人教版九年级数学上册 (弧长和扇形面积)圆 教学课件(第1课时)

如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧
长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
（1）半径为R的圆的周长公式：
C 2πR
（3）1°的圆心角所对的弧长是：1π8R0
πR
（4）2°的圆心角所对的弧长是： 90
（2）圆的周长可以看作是 360 度的 （5）45°的圆心角所对的弧长是：πR
新课导入
如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽绳是圆锥形， PB＝15cm ，底面半径r＝5cm ，要生产这种帽身10000个， 你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？ 不计接缝用料和余料，π取3.14
S 10000 π 515 2355000
例3
蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭 建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包， 至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？
B 则BC 的长为( )
A. 4π 3
B. 8π 3
C.2 3π
D.2π
解析：连接 OC. OA OC ，CAO 60， AOC 为等边三角形，
AOC 60 ，BOC AOB AOC 140 60 80 ， BC 的 长为80π 6 8π .故选 B.
180 3
练习3
3.如图，将Rt ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到Rt AB1C1，阴影部分为 线段 BC 扫过的区域，已知 AB 4，BC 3，求阴影部分的面积.
（3）一条弧的圆心角为300°，弧长为10π，求该弧所在的圆的
半径：
l 10 nR R ，得R 6 180 180
例1
制造晚形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”， 再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取 整数）.
解：由弧长公式，得 AB 的长
l 100 900 500 1570(mm) 180
圆锥的基本特征
1.圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面；
2.圆锥的母线有无数条，它们的长都相等；
3.圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构
成一个直角三角形（如图所示），满足 r2 h2 l2 ，
利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量.
及时练
根据下列条件求值（其中r，h，l分别是圆锥的底面半径， 高线，母线长）
S扇形
nR2 360
2 360
6π
（2）已知扇形所在圆的半径为3cm，弧长为20πcm，求扇形面积
S扇形
1 2
lR
1 2
20π
3
30π
例2
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积 （结果保留小数点后两位）.
解：如图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交 AB 于点C，
母线
归纳
所以圆锥的侧面展开图是一个以圆锥的母线长为半径的扇形；
如果圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长
为2πr，由此可以求出这个扇形的面积为
S扇形 =
1 2
l
2，πr
πlr
即圆锥的侧面积为 πlr ；
圆锥的全面积＝圆锥的侧面积+圆锥的底面积= πlr πr 2
（1）圆的面积可以看作是 360 度的圆心角所对的扇形面积
（2）1°的圆心角所对的扇形面积是 R2 360
（3）n°的圆心角所对的扇形面积是 nR2 360
比一比
n°的圆心角所对的弧长和扇形面积之间有什么关系？
S扇形
nR2 360
nR R l 180 2
R 1 lR 22
及时练
（1）若扇形的半径为6cm，圆心角为60°，求扇形的面积
36π ____________cm2.（结果保留 π）
解析：这个冰激凌外壳的侧面积为 1 2π 312 36π cm2 . 2 故答案为 36π.
04
小结
小结
1.圆锥侧面积
S扇形
=
1 2
l
2πr
πlr
2.圆锥全面积 S全 πlr πr 2
连接AC.
OC 0.6m, DC 0.3m, OD OC DC 0.3(m). OD DC
又AD DC
AD是线段OC的垂直平分线 AC AO OC
例2
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积 （结果保留小数点后两位）.
从而AOD 60,AOB 120
C 则这段弯路（ AB）的长度为( )
A.20πm
B.30πm
C.40πm
D.50πm
解析： 半径OA 90m，圆心角AOB 80，这
段弯路（ AB）的长度为：80 90 40（m）， 180
故选：C.
练习2
2.如图，在扇形 AOB 中，AC 为弦，AOB 140，CAO 60，OA 6，
如图，有一个圆锥形的粮堆，其轴截面是边长为6m的等边三角形，在圆 锥的母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在点B处， 它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠.求小猫所经过的最短路径？
解题秘诀：要求小猫所经过的最短路径，需将圆 锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”找出 最短路径，再进行计算.
