高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理

第三讲 二项式定理
知识梳理·双基自测 知识梳理
知识点一 二项式定理 (a ＋b)n
＝C 0n a n
＋C 1n a
n －1
b ＋…＋C k n a
n －k b k
＋…＋C n n b n
(n ∈N ＋)．
这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a ＋b)n
的二项展开式,其中的系数C k
n (k ＝0,1,2,…,n)叫做__二项式系数__,式中的__C k n a n －k b k
__叫做二项展开式的__通项__,用T k ＋1表示,即通项为展开式的第__k ＋
1__项：T k ＋1＝__C k n a
n －k b k
__．
知识点二 二项展开式形式上的特点 (1)项数为__n ＋1__．
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a 与b 的指数的和为__n__．
(3)字母a 按__降幂__排列,从第一项开始,次数由n 逐项减小1直到零；字母b 按__升幂__排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到n ．
知识点三 二项式系数的性质
(1)0≤k≤n 时,C k
n 与C n －k
n 的关系是__C k
n ＝C n －k
n __． (2)二项式系数先增后减,中间项最大．
当n 为偶数时,第n 2＋1项的二项式系数最大；当n 为奇数时,第n ＋12项和n ＋3
2项的二项式系数最大．
(3)各二项式系数的和：C 0
n ＋C 1
n ＋C 2
n ＋…＋C n
n ＝__2n
__,C 0
n ＋C 2
n ＋C 4
n ＋…＝C 1
n ＋C 3
n ＋C 5
n ＋…＝__2
n －1
__．
重要结论
1．二项式定理中,通项公式T k ＋1＝C k n a
n －k b k
是展开式的第k ＋1项,不是第k 项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在T k ＋1＝C k n a n －k b k
中,C k
n 是该项的二项式系数,
该项的系数还与a,b 有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值．
双基自测
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)C k n a
n －k b k
是二项展开式的第k 项．( × )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(3)(a ＋b)n
的展开式中某一项的二项式系数与a,b 无关．( √ ) (4)(a －b)n
的展开式第k ＋1项的系数为C k n a
n －k b k
．( × )
(5)(x －1)n
的展开式二项式系数和为－2n
．( × )
(6)在(1－x)9
的展开式中系数最大的项是第5项和第6项．( × ) 题组二 走进教材
2．(P 31例2(2))若⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x n
展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( B )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．120
[解析] 二项式系数之和2n
＝64,所以n ＝6,T k ＋1＝C k
6·x 6－k
·(1x
)k ＝C k 6x 6－2k
,当6－2k ＝0,即当k ＝3时为常数项,T 4＝C 3
6＝20．
3．(P 41B 组T5)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4
,则a 0＋a 2＋a 4的值为( B ) A ．9 B ．8 C ．7
D ．6
[解析] 令x ＝1,则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0,令x ＝－1,则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16,两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8．
题组三 走向高考
4．(2020·新课标)⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 6
的展开式中常数项是__240__(用数字作答)．
[解析] 展开式的通项为T r ＋1＝C r
6(x 2)6－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x r ＝2r C r 6x 12－3r ,令12－3r ＝0,解得r ＝4,故常数项为24C 46
＝
240．
5．(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2
的系数为( C )
A ．15
B ．20
C ．30
D ．35
[解析] (1＋x)6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ,所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1x 2(1＋x)6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 4
6＝
30,故选C ．
考点突破·互动探究
考点一 二次展开式的通项公式的应用——多维探究 角度1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
例1 (1)(2018·课标卷Ⅲ)(x 2＋2x )5的展开式中x 4
的系数为( C )
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
(2)(2019·课标Ⅲ,4)(1＋2x 2
)(1＋x)4
的展开式中x 3
的系数为( A ) A ．12 B ．16 C ．20
D ．24
(3)(x 2
＋x ＋y)5
的展开式中,x 5y 2
的系数为( C ) A ．10 B ．20 C ．30
