模块素养评价

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模块素养评价
(120分钟150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.张先生打算第二天从本地出发到上海,查询得知一天中从本地到上海的动车有4列,飞机有3个航班,且无其他出行方案,则张先生从本地到上海的出行方案共有( )
A.7种
B.12种
C.14种
D.24种
【解析】选A.根据题意,从本地到上海的动车有4列,飞机有3个航班,若坐动车,有4种方案,若坐飞机,有3种方案,故一共有4+3=7种不同的出行方案.
2.的展开式中的常数项为( )
A.240
B.-240
C.480
D.-480
【解析】选A.的通项公式为T r+1=·(x2)6-r=·x12-3r(-2)r,
令12-3r=0,可得r=4,
则展开式的常数项为(-2)4=240.
3.已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则P(1≤X≤3)等于( )
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.7
【解析】选C.由概率之和等于1可知a=0.2,
所以P(1≤X≤3)=0.1+0.2+0.3=0.6.
4.已知具有线性相关关系的两个变量x,y之间的一组数据如表:
x 0 1 2 3 4
y 2.2 n 4.5 4.8 6.7
若回归直线方程是=0.95x+2.6,则下列说法不正确的是( )
A.n的值是4.3
B.变量x,y呈正相关关系
C.若x=6,则y的值一定是8.3
D.若x的值增加1,则y的值约增加0.95
【解析】选C.==2,==,
所以样本点的中心为,代入=0.95x+2.6,得=0.95×2+2.6,解得n=4.3.故A正确;因为y关于x的线性回归方程为=0.95x+2.6,所以变量x,y 呈正相关关系,故B正确;若x=6,则求得=8.3,但不能断定y的值一定是8.3,故C 错误;若x的值增加1,则y的值约增加0.95,故D正确.
5.已知随机变量ξ服从正态分布N(10,0.2),且P(ξ>3a-2)=P(ξ<2a+7),则
a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.3
【解析】选D.因为随机变量ξ服从正态分布N(10,0.2),所以正态分布曲线的对称轴为x=10,又P(ξ>3a-2)=P(ξ<2a+7),所以3a-2+2a+7=10×2,即a=3.
6.假设2个分类变量X和Y的2×2列联表如下:
y1y2总计
x1 a 10 a+10
x2 c 30 c+30
总计a+c 40 100
对于同一样本,以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是( ) A.a=40,c=20 B.a=45,c=15
C.a=35,c=25
D.a=30,c=30
【解析】选B.根据2×2列联表和独立性检验的关系知,当b,d一定时,与
相差越大,X与Y有关系的可能性就越大;即a,c相差越大,与就相差越大;选项B中a-c=45-15=30,与其他选项比较相差最大.
7.现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”,用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”,B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”,则P(B|A)=( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由已知P(A)===;P(AB)===,则
P(B|A)===.
8.有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,有如下几种变量:①X表示取出的最大号码;②Y 表示取出的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数,这四种变量中服从超几何分布的是( )
A.①②
B.③④
C.①②④
D.①②③④
【解析】选B.超几何分布取出某个对象的结果数不定,也就是说超几何分布的随机变量为实验次数,即指某事件发生n次的试验次数,由此可知③④服从超几何分布.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件,则下列结论正确的有( )
A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种
C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有+种
D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有-种
【解析】选ACD.根据题意,若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品,即抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,则合格品的取法有种,不合格品的取法有种,则恰好有1件是不合格品的取法有种取法;则A正确,B错误;
若抽出的3件中至少有1件是不合格品,有2种情况,①抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,有种取法,②抽出的3件产品中有1件合格品,2件不合格品,有种取法,
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有+种,C正确;
也可以使用间接法:在100件产品中任选3件,有种取法,其中全部为合格品的取法有种,
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有-种取法,D正确.
10.对于二项式(n∈N*),以下判断正确的有( )
A.对任意n∈N*,展开式中有常数项
B.存在n∈N*,展开式中有常数项
C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项
【解析】选BD.二项式的展开式的通项为T r+1=(x5)r =x7r-2n,
由7r-2n=0,得r=,即当n=7k,k∈N*时,展开式中存在常数项,A错误,B正确;
由7r-2n=1,得r=,即当2n+1=7k,n=,k∈N*时,展开式中存在x的一次项,D正确,C错误.
