2024-2025学年新疆塔城地区第一高级中学高三(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年新疆塔城地区第一高级中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|0≤4−x≤5}，B={x|y=lnx}，则A∩B=( )
A. [0,4]
B. (0,1]
C. (0,4]
D. [0,1]
2.关于x的不等式2x2+bx+c≤0的解集是{1}，那么c b=( )
A. 1
16B. −16 C. 1
4
D. −4
3.已知a=313，b=915，c=lg8，则a，b，c的大小关系是( )
A. b>a>c
B. a>b>c
C. c>a>b
D. c>b>a
4.已知sin2α=−3
4
,α∈(0,π)，则sinα−cosα=( )
A. 1
2B. −1
2
C. 7
2
D. −7
2
5.已知等比数列{a n}的公比不为1，且a3，a2，a4成等差数列，则数列{a n}的公比为( )
A. −2
B. 2
C. −1
D. 1
2
6.已知平面向量a,b均为非零向量，则“a//b”是“|a+b|+|b|=|a|”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.已知Rt△ABC的周长为2，面积为S，则( )
A. S的最小值为2−2
B. S的最小值为3−22
C. S的最大值为2−2
D. S的最大值为3−22
8.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2x+2y，且f(1)=1，则f(1000)=( )
A. 2999+2995
B. 2999+2996
C. 21000+2995
D. 21000+2996
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z满足z
3−i
=1+3i，则( )
A. |z|=10
B. −
z=8−6i C. z的虚部为8 D. z在复平面内对应的点位于第一象限
10.如图，在等腰梯形ABCD 中，E 为腰CD 的中点，BC =3AD =3，∠ABC =π3，N 是梯形ABCD 内(包含边
界)任意一点，AC 与BE 交于点O ，则( )A. BE =12BA +23BC
B. BO =67BE
C. BE ⋅AN 的最小值为0
D. BE ⋅AN 的最大值为7211.已知函数f (x )=|sin 2x |+cos 4x ，则( )
A. f (x )的最大值为54
B. f (x )的最小正周期为π2
C. 曲线y =f (x )关于直线x =kπ
4(k ∈Z )轴对称
D. 当x ∈[0,π]时，函数g (x )=16f (x )−17有9个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知命题“∃x ∈(1,+∞)，2x−m +1=0”是假命题，则m 的取值范围是______．
13.已知ω>0，函数f(x)=sin (ωx−π4)在[−ωπ,ωπ]上单调递增，则ω的最大值为______．
14.若直线y =kx−2与曲线y =(x−2)e x 有3个交点，则k 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知▵ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2c cos C +a cos B +b cos A =0．
(1)求C ；
(2)若a +c =2b ，求cos A ．
16.(本小题15分)
已知数列{a n }的首项为a 1=13，且满足a n +1+2a n +1a n −a n =0．
(1)证明数列{1a n
}为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)求数列{a n a n +1}的前n 项和S n ．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=(x−1)e x −a 2x 2．
(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性．
18.(本小题17分)
已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=12，a 2+a 3=−14．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若b n ={
a n +1+n,n 为奇数|a n |,n 为偶数
，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)若存在正整数n ，使得(S n −m)(S n +1−m)<0成立，求m 的取值范围．
19.(本小题17分)
定义：对于函数f(x)，g(x)，若∀a ，b ，c ∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>g(c)，则称“f(x)−g(x)“为三角形函数．
(1)已知函数f(x)=x−lnx ，若g(x)为二次函数，且g(2−x)=g(x)，写出一个g(x)，使得“f(x)−g(x)”为三角形函数；
