平面向量习题

,[学生用书P 79])
考题溯源——平面向量的线性运算
(2014·高考福建卷)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四
边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →
等于( )
A.OM → B ．2OM →
C ．3OM →
D ．4OM →
[解析] 因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，
由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →
.
[答案] D
[考题溯源] 本考题是由教材人教A 必修4 P 92第11题“已知▱ABCD 的对角线AC 和
BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，用向量a 、b 分别表示向量OC →，OD →，DC →，BC →
.”改编而成．
1.(2013·高考四川卷改编)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点
O ，AB →＋AD →＝λAO →
，则λ＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
解析：选B.由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →
.
又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →
， ∴AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →
，∴λ＝2.
2．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13
(AB →＋AC →
)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )
A ．2
B ．3 C.32
D ．6 解析：选B.由AP →＝13
(AB →＋AC →)，得3AP →＝AB →＋AC →
，
AP →＋(AP →－AB →)＋(AP →－AC →
)＝0.
所以PB →＋PC →＋PA →
＝0，P 是△ABC 的重心． 所以△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为3.
1．给出下列命题：
(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； (3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；
(4)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选C.(1)错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；
(2)正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；
(3)错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；
(4)错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 2．(2015·福建四地六校联考)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一
点，且2 OP →＝2 OA →＋BA →
，则( )
A ．点P 在线段A
B 上
B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
解析：选B.因为2 OP →＝2 OA →＋BA →，所以2 AP →＝BA →
，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.
3. 如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3 DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →
＝( )
A ．a ＋34b B.14a ＋3
4b
C.14a ＋14b
D.34a ＋14
b 解析：选B.∵CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3 DC →
， ∴CD →＝14CB →＝1
4
(a －b )，
∴AD →＝AC →＋CD →
＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34
b .
4．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →
.其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C.①式的等价式是AB →－BC →＝DA →－CD →，左边＝AB →＋CB →，右边＝DA →＋DC →
，不
一定相等；②式的等价式是AC →－BC →＝AD →－BD →，AC →＋CB →＝AD →＋DB →＝AB →
成立；③式的等价
式是AC →－DC →＝AB →＋BD →，AD →＝AD →
成立．
5. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14
AC
→
＋λAB →
(λ∈R )，则AD 的长为( )
A ．2 3
B ．3 3
C ．4 3
D ．5 3
解析：选B.
因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝3
4，如图，过点D 分别作AC ，AB
的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34
AB →
，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.
6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →
＋OC →＝OB →＋OD →
，则四边形ABCD 的形状为________．
解析：∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →
， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →
，BA 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：平行四边形
7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3 NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝________(用a ，b 表示)．
解析：由AN →＝3 NC →，得4AN →＝3AC →
＝3(a ＋b )，
AM →
＝a ＋12
b ，
所以MN →＝3
4(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14
b . 答案：－14a ＋1
4
b
8．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2
3
BC .
若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →
＝－16AB →＋23
AC →，
所以λ1＝－16，λ2＝2
3，
故λ1＋λ2＝1
2.
答案：12
9. 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.
解：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12
b .
AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13
(BA →＋BC →)
＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13
b . 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．
(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →
＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；
(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →
＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．
解：(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →
＝3e 1＋2e 2， CD →
＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →
＝4e 1＋e 2
＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，
∴AC →与CD →
共线．
又∵AC →与CD →
有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →
＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2， ∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)， 得⎩
⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ， 解得λ＝32，k ＝4
3.
、、、、
,[学生用书P 82])
方法思想——求向量中的范围、最值问题(解析法)
给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →
，它们的夹角为2π3
.如图所示，点
C 在以O 为圆心的AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →
，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．
[解] 以O 为坐标原点，OA →
所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A (1，0)，B ⎝⎛⎭
⎫－12，3
2.
设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣
⎡⎦⎤0，2π
3，则C (cos α，sin α)，
由OC →＝xOA →＋yOB →，
得⎩
⎨⎧cos α＝x －1
2
y
sin α＝3
2
y
；
所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝23
3
sin α，
所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣
⎡⎦⎤0，2π
3，所以当α＝π3时，x ＋y
取得最大值2.
[名师点评] 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．
已知|a |＝|b |＝2，a ⊥b ，若向量c 满足|c －a －b |＝2，求|c |的取值范围．
解：因为a ⊥b ，不妨令a ＝(0，2)，b ＝(2，0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝2，
得(x －2)2＋(y －2)2＝4，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(2，2)为圆心，2为半径的圆上．
如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时到原点的距离最远， 而PO ＝OA －2＝22－2，P ′O ＝OA ＋2＝22＋2，所以22－2≤|c |≤22＋2.
1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →
＝( )
A ．b －12a
B ．b ＋1
2
a
C ．a ＋1
2
b
D ．a －1
2b
解析：选A.BE →＝BA →＋AD →＋DE →
＝－a ＋b ＋12a ＝b －12
a .