11.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有( )
A.q=0.1
B.E(X)=2,D(X)=1.4
C.E(X)=2,D(X)=1.8
D.E(Y)=5,D(Y)=7.2
【解析】选ACD.由离散型随机变量X的分布列的性质得q=1-0.4-0.1-0.2- 0.2=0.1,
E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,
D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,
因为离散型随机变量Y满足Y=2X+1,
所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2.
12.随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的有( )
A.每次出现正面向上的概率为0.5
B.第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.25
C.出现n次正面向上的概率为0.510
D.出现n次正面向上的概率为0.5n
【解析】选AC.随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次,对于A,每次出现正面向上的概率都是0.5,故A正确;对于B,第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.5,故B错误;对于C,出现n次正面向上的概率为×0.5n×0.510-n=0.510,故C正确;D错误.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.多项式(2x+1)3(x+2)2=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,则a1=________.
【解析】多项式(2x+1)3(x+2)2=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,则(2x+1)3中,x3的系数为23=8,x2的系数为22=12,(x+2)2中,x的系数为4,x2的系数为1,所以
a1=8×4+12×1=44.
答案:44
14.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得表格中的数据,
X 6 8 10 12
Y 2 3 5 6
请根据表格中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程:________.
【解析】
=(6+8+10+12)=9,=(2+3+5+6)=4,x i y i=158,=344,=(x i y i-4)÷(-4)==0.7,
=-=4-0.7×9=-2.3,
所以回归直线方程为=0.7x-2.3.
答案:=0.7x-2.3
15.某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况,随机抽取国内、国外各100名客户代表,了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度,得到如图所示的等高条形图,则________(填“能”或“不能”)有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关.
P(χ2≥xα) 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
附χ2=.
【解析】根据题目所给数据得到如下2×2的列联表:
乐观不乐观总计
国内代表60 40 100
国外代表40 60 100
总计100 100 200
得χ2==8>6.635,
所以有99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关.
答案:能
16.如果一个整数的各位数字是左右对称的,则称这个数是对称数.例:
1 234 321,123 321等.显然,2位数的对称数有9个,即11,22,33,…,99,则三位数的对称数有________个,2n+1(n∈N*)位数的对称数有________个.
【解析】根据题意,对于三位数的对称数,其百位和个位数字相同,都不能为0,有9种选法,其十位数字可以为任意的数字,有10种选法,则三位数的对称数有9×10=90个,对于2n+1(n∈N*)位数的对称数,其首位和个位数字相同,都不能为0,有9种选法,倒数第2位数字到第n+1位数字都可以为任意的数字,有10种选法,则2n+1(n∈N*)位数的对称数有9×10n个.
答案:909×10n
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有的有理项.
【解析】因为前三项的系数为1,,,且它们成等差数列,所以2×
=1+,
即n2-9n+8=0.所以n=8或n=1(舍去).
所以通项为=·()8-r·=··.所以展开式中的有理项仅在4-为整数时成立,又3与4互质,故r是4的倍数.
又因为0≤r≤8,所以r=0,4,8.所以展开式中的有理项是T1=x4,T5=x,T9=.
18.(12分)(1)某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系,组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病毒潜伏期的相关信息,其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同,60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占,60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占,若研究得到有99%的把握认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关,现设被统计的60岁以上的人员人数为5x,请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少有多少人?
潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计
60岁以下
60岁以上5x
合计
附1:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)某地区的新冠肺炎治愈人数y(人)与3月份的时间x(日)满足经验回归方程=x+,统计数据如下:
3月日期(日) 2 3 4 5 6
治愈人数(人) 25 30 40 45 t
已知=y i=40,=90,x i y i=885,请利用所给数据求t和经验回归方程=x+.
附2:=,=-.
【解析】(1)因为被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同, 60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占,60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占,
由被统计的60岁以上的人员人数为5x,
填写2×2列联表如下;
潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计
60岁以
x 4x 5x
下
60岁以
3x 2x 5x
上
合计4x 6x 10x
计算χ2===,
因为有99%的把握认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关,所以≥6.635,5x ≥19.905,
所以被统计的60岁以上的人员人数至少为20人.