(2)已知函数f(x)=2x +t 2x +2，x ∈(0,+∞)，若“f(x)−f(x)”为三角形函数，求实数t 的取值范围；
(3)若函数f(x)=x−lnx ，g(x)=ln (x +1)−xlnx +x ，证明：“f(x)−g(x)”为三角形函数.(参考数据：ln 32≈0.405)
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.C
5.A
6.B
7.D
8.D
9.ACD
10.ABD
11.BC
12.(−∞,3]
13.12
14.(−1,0)
15.解：(1)因为2c cos C +a cos B +b cos A =0，
由正弦定理可得
2sin C cos C +sin A cos B +sin B cos A
=2sin C cos C +sin (A +B)
=2sin C cos C +sin C =0，
因为C ∈(0,π)，则sin C ≠0，可得2cos C +1=0，
即cos C =−12，所以C =2π3．
(2)因为a +c =2b ，即a =2b−c ，
由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2ab cos C ，即c 2=(2b−c )2+b 2+(2b−c )b ，
整理可得b =57c ，a =37c ，
所以cos A =b 2+c 2−a 22bc =2549c 2+c 2−949c 22×57c ×c =1314．
16.解：(1)由数列{a n }的首项为a 1=13，且满足a n +1+2a n +1a n −a n =0，
得a n ≠0，则a n −a n +1=2a n a n +1，
两边同时除以a n a n +1，可得1a n +1−1a n =2，
所以数列{1a n }是首项1a 1=3，公差为2的等差数列，
1a n =3+2(n−1)=2n +1，所以a n =12n +1．
(2)由(1)知a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12(12n +1−12n +3)，
所以S n =12(13−15+15−17+⋯+12n +1−12n +3)=12(13−12n +3)=n
6n +9． 17.解：(1)当a =1时，f(x)=(x−1)e x −12x 2，f′(x)=xe x −x ，
则f′(1)=e−1，
又f(1)=−12，
所以切线方程为y +12=(e−1)(x−1)，即(e−1)x−y−e +12=0．
(2)f′(x)=xe x −ax =x(e x −a)．
①当a ≤0时，由f′(x)=0，得x =0．
当x ≤0时，f′(x)≤0，f(x)单调递减；
当x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当a ≤0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．
②当a >0时，由f′(x)=0，得x =0或x =lna ．
若0<a <1，则当x <lna 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当lna <x <0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当0<a <1时，f(x)在(−∞,lna)和(0,+∞)上单调递增，在(lna,0)上单调递减．
若a =1，则f′(x)≥0，f(x)为R 上的增函数．
若a >1，则当x <0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0<x <lna 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x >lna 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当a >1时，f(x)在(−∞,0)和(lna,+∞)上单调递增，在(0,lna)上单调递减．
综上，当a ≤0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；当0<a <1时，f(x)在(−∞,lna)
和(0,+∞)上单调递增，在(lna,0)上单调递减；当a =1时，f(x)为R 上的增函数；当a >1时，f(x)在(−∞,0)和(lna,+∞)上单调递增，在(0,lna)上单调递减．
18.解：(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=12，a 2+a 3=−14，
设公比为q ，可得a 1+a 2=a 1+a 1q =12，a 1q +a 1q 2=−14，
解得a 1=1，q =−12，
所以a n =1×(−12)n−1=(−12)n−1．
(2)由(1)，得b n ={n−1
2n ,n 为奇数
12n−1,n 为偶数
，则b 2k−1+b 2k =2k−1−122k−1+122k−1=2k−1，
当n 为偶数时，令n =2k ，则T n =T 2k =
(1+2k−1)k 2=k 2=n 24，当n 为奇数时，T n =T n +1−b n +1=