2.(2015·宁夏质检)如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：
①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →
.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．③④
解析：选B.AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，而DA →与BC →共线，OD →与OB →
共线，由平面向量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．
3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( )
A ．(3，－1)
B ．(－1，－3)
C ．(－3，－1)
D ．(－1，3) 解析：选D.∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)， ∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)， 故向量c 可以是(－1，3)．
4．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →
同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭
⎫－45，35 解析：选A.AB →＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，则|AB →|＝32＋（－4）2＝5.与AB →
同方向的
单位向量为AB →
|AB →|＝1
5
(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45.
5. (2015·长春模拟)设向量OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP →
|∶|PB →|＝2，则OP →
＝( )
A.13e 1－23e 2
B.23e 1＋13e 2
C.13e 1＋23e 2
D.23e 1－13
e 2 解析：选C.由题意知AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →，OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13
AB →＝OB
→
－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23
e 2. 6．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．
解析：AB →＝(a －1，3)，AC →
＝(－3，4)，
据题意AB →∥AC →
，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，
∴a ＝－5
4.
答案：－5
4
7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ
→
＝(1，5)，则BC →
＝________．
解析：AQ →＝PQ →－P A →
＝(－3，2)， ∴AC →＝2AQ →
＝(－6，4)． PC →＝P A →＋AC →
＝(－2，7)， ∴BC →＝3PC →
＝(－6，21)． 答案：(－6，21) 8．(2015·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1，1)＋m (1，2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2，3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．
解析：P 中，a ＝(－1＋m ，1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{(－13，－23)}
9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．
(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？
(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →
＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，
即2k －4＋5＝0，得k ＝－1
2
.
(2)法一：∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，
即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.
法二：AB →
＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →
＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )． ∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →∥BC →.
∴8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，
∴m ＝32.
10.(2015·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点
B 的对称点，D 是将OB →
分为2∶1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →
；
(2)若OE →＝λOA →
，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23
OB →
.
由平行四边形法则， 得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b ，
DC →＝OC →－OD →
＝(2a －b )－23b ＝2a －53
b .
(2)如题图，EC →∥DC →
.
又∵EC →＝OC →－OE →
＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，
DC →
＝2a －53
b ，
∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45
.
、、、、、、、、
,[学生用书P 85])
交汇创新——平面向量与线性规划的交汇
(2013·高考安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →
，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4 2
D ．4 3
[解析] 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知OA →，OB →
＝π3
.
当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，
在△OAB 中，取OC →＝λOA →
，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作DE ∥OA 交OB 于点
E ，显然OD →＝λOA →＋CD →.由于CD OB ＝AC AO ，CD OB ＝2－2λ2
，∴CD →＝(1－λ)OB →
，
∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →
，∴λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上， ∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．
考虑|λ|＋|μ|≤1的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，
其面积为S ＝4S △OAB ＝4×1
2×2×2sin π3
＝4 3.
[答案] D
[名师点评] 由平面向量的模与数量积求解夹角考查了应用意识，由平面向量的分解考查了抽象概括能力和推理能力．
已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，
若OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →
的最大
值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )
A ．1 B.1
3
C.14
D.18 解析：选D.
因为OA →＝(x ，1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →
＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，
解得a ＝1
8，故选D.
1．(2014·高考山东卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ). 若向量a ，b 的夹角为π
6
，则
实数m ＝( )
A ．2 3
B ． 3
C ．0
D ．－ 3 解析：选B.∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，
又a ·b ＝12＋（3）2×32＋m 2×cos π
6
，
∴3＋3m ＝12＋（3）2×32＋m 2×cos π
6
，∴m ＝ 3.
2．(2015·云南省第一次统一检测)设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )
A ．－72
B ．－12
C.32
D.52
解析：选D.a ＋2b ＝(－1＋2m ，4)，2a －b ＝(－2－m ，3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2
－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52
. 3．(2013·高考福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →
＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10
解析：选C.∵AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →
，∴S 四边形ABCD ＝12
|AC
→|·|BD →|＝1
2
×5×25＝5.
4．(2015·湖南长沙模拟)关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a·b ＝a·c ，则a ＝0或b ＝c ；
②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)且a ⊥b ，则k ＝1
3
；
③非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°.其中所有真命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 解析：选C.若a·b ＝a·c ，则a ·(b －c )＝0，可得a ＝0或b ＝c 或a ⊥(b －c )，即命题①不
正确；若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)且a ⊥b ，则a·b ＝－2＋6k ＝0，得k ＝1
3
，即命题②正确；
非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则可得出一个等边三角形，且a 与a ＋b 的夹角为30°，即命题③正确，综上可得真命题有2个．
5．在△ABC 中，AC →·AB
→
|AB →|＝1，BC →·BA →|BA →|
＝2，则AB 边的长度为( )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．9
解析：选B.由题意画示意图，如图，AC →·AB →
|AB →|
＝1表示AC →在AB →
上的投影
为1，即AD 的长为1，BC →·BA →|BA →|
＝2表示BC →在BA →
上的投影为2，即BD 的长
为2，故AB 边的长度为3.