(2)由统计数据如下表,
3月日期(日) 2 3 4 5 6
治愈人数(人) 25 30 40 45 t
且=y i=40,=90,
x i y i=885,由=40,得t=40×5-25-30-40-45=60,
所以===8.5,
=-=40-8.5×4=6;
所以y关于x的经验回归方程为=8.5x+6.
19.(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
箱产量<50 箱产量≥50
kg kg
旧养殖法
新养殖法
附:
P(χ2≥x
α)
0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
χ2=.
【解析】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”,由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),
则旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,
故P(B)的估计值为0.62,
新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×
5=0.66,
故P(C)的估计值为0.66,
则事件A的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.62×0.66=0.409 2,
所以A发生的概率为0.409 2.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表:
箱产量<50
kg 箱产量≥50
kg
总计
旧养殖法62 38 100
新养殖法34 66 100
总计96 104 200
则χ2=≈15.705>6.635=x0.01,
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
20.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如表:
作物产量(kg) 400 500
概率0.6 0.4
作物市场价格(元/kg) 5 6
概率0.5 0.5
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列(利润=产量×市场价格-成本);
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中的利润都在区间(1 200,1 600)的概率.
【解析】(1)设A表示事件“作物产量为400 kg”,B表示事件“作物市场价格为5元/kg”,
由题设知,P(A)=0.6,P(B)=0.5,
因为利润=产量×市场价格-成本,
所以X的所有可能取值为:
400×5-1 000=1 000,400×6-1 000=1 400,
500×5-1 000=1 500,500×6-1 000=2 000.
P(X=1 000)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3,
P(X=1 400)=P(A)P()=0.6×(1-0.5)=0.3,
P(X=1 500)=P()P(B)=0.4×0.5=0.2,
P(X=2 000)=P()P()=0.4×0.5=0.2.
所以X的分布列为:
X 1 000 1 400 1 500 2 000
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)每一季利润在区间(1 200,1 600)的概率为0.3+0.2=0.5.故3季中的利润都在(1 200,1 600)的概率为0.53=.
21.(12分)某地区为了解党员同志每天的学习强国的积分情况,抽取了20名同志,其中男同志10名,女同志10名,他们的积分用茎叶图表示如下:积分在40分(含40分)以上的为积极学习的党员同志.
(1)求出男同志学习强国积分的平均值和女同志积极学习的频率;
(2)用频率估计概率,从该地区随机抽取3名党员,设积极学习的党员同志人数为Y,求Y的数学期望和方差.
【解析】(1)由茎叶图得男同志学习强国积分的平均值
为:=(26+27+34+35+43+45+47+48+55+56)=41.6.
女同志共10人,其中积极学习的有6人,
所以女同志积极学习的频率为:=0.6.
(2)由茎叶图得积极学习的党员同志共有12名,频率为:=,
以频率估计概率,所以该地区每位党员积极学习的概率为,
设3名党员中积极学习的人数为Y,则Y～B,
E(Y)=3×=,D(Y)=3××=.
22.(12分)假定广告费用x(万元)与纯利润Y(万元)之间存在相关关系,今测得5组数据如下:
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
Y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
(1)以x为解释变量,Y为响应变量,作出散点图;
(2)求Y与x之间的经验回归方程,对于广告费用56.7万元预报纯利润;
(3)计算各组残差,并计算残差平方和;
(4)求R2,并说明残差变量对纯利润的影响占百分之几?
【解析】(1)散点图如图.
(2)由(1)中散点图看出,样本点大致分布在一条直线的附近,有比较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.
设经验回归方程为=x+,=30.36,=43.5,
=5 101.56,=9 511.43.
=1 320.66,=921.729 6,x i y i=6 746.76.
则=≈0.29,=-≈34.70.
故所求的经验回归方程为=0.29x+34.70.
当x=56.7时,=0.29×56.7+34.70=51.143.估计纯利润为51.143.
(3)由于i=x i+,可以算得i=y i-i分别为
1=0.35,2=0.718,3=-0.5,4=-2.214,5=1.624,残差平方和:≈8.43.
(4)(y i-)2=50.18,故R2=1-≈0.832.所以解释变量广告费用对总效应约
贡献了83.2%,残差变量对纯利润的影响占1-83.2%=16.8%.
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