D ．60
[解析] (1)T r ＋1＝C r
5(x 2)
5－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x r ＝C r 52r x 10－3r , 当10－3r ＝4时,解得r ＝2, 则x 4
的系数为C 2
5×22
＝40,选C ． (2)(1＋x)4
的二项展开式的通项为 T k ＋1＝C k 4x k
(k ＝0,1,2,3,4),
故(1＋2x 2
)(1＋x)4
的展开式中x 3
的系数为C 3
4＋2C 1
4＝12．故选A ． (3)(x 2
＋x ＋y)5
＝[(x 2
＋x)＋y]5
, 含y 2
的项为T 3＝C 2
5(x 2
＋x)3
·y 2
．
其中(x 2
＋x)3
中含x 5
的项为C 13x 4
·x＝C 13x 5
． 所以x 5y 2
的系数为C 25C 1
3＝30．故选C ．
另解：由乘法法则知5个因式中两个选y 项,两个选x 2
项,一个选x 项乘即可,∴x 5y 2
的系数为C 25C 1
3＝30． 角度2 二项展开式中的含参问题
例2 (1)(2021·广东广州阶段测试)⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 6的展开式中的常数项为160,则a 的值为( A )
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4
(2)(2021·福建三明质检)若(3x 2－a)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中x 3
的系数为－80,则a ＝__－4__．
(3)(2021·河北衡水中学模拟)已知二项式⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －1x n
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x 3
的系数为__240__．
[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6a 6－r x 6－2r ,由题意得－C 36a 3
＝
160,解得a ＝－2,故选A ．
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5x 5－2r ,则3×23×C 25＋a×24×C 1
5
＝－80,解得a ＝－4．
(3)由题意得：C 1
n
∶C 2n
＝2∶5,解得n ＝6．所以T r ＋1＝C r n
(2x)n －r
⎝
⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 626－r (－1)r
x6－32r, 令6－32r
＝3,解得：r ＝2．所以x 3的系数为C 262
6－2
(－1)2
＝240．
名师点拨
求二项展开式中的特定项或其系数,一般是化为通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零；求有理项时,指数为整数等),解出r,代回通项公式即可．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2018·浙江,14)二项式⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8
的展开式的常数项是__7__．
(2)(角度2)(2021·福州模拟)设n 为正整数,⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 3n
的展开式中仅有第5项的二项式系数最大,则展
开式中的常数项为( B )
A ．－112
B ．112
C ．－60
D ．60
(3)(角度1)(2020·全国)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 2
x (x ＋y)5的展开式中x 3y 3
的系数为( C )
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
[解析] (1)T r ＋1＝C r 8(3x)8－r
· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝12
r C r 8x 8－4r 3,由8－4r ＝0得r ＝2,故常数项为T 3＝122C 28
＝7． (2)依题意得,n ＝8,所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r (－2)r
,令8－4r ＝0,解得r ＝2,所以展开式中的常数项为 T 3＝C 2
8(－2)2
＝112．
(3)(x ＋y)5
的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x
5－r y r
,
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 2
x (x ＋y)5的展开式中x 3y 3的系数为C 35＋C 1
5＝15,故选C ． 考点二 二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研
例 3 (1)(2020·河北衡水中学模拟)已知二项式⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中,二项式系数之和等于64,则展开式中常数项等于( A )
A ．240
B ．120
C ．48
D ．36
(2)(2021·河北邯郸模拟)在⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x 3
的系数
为( C )
A ．15
B ．45
C ．135
D ．405
(3)(2021·辽宁省朝阳市质量检测)设(1＋x 2
)(2－x)4
＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2
＋a 3(x －1)3
＋a 4(x －1)4
＋a 5(x －1)5
＋a 6(x －1)6
,则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝__8__．