有水部分的面积
S S扇形OAB S△OAB
120π 0.62 1 AB OD
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
03
练习
练习1
如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（ AB），
点 O 是这设弧所在圆的圆心，半径OA 90m，圆心角AOB 80，
90π 52 1
90π 42 1
9
43
43 π
360 2
360 2
4
04
小结
小结
1.弧长公式
l nR 180
2.扇形面积
S扇形
nR2 360
1 lR 2
谢谢观看
XIEXIEGUANKAN
24.4 弧长和扇形面积
第2课时
学习目标
了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积的计算公式，理解圆 锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题
01 新课导入
02
探索新知
欣赏圆锥
圆锥的相关概念
1.圆锥：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体 （如图所示）.圆锥可以看成是由一个直角三角形绕它 的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. 2.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上认识一点的 线段叫做圆锥的母线. 3.圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥 的高.
圆心角所对的弧长
4
（6）n°的圆心角所对的弧长是：n1π8R0
弧长公式：l nR
180
及时练
（1）在半径为6cm的圆中，求30°的圆心角所对的弧长： l nR 30 180 180
（2）一条弧的长为3 πcm，弧的半径为6cm，求这条弧所对的圆心
角：
l 3 nR n，得n 90 180 180
2
2
OMA 90，OAM 30，AOM 60. BDl : ADl 1: 3，
AOB 80.设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则80πl 2πr ， 180
r : l 2 : 9.故选 D.
练习3
3.如图是一个圆锥形雪糕冰激凌外壳（不计厚度），已知其母线长为 12cm ， 底 面 圆 半 径 为 3cm. 则 这 个 冰 激 凌 外 壳 的 侧 面 积 等 于
24.4 弧长和扇形面积
第1课时
学习目标
1.了解扇形的概率，理解n°圆心角所对的弧长和扇形面积的 计算公式并熟练掌握它们的应用
2.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面 积的计算公式，并应用这些公式解决一些题目
01 新课导入
02
探索新知
思考
我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.想一想，
答案： AB 4， BC 3，由勾股定理得 AC 5.
将Rt ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到Rt AB1C1，
ABC 的面积等于 AB1C1的面积，
CAB C1AB1， AC1 AC 5， AB1 AB 4，
C1AC B1AB 90，
阴影部分的面积 S S扇形AC1C S ABC S扇形ABB S AC1B1
及时练
解：由题意知，圆锥底面圆的直径 BC＝6m， 故圆锥底面圆的周长为 6πm. 设圆锥侧面展开后的扇形的圆心角为 n°， 则6π nπ 6 ，解得n 180，
180 所以展开后BAP 90， 所以圆锥的展开图如图所示. 又 AP 1 AC 3m，
2 所以在Rt△ABP中， BP AB2 AP2 62 32 3 5(m)， 所以小猫所经过的最短路程为3 5m.
因此所要求的展直长度
L 2 700 1570 2970(mm)
扇形
观察图片，尝试给出概念 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的 图形叫做扇形. 辨析：下列图片中哪些是扇形，为什么？

×× √
×
√
思考
由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分.想一想，如何计 算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？ 1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？
恰好落在 AB上的点 D 处，且 BDl : ADl 1: 3（ BDl 表示 BD的长），若将此
D 扇形 OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )
A.1: 3
B.1: π
C.1: 4
D.2 : 9
解析：连接 OD 交 AC 于点 M，如图.由折叠可得OM 1 OD 1 OA，
圆锥的母线长 l 1.9542 1.42 2.404(m), 侧面展开扇形的弧长为 2π 1.954 12.28(m), 圆锥的侧面积为 1 2.404 12.28 14.76(m2 ).
2 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡
20 (22.10 14.76) 738(m2 ).
思考题
解：如图是一个蒙古包的示意图. 根据题意，下部圆柱的底面积为12m2，高h2 ＝1.8m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4（m） 圆柱的底面圆的半径 r 12 1.954(m), π
例3
圆柱的底面圆的半径 r 12 1.954(m), π
侧面积为 2π 1.954 1.8 22.10(m2 ).
（1）l＝2，r＝1，则h＝ 3 ；
5 （2）h＝3，r＝4，则l＝
；
6 （3）l＝10，h＝8，则r＝
；
思考
圆锥的侧面展开图是什么图形？
展开图是扇形
（1）沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到 一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系?
相等
（2）圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆 锥中的哪一条线段相等？
03
练习
练习1
1.如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为 12 cm，侧面展开图为半圆
D 形，则它的母线长为( )
A.10 cm
B.20 cm
C.5 cm
D.24 cm
解析：设母线的长为 R，由题意得，R 212，解 得R 24，母线的长为 24 cm，故选：D.
练习2
2.如图，点 C 为扇形 OAB 的半径 OB 上一点，将△OAC沿 AC 折叠，点 O