(n +1)24−12n =n 2+2n +14−12n ．所以T n ={n 2+2n +14−1
2n ,n 为奇数n 24
,n 为偶数．(3)由等比数列的求和公式，可得S n =1−(−12)n
1−(−12)
=23−23×(−12)n ，存在正整数n ，使得(S n −m)(S n +1−m)<0成立．
当n 为偶数时，S n =23[1−(12)n ]<23，S n +1=23[1+(12)n +1]>23，
由(S n −m)(S n +1−m)<0，得S n <m <S n +1．
因为S n 单调递增，所以S n 的最小值为S 2=12，
因为S n +1单调递减，所以S n +1的最大值为S 3=34，
所以12<m <34．
当n 为奇数时，S n =23[1+(12)n ]>23，S n +1=23[1−(12)n +1]<23，
由(S n −m)(S n +1−m)<0，得S n +1<m <S n ．
因为S n 单调递减，所以S n 的最大值为S 1=1，
因为S n +1单调递增，所以S n +1的最小值为S 2=12，
所以1
2
<m<1．
综上，m的取值范围是(1
2
,1)．
19.解：(1)由f(x)=x−ln x，x∈(0,+∞)，
得f′(x)=1−1
x =x−1
x
，
令f′(x)=0，解得x=1．
当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增．
所以f(x)min=f(1)=1．
因为g(x)为二次函数，且g(2−x)=g(x)，
所以g(x)的对称轴为x=1，
设g(x)=ax2−2ax+c(a≠0)，
要使“f(x)−g(x)”为三角形函数，
只要2f(x)min>g(x)max，
取a=−1，c=0，
则g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，g(x)max=g(1)=1，
满足2f(1)=2>1=g(1)，
则∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)≥2f(1)>g(1)≥g(c)，
即f(a)+f(b)>g(c)成立．
故若f(x)=x−ln x，
取g(x)=−x2+2x，可使得“f(x)−g(x)”为三角形函数(答案不唯一)；
(2)f(x)=2x+t
2x+2=1+t−2
2x+2
，x∈(0,+∞)，
①当t=2时，f(x)=1，
则任意∀a，b，c∈(0,+∞)，f(a)+f(b)=2>1=f(c)，故“f(x)−f(x)”为三角形函数；
②当t>2时，由x>0，2x+2>3,0<1
2x+2<1
3
，
则0<t−2
21+2<t−2
3
，1<f(x)<1+t−2
3
=t+1
3
，
要使“f(x)−f(x)”为三角形函数，
由2×1≥t +13，解得t ≤5，
则有∀a ，b ，c ∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>2≥t +13>f(c)，所以2<t ≤5；
③当t <2时，则t−23<t−22x +2<0,t +13<f(x)<1，要使“f(x)−f(x)”为三角形函数，
由2×t +13≥1，解得t ≥12，
则有∀a ，b ，c ∈(0,+∞)，f(a)+f(b)>2(t +13)≥1>f(c)，所以12≤t <2；
综上所述，实数的取值范围为[12,5]；
(3)证明：f(x)=x−ln x ，x ∈(0,+∞)．
由(1)知，f(x )min =f(1)=1，
则任意a ，b ∈(0,+∞)，f(a)+f(b)≥2f(1)=2；下面证明g(x )max <2，
由g(x)=ln (x +1)−xln x +x ，x ∈(0,+∞)，则g′(x)=1x +1−lnx−1+1=1x +1−lnx ，令ℎ(x)=1x +1−lnx ，x ∈(0,+∞)，
则ℎ′(x)=−1(x +1)2−1x <0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，
又ℎ(1)=12>0，
由参考数据ln 32≈0.405可知，
ℎ(32)=25−ln 32<0，
则存在唯一的实数x 0∈(1,32)，使ℎ(x)=0，即1x 0+1−lnx 0=0(∗)．
所以当0<x <x 0时，
ℎ(x)>0，g′(x)>0，g(x)在(0,x 0)上单调递增；
当x >x 0时，ℎ(x)<0，g′(x)<0，g(x)在(x 0,+∞)上单调递减；故g(x )max =g(x 0)=ln(x 0+1)−x 0lnx 0+x 0，由(∗)式可知lnx 0=1x 0+1，则g(x )max =ln(x 0+1)−x 0x 0+1+x 0，令φ(x)=ln (x +1)−x x +1+x,1<x <32，则φ′(x)=1x +1−x +1−x (x +1)2+1=x (x +1)2+1>0，所以φ(x)在(1,32)单调递增，故φ(x)<φ(32)=ln(32+1)−3232+1+32<lne−35+32=1.9<2，即g(x )max <2，
所以∀a ，b ，c ∈(0,+∞)，f(a)+f(b)≥2>g(x )max ≥g(c)成立，即f(a)+f(b)>g(c)，
故“f(x)−g(x)”为三角形函数．。