立体几何垂直证明(基础)精编版

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立体几何垂直的证明
种类一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）
（1）共面垂直：掌握几种模型①等
腰（等边）三角形中的中线
②菱形（正方形）的对角线相互垂直
③ 勾股定理中的三角形
④ 直角梯形
⑤利用相像或全等证明直角。

【例 1】在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，
E 为CC1中点 ,求证：
(1) AO1 OE
(2) AO1 平面 BDE
（2）异面垂直（利用线面垂直来证明）
【例 2】在正四周体 ABCD中，
求证：AC BD
【变式1】如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是矩形，已知
AB 3, AD 2,PA 2,PD 2 2, PAB 60 ．
证明： AD PB ；
【变式 2】如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，
将△ AED, △ DCF 分别沿DE , DF折起，使A,C两点重合于A '
. A
'
求证 : A'D EF ；
E D
G
B F
【变式 3】如图，在三棱锥P ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠PAC=∠ PBC=90 o。

证明： AB⊥ PC
种类二：直线与平面垂直证明
方法○1 利用线面垂直的判判定理
【例 3】在正方体ABCD A B C D 中，,求证： AC平面BDC
1 1 1 11 1
【变式 1】如图：直三棱柱 ABC－ A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90 .E 为 BB1 的中点， D 点在 AB 上且 DE= 3 .
求证： CD ⊥平面 A1ABB 1；
【变式 2】如图，在四周体ABCD 中， O、 E 分别是 BD 、BC 的中点，CA CB CD BD 2, AB AD 2.
求证： AO平面BCD；
【变式 3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥
P ABCD 中，
AD∥BC
，
ABC
，
90° PA
平面 ABCD． PA 3， AD 2，AB 2 3，BC 6
P
1 求证：BD平面PAC
A D
E
B C
○2 利用面面垂直的性质定理
【例 4】在三棱锥P-ABC 中，PA底面ABC,面PAC面PBC，求证：BC面PAC。

【变式 1】在四棱锥P ABCD ，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且面
PAB 底面 ABCD ,求证： BC 面 PAB
种类 3：面面垂直的证明。

(实质上是证明线面垂直 )
【例 5 】如图，已知
AB 平面
ACD ， DE
平面 ACD ，△ ACD 为等边三角形，
AD DE 2AB ， F 为CD 的中点 .
(1) 求证： AF // 平面 BCE ；
B
E
(2) 求证：平面
BCE 平面 CDE ；
A
C
D
F
【例 6】如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ，
AB AD ， AC
CD ， ABC 60°
AB BC ， E 是 PC 的中点．
， PA （ 1）证明
CD
AE ；
（ 2）证明 PD 平面 ABE ；
P
E
【变式 1】已知直四棱柱 ABCD —A ′ B ′ C ′ D ′的底面是菱形，别
是棱 CC ′与 BB ′上的点，且 EC=BC =2FB=2． （ 1）求证：平面 AEF ⊥平面 AA ′C ′ C ；
A
D
C
B
ABC 60 ，E 、F 分
种类三：平面与平面垂直证明
1. AB 是圆 O 的直径， PA 垂直于圆O 所在的平面，M 是圆周上随意一点，AN PM，点
N 为垂足，
求证：平面PAM平面PBM
2．如图，在空间四边形 ABCD 中， AB=BC ， CD=DA ，E，F，Ｇ分别为ＣＤ，ＤＡ和对角线
ＡＣ的中点。

求证：平面ＢＥＦ平面ＢＧＤ
.
3.在直平行六面体 AC1中，四边形 ABCD是菱形，∠ DAB＝60°， AC∩ BD＝ O， AB＝ AA1.
(1)求证： C1O∥平面 AB1D1；
(2)求证：平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1.
4.以下列图，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在的平面相互垂直， AD⊥ CD，AB∥ CD，AB＝ AD＝2， CD ＝4，
M为 CE的中点．
(1)求证： BM∥平面 ADEF；
(2)求证：平面 BDE⊥平面 BEC.。