[解析] (1)∵二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中, 二项式系数之和等于2n
＝64,则n ＝6, 故展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6
·26－r
·x 6－3r 2 ,
令
6－3r 2
＝0,求得r ＝2,∴常数项为C 26·24
＝240．故选A ． (2)由题意4n 2n ＝64,n ＝6,T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2 ,令6－3r 2＝3,r ＝2,32C 2
6＝135,选C ．
(3)由题意,令x ＝2得 a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0,
令x ＝0得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝16, 两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝16, 所以a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝8．故答案为8． [引申]在本例(3)中,(1)a 0＝__2__； (2)a 1＋a 3＋a 5＝__－8__；
(3)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2
－(a 1＋a 3＋a 5)2
＝__0__； (4)a 2＝__5__．
[解析] 记f(x)＝(1＋x 2
)(2－x)4
, 则(1)a 0＝f(1)＝2． (2)a 1＋a 3＋a 5＝
f
2－f 02＝0－16
2
＝－8；
(3)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2
－(a 1＋a 3＋a 5)2
＝f(2)·f(0)＝0； (4)令x －1＝t,则x ＝t ＋1,
∴a 2为(t 2
＋2t ＋2)(1－t)4
展开式中t 2
项的系数,又(1－t)4
的通项为C r
4(－t)r
, ∴a 2＝C 0
4＋2×(－1)C 1
4＋2C 2
4＝5．
名师点拨
赋值法的应用
(1)形如(ax ＋b)n 、(ax 2＋bx ＋c)m
(a 、b 、c ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x ＝1即可．
(2)对形如(ax ＋by)n
(a,b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x ＝y ＝1即可． (3)若f(x)＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －1
2,
偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －1
2．
*又f′(x)＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2
＋…＋na n x
n －1
,
所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f′(1)． 〔变式训练2〕
(1)(多选题)(2021·湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中联考)若(1－2x)2 021
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3
＋…
＋a 2 021x
2 021
(x ∈R),则( ACD )
A ．a 0＝1
B ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021＝3
2 021
＋12 C ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2 020＝
3
2 021
－12
D ．a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 021
2
2 021＝－1
(2)(2020·湖南娄底期末)已知(x 3
＋a x )n 的展开式中各项的二项式系数之和为32,且各项系数和为243,
则展开式中x 7
的系数为( C )
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
[解析] (1)令x ＝0得a 0＝1,∴A 正确；令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 021＝－1,令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 021＝3
2 021
,∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021＝－
3
2 021
＋12,∴B 不正确；又a 0＋a 2＋…＋a 2 020＝32 021
－1
2
,∴C 正确；令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 02122 021＝0,∴a 12＋a 222＋…＋a 2 021
2
2 021＝－a 0＝－1．
∴D 正确,故选ACD ．
(2)因为(x 3＋a x )n 的展开式中各项的二项式系数之和为32,则2n ＝32,解得n ＝5,所以二项式为(x 3
＋
a x )5．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋a x 5展开式各项系数和为243,令x ＝1,代入可得(1＋a)5＝243＝35
,解得a ＝2,所以二项式展
开式的通项为T r ＋1＝C r
5(x 3)
5－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x r ＝2r ·C r 5x 15－4r ,所以当展开式为x 7时,即x 15－4r ＝x 7,解得r ＝2,则展开式的
系数为22·C25＝4×10＝40．故选C．
考点三二项式定理的应用——多维探究
例4 角度1 整除问题
(1)设a∈Z,且0≤a＜13,若512 012＋a能被13整除,则a＝( D )