6．(2014·高考重庆卷)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．
解析：∵a ＝(－2，－6)，
∴|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210， ∴a ·b ＝210×10cos 60°＝10. 答案：10
7．(2015·昆明市第一次调研)在△ABC 中，B ＝90°，AB ＝BC ＝1，点M 满足BM →＝2AM →
，
则CM →·CA →
＝________．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，因为BM →＝2AM →
，故点A 是BM
的中点．依题意C (1，0)，A (0，1)，M (0，2)，则CA →＝(－1，1)，CM →
＝(－1，
2)，所以CM →·CA →
＝(－1)×(－1)＋1×2＝3.
答案：3
8．(2015·山西省第三次四校联考)圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →
，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →
方向上的投影为________．
解析：∵AB →＋AC →＝2AO →
，∴O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，
有|OA →|＝|AC →|，∴∠B ＝30°.由定义知，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →
|cos B ＝23×
32
＝3.
答案：3
9．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.
(1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；
(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?
解：由已知得，a·b ＝4×8×⎝⎛⎭
⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a ＋b |＝4 3.
②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768.
∴|4a －2b |＝16 3.
(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，
∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0，
k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，
即16k －16(2k －1)－2×64＝0.∴k ＝－7.
即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．
10．已知a ＝(1，2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°.
(1)求b ；
(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .
解：(1)∵a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，
∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22
，∴3n 2－16n －12＝0(n >1)． ∴n ＝6或n ＝－23
(舍去)，∴b ＝(－2，6)． (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.
又∵c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)．
∵(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，
∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12
. ∴c ＝12
b ＝(－1，3)．
1．已知AB →，AC →是非零向量，且满足(AB →－2AC →)⊥AB →，(AC →－2AB →)⊥AC →，则△ABC 的形
状为( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选C.∵(AB →－2AC →)⊥AB →⇒(AB →－2AC →)·AB →＝0，即AB →·AB →－2AC →·AB →＝0.
(AC →－2AB →)⊥AC →⇒(AC →－2AB →)·AC →＝0，即AC →·AC →－2AB →·AC →＝0，∴AB →·AB →＝AC →·AC
→＝2AB →·AC →，即|AB →|＝|AC →|，而cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|
＝12， ∴∠A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
2．(2014·高考浙江卷)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩
⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )
A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}
B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}
C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2
D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2
解析：选D.由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.
3．单位圆上三点A ，B ，C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则向量OA →，OB →的夹角为________．
解析：∵A ，B ，C 为单位圆上三点，
∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，
又OA →＋OB →＋OC →＝0，
∴－OC →＝OB →＋OA →，
∴OC →2＝(OB →＋OA →)2＝OB →2＋OA →2＋2OB →·OA →，可得cos 〈OA →，OB →〉＝－12
，∴向量OA →，OB →的夹角为120°.
答案：120°
4．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f(x)＝λx(λ∈R ，且λ≠0)．若|a |＝|b |且a ，b 不共线，则[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝________；若A (1，2)，B (3，6)，
C (4，8)，且f (BC →)＝AB →，则λ＝________．
解析：[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )·(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝0；BC →＝(1，2)，AB →＝(2，4)，又
f (BC →)＝AB →，则λBC →＝AB →，λ＝2.
答案：0 2
5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1，0)．
(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；
(2)设α＝π4
，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 解：(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，
则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)．
∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，
即0≤|b ＋c |≤2.
当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2，
∴向量b ＋c 的长度的最大值为2.
法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.
当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2，0)，
即|b ＋c |＝2，
∴向量b ＋c 的长度的最大值为2.
(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.
∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，
即cos(α－β)＝cos α.
由α＝π4，得cos ⎝⎛⎭
⎫π4－β＝cos π4， 即β－π4＝2k π±π4
(k ∈Z )， ∴β＝2k π＋π2
或β＝2k π，k ∈Z ， 于是cos β＝0或cos β＝1.
法二：若α＝π4，则a ＝⎝⎛⎭
⎫22，22. 又由b ＝(cos β，sin β)，
c ＝(－1，0)得a ·(b ＋c )＝⎝⎛⎭⎫22
，22·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，
即cos β＋sin β＝1，∴sin β＝1－cos β，
平方后化简得cos β(cos β－1)＝0，
解得cos β＝0或cos β＝1.
经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．
6．(选做题)已知向量a ＝(mx 2，－1)，b ＝⎝⎛⎭
⎫1mx －1，x (m 是常数)，且f (x )＝1a ·b . (1)若f (x )是奇函数，求m 的值；
(2)设函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2－x 2，讨论当实数m 变化时，函数g (x )的零点个数．
解：(1)由题意知，a ·b ＝mx 2mx －1－x ＝x mx －1
，所以f (x )＝mx －1x ＝m －1x . 由题设，对任意的不为零的实数x ，都有f (－x )＝－f (x )，即m ＋1x ＝－m ＋1x
恒成立，所以
m ＝0.
(2)由(1)知，g (x )＝m －2x －x 2，则g (x )＝0⇔x 2－2mx ＋4＝0，Δ＝4(m 2－4)．
所以当m >2或m <－2时，函数g (x )有两个零点；
当m ＝±2时，函数g (x )有一个零点；
当－2<m <2时，函数g (x )没有零点．。