解得t ＝
703
． 【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键. 12．（1）①3；②-3；③2A B x x +；④-1.5；（2）①421λλ-+；②
11λ+x A +1+λ
λ
x B ． 【解析】 【分析】
（1）①②分别按所给的关系式及点在数轴上的位置，计算即可；③根据①②即可得到答案；
④根据平移关系用x A +5表示出x B ，再按③中关系式计算即可； （2）①根据AC ＝λCB ，将x A ＝﹣2，x B ＝4，λ＝1
3
代入计算即可； ②根据AC ＝λCB ，变形计算即可． 【详解】
（1）C 是AB 的中点， ①∵x A ＝1，x B ＝5，
∴x c ＝
51
2
+＝3， 故答案为：3；
②∵x A ＝﹣1，x B ＝﹣5，
∴x C ＝
51
2
--＝﹣3 故答案为：﹣3；
③ x C ＝2
A
B
x x +, 故答案为：2
A B
x x +；
④∵将点A 向右平移5个单位，恰好与点B 重合， ∴x B ＝x A +5， ∴x C ＝
2A B x x +＝5
2
A A x x ++＝1，
∴x A＝﹣1.5
故答案为：﹣1.5；
（2）①∵AC＝λCB，x A＝﹣2，x B＝4，λ＝1
3
，
∴x C﹣（﹣2）＝λ（4﹣x C）∴（1+λ）x C＝4λ﹣2,
∴x C＝42 1
λ
λ
-
+
,
故答案为：42
1
λ
λ
-
+
；
②∵AC＝λCB
∴x C﹣x A＝λ（x B﹣x C）∴（1+λ）x C＝x A+λx B
∴x C＝
1
1λ
+
x A+
1
λ
λ
+
x B
故答案为：
1
1λ
+
x A+
1
λ
λ
+
x B．
【点睛】
此题考查是线段类规律题，通过探究得出数轴上两点间的任意点的坐标的规律，正确理解题意是解题的关键.。