2020版 江苏 步步高二轮数学板块一

一、数学抽象、直观想象
素养1数学抽象
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表达.
例1(1)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，当该药物在病人血液中的量低于500 mg时，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射
该药物的时间不能超过________小时．(精确到0.1)
(参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)
答案7.2
解析病人注射药物2 500 mg，经过x个小时后，该药物在病人血液中的量为
2 500×(1－20%)x＝2 500×0.8x(mg)，
令2 500×0.8x≥500，
∴0.8x≥0.2，
∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调减函数，
∴x≤7.2，
∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
(2)2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修．为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5 000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5 000元后的余额．
某企业员工2018年10月份的税后工资为14 660元，则该员工10月份的工资为________元．答案15 500
解析根据题意，设该员工10月份的工资为x元，
分析可得0.03×3 000＋0.1(x－8 000)＝x－14 660，解得x＝15 500，
故该员工10月份的工资为15 500元．
1．甲、乙两船，甲船在海岛B的正南方向A处，AB＝10 海里，向正北方向以4 海里/时的速度航行，同时乙船以6 海里/时的速度从海岛B出发，向北偏西60°的方向驶去，则________分钟后两船之间的距离最近．(精确到1分钟)
答案21
解析设t小时后两船之间的距离为s海里，如图所示．
则BC＝6t，AD＝4t，BD＝10－4t，
在△BCD中，由余弦定理得
s2＝CD2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)×cos 120°＝28t2－20t＋100，
时，s最小，即两船最近．
所以当t＝5
14
所以514×60＝150
7
≈21(分钟)后两船之间的距离最近．
2．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物________吨． 答案 20
解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400
x 万元，
一年的总存储费用为x 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为400
x
＋x ≥2
400x
·x ＝40，当且仅当400
x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次
应购买该种货物20吨．
素养2 直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路.
例2 (1)(2018·江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
答案 43
解析 由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥＝2×13×(2)2×1＝43.
(2)如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高为________．
答案 5
解析 ∵球形容器表面积的最小值为30π， ∴球形容器的半径的最小值为r ＝
30π4π＝30
2
， ∴两个正四棱柱并在一起构成的长方体的体对角线长为30， 设正四棱柱的高为h ， ∴12＋22＋h 2＝30， 解得h ＝5.
3.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1＝1.点E，F分别为棱B1C1，C1C的中点，P是侧面BCC1B1内一动点，且满足PE⊥PF.则当点P运动时，HP2的最小值是________．
答案27－6 2
解析连结EF，
因为PE ⊥PF ，所以点P 在以EF 为直径的圆上． 如图，以EF 为直径在平面BCC 1B 1内作圆． 该圆的圆心为EF 的中点M ， 半径r ＝ 2.
过点H 引BB 1的垂线，垂足为G ，连结GP ，则HG ＝4. 在Rt △HGP 中，HP 2＝HG 2＋GP 2＝16＋GP 2， 因此当GP 最小时，HP 取得最小值． 因为点G 到圆心M 的距离为3， 所以GP 的最小值为3－ 2.
所以HP 2的最小值为(3－2)2＋16＝27－6 2.
4．定长为4的线段MN 的两端点在抛物线y 2＝x 上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为________． 答案 74
解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，抛物线y 2＝x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫14，0，抛物线的准线方程为x ＝－14，所求的距离d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x 1＋x 22＝x 1＋14＋x 2＋1
42－14＝MF ＋NF 2－14，所以MF ＋NF 2－14≥MN 2－14＝74(M ，
N ，F 三点共线时取等号)．
经验证，M ，N ，F 三点可共线，等号可取到．
二、逻辑推理、数学运算
素养3 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳推理、类比推理；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要是演绎推理.
例3 (1)“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋1x ＋sin x －a 2为奇函数”的________条件．(填“充分不
必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要
解析 当a ＝1时，f (x )＝1
x ＋sin x ，此时f (x )为奇函数；
又当a ＝－1时，f (x )＝1
x
＋sin x ，f (x )仍为奇函数．
故a ＝1是函数f (x )＝x ＋1
x ＋sin x －a 2为奇函数的充分不必要条件．
(2)(2019·江苏)如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．
答案 5
解析 执行算法流程图，x ＝1，S ＝12，不满足条件；x ＝2，S ＝3
2，不满足条件；x ＝3，S ＝3，
不满足条件；x ＝4，S ＝5，满足条件，结束循环，故输出的S 的值是5.
5.如图是一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________．
答案 n 2－2n ＋3
解析 观察首尾两数都是1,3,5,7，…，可知第n 行的首尾两数均为2n －1. 设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，
则有a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2n －3，
∴上式相加，得a n －a 2＝3＋5＋7＋…＋(2n －3)＝3＋2n －3
2×(n －2)＝n (n －2)，
∴a n ＝3＋(n －2)n ＝n 2－2n ＋3.
6．甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次．甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是第一名”．成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为________． 答案 甲
解析 当甲获得第一名时，甲、乙、丙说的都是错的，丁说的是对的，符合条件； 当乙获得第一名时，甲、丙、丁说的都是对的，乙说的是错的，不符合条件； 当丙获得第一名时，甲、丁说的是对的，乙、丙说的是错的，不符合条件； 当丁获得第一名时，甲、乙说的是对的，丙、丁说的是错的，不符合条件．
素养4 数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：
理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.
例4 (1)(2018·江苏)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝
⎩⎨⎧
cos πx
2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪
x ＋12，－2＜x ≤0，
则f (f (15))的值为________．
答案
22
解析 由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的周期是4，所以f (15)＝f (－1)＝
⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22
.
(2)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝0.设g (x )＝cos 2x
＋m sin x －2m ，集合
M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪⎪
∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )<0，集合
N ＝
⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪
∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，f (g (x ))<0，则M ∩N ＝________________.
答案 {m |m >4－22}
解析 易得f (1)＝－f (－1)＝0， 所以由f (x )<0，得x <－1或0<x <1，
由此N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪⎪
∀x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2，g (x )<－1或0<g (x )<1， 所以M ∩N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪⎪
∀x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2，g (x )<－1， 即∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m <－1恒成立， 即1－sin 2x ＋m sin x －2m ＋1<0， 所以sin 2x －m sin x ＋2m －2>0. 令t ＝sin x ∈[0,1]，
则t 2－mt ＋2m －2>0对t ∈[0,1]恒成立，
所以m >⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2－t 22－t max .
令2－t ＝s ∈[1,2]，
所以2－t 22－t
＝2－(2－s )2s ＝－s 2＋4s －2
s
＝4－⎝⎛⎭⎫s ＋2
s ≤4－22，(当且仅当s ＝2时，等号成立) 所以M ∩N ＝{m |m >4－22}．
7．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若cos β＝－13，sin(α＋β)＝7
9，则sin α＝________. 答案 1
3
解析 由cos β＝－13，sin(α＋β)＝7
9，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 可得sin β＝223，cos(α＋β)＝－42
9
，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭
⎫－429×223＝1
3.
三、数学建模、数据分析
素养5 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.
例5 (1)有浓度为a %的酒精一满瓶共m 升，每次倒出n (n <m )升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________． 答案 ⎝⎛⎭
⎫1－n
m 10a % 解析 第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为⎝⎛⎭
⎫1－n
m ×a %， 第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为⎝⎛⎭⎫1－n m ×⎝⎛⎭⎫1－n m ×a %＝⎝⎛⎭⎫1－n
m 2×a %， 依次可得第x 次加满水后，瓶中酒精的浓度为⎝⎛⎭⎫1－n
m x ×a %(x ∈N *)． 故加了10次水后瓶中的酒精浓度是⎝⎛⎭
⎫1－n
m 10a %. (2)某音乐喷泉喷射的水柱呈抛物线形，它在每分钟内随时间t (s)的变化规律大致可用y ＝ －⎝⎛⎭⎫1＋4sin 2 t π60x 2＋20⎝⎛⎭⎫sin t π
60x (t 为时间参数，x 的单位为m)来描述．其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴．
①试求此喷泉喷射的水在地面上形成圆形的半径的最大值；
②若计划在一建筑物前修建一个矩形花坛，并在花坛内装两个这样的喷水器(如图所示)，如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
解 ①当y ＝0时，x ＝20sin
t π601＋4sin 2 t π60＝20
sin －1
t π60＋4sin
t π60
(x ＝0舍去)，
因为当t ∈(0,60)时，sin t π
60
∈(0,1]， 故sin －1
t π60＋4sin t π
60≥4， 从而当sin
t π60＝1
2
， 即t ＝10或t ＝50时，x 取得最大值5. 所以此喷泉喷射的圆形的半径的最大值为5 m. ②设花坛的长、宽分别为a m ，b m ，
根据要求，可知矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界． 由题意得⎝⎛⎭⎫a 42＋⎝⎛⎭⎫b 22
＝25(a >0，b >0)，
则问题转化为在a >0，b >0，a 24＋b 2
＝100的条件下，求S ＝ab 的最大值．
因为S ＝ab ＝2·a 2·b ≤a 2
4
＋b 2＝100，
当且仅当⎩⎨⎧
a
2
＝b ，a
2
4＋b 2
＝100
及a >0，b >0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝102，
b ＝52时， S 取得最大值100.
故当花坛的长为10 2 m ，宽为5 2 m ，且两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心时符合要求．
8．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金5 300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________年．(参考数据：lg 1.08≈0.03，lg 5.3≈0.73，lg 7≈0.84) 答案 2022
解析 设开始超过7 000万元的年份是n ， 则5 300×(1＋8%)n －2018＞7 000， 化为(n －2018)lg 1.08＞lg 7－lg 5.3， n －2018>0.84－0.730.03
≈3.7.
取n ＝2022.因此开始超过7 000万元的年份是2022年．
素养6数据分析
数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程.主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型对信息进行分析、推断，获得结论.
例6(1)为了解某种新型材料的功能，产品研究所测试了2 000件产品在高强度下试用一段时间后的某项指标在[20,90]内，按指标在[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]进行分组，得到指标取值的频率分布直方图如图所示．
则在试用后指标值在[40,70)内的产品件数为______________________________．
答案900
解析由频率分布直方图可得，(0.025＋0.015＋x＋0.015＋0.010＋0.010＋0.005)×10＝1，解得x＝0.020，所以试用后指标值在[40,70)内的频率为10×(0.020＋0.015＋0.010)＝0.45，相应的产品件数为2 000×0.45＝900.
(2)某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：
现知道A ，B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，则xy ＝________. 答案 72
解析 x A ＝1
5(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，
x B ＝1
5(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )，
由x A ＝x B ，得x ＋y ＝17，① s 2A ＝15(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1， s 2B ＝15
[4＋(x －8)2＋0.25＋0.25＋(y －8)2]， 由s 2A ＝s 2B
，得(x －8)2＋(y －8)2＝1，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝9，y ＝8，
所以xy ＝72.
9．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语口语测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则甲、乙两组数据的方差较小的是________．
答案 乙
解析 由题意可知，甲组数据的平均数为 9＋12＋(10＋x )＋24＋27
5＝17，
解得x ＝3；
而乙组数据的中位数为10＋y ＝17，解得y ＝7，
所以乙组数据的平均数为9＋15＋17＋18＋26
5
＝17.
所以甲组数据的方差为1
5[(9－17)2＋(12－17)2＋(13－17)2＋(24－17)2＋(27－17)2]＝50.8，
乙组数据的方差为1
5[(9－17)2＋(15－17)2＋(17－17)2＋(18－17)2＋(26－17)2]＝30.
因为50.8>30，所以乙组数据的方差较小．
10．高三年级上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]．估计该班级数学成绩的平均分等于________．
答案114
解析根据频率分布直方图得，
该班级数学成绩的平均分是
x＝80×0.005×20＋100×0.015×20＋120×0.02×20＋140×0.01×20＝114.。