A．0 B．1
C．11 D．12
(2)(2021·安徽省安庆一中模拟)9C110＋92C210＋…＋910C1010除以11所得的余数为( A )
A．0 B．1
C．2 D．－1
角度2 近似计算
(3)1.028的近似值是__1.172__．(精确到小数点后三位)
1＋1, [解析](1)由于51＝52－1,(52－1)2 012＝C02 012522 012－C12 012522 011＋…－C2 011
2 01252
又由于13整除52,所以只需13整除1＋a,0≤a＜13,a∈Z,所以a＝12,故选D．
(2)90C010＋9C110＋92C210＋…＋910C1010－1＝(1＋9)10－1＝1010－1＝(11－1)10－1＝1110－C110·119＋C210·118－…－C910·11＋1－1＝1110－C110·119＋C210·118－…－C910·11,显然所得余数为0,故选A．
(3)1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172．
[引申]若将本例(2)中“11”改为“8”,则余数为__7__．
[解析]由题意原式＝1010－1＝(8＋2)10－1＝810＋C11089·2＋…＋C9108·29＋210－1＝(810＋C11089·2＋…＋C9108·29＋8·27－8)＋7．∴余数为7．
名师点拨
1．整除问题的解题思路
利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系,是解决有关整除问题和余数问题的基本思路,关键是要合理地构造二项式,并将它展开进行分析判断．
2．求近似值的基本方法
利用二项式定理进行近似计算：当n不很大,|x|比较小时,(1＋x)n≈1＋nx．
〔变式训练3〕
(1)(2021·江西联考)1－90C110＋902C210－903C310＋…＋9010C1010除以88的余数是( C )
A．－1 B．－87
C．1 D．87
(2)0.9986的近似值为__0.989__．(精确到0.001)
[解析](1)1－90C110＋902C210－903C310＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝C0108810＋C110889＋…＋C91088＋C1010＝88k＋1(k为正整数),所以可知余数为1．
(2)0.9986＝(1－0.002)6＝1－C160.002＋C260.0022－C360.0023＋C460.0024－C560.0025＋C660.0026≈1－C16
0.002＋C 260.0022
＝0.988 6≈0.989．
名师讲坛·素养提升
一、二项展开式中系数最大项的问题
例5 已知⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12x n 的展开式中前三项的系数成等差数列．
①求n 的值；
②求展开式中系数最大的项．
[解析] ①由题设,得C 0
n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n ,
即n 2
－9n ＋8＝0,解得n ＝8,n ＝1(舍去)．
②设第r ＋1项的系数最大,则⎩⎪⎨⎪
⎧
12r C r 8≥12
r ＋1C r ＋18，12r C r 8
≥1
2r －1C
r －1
8
.
即⎩⎪⎨⎪⎧
18－r ≥12r ＋1
，
12r ≥1
9－r .
解得r ＝2或r ＝3．
所以系数最大的项为T 3＝7x 5
,T 4＝7x 72
．
名师点拨
求展开式中系数最大的项
如求(a ＋bx)n
(a,b ∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为
A 1,A 2,…,A n ＋1,且第k 项系数最大,应用⎩⎪⎨
⎪⎧
A k ≥A k －1
A k ≥A k ＋1
从而解出k 来,即得．
〔变式训练4〕
(2020·山东省德州市高三上期末)⎝
⎛⎭
⎪⎫2x 2＋1x
6
的展开式中,常数项为__60__；系数最大的项是
__240x 6
__．
[解析] ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x 2＋1x
6
的展开式的通项为
C k
6·(2x 2)
6－k
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x k ＝C k 6·26－k ·x 12－3k ,
令12－3k ＝0,得k ＝4,所以,展开式中的常数项为C 46·22
＝60； 令a k ＝C k
6·2
6－k
(k ∈N,k≤6),
令⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1,即⎩
⎪⎨⎪⎧
C n
6·26－n
≥C n －1
6·2
7－n
C n 6·26－n ≥C n ＋16·25－n
,
解得43≤n≤73
,∵n ∈N,∴n ＝2,因此,展开式中系数最大的项为C 26·24·x 6＝240x 6
．
二、一项或三项展开式问题
例6 (1)(2021·河南实验中学期中)若x 5
＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2
＋…＋a 5(x －2)5
,则a 0＝
( D )
A ．－32
B ．－2
C ．1
D ．32
(2)(2021·安徽合肥质检)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋4x 5的展开式中,x 2
的系数为__－960__．
[解析] (1)x 5
＝[2＋(x －2)]5
＝a 0＋a 1(x －2)＋…＋a 5(x －2)5
． T r ＋1＝C r 52
5－r
(x －2)4
,
∴a 0＝T 1＝25
＝32．故选D ． (2)解法一：(化为二项展开式问题)
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋4x 5＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 10,
T r ＋1＝C r
10(x)
10－r
⎝
⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 10x 5－r
,
令5－r ＝2,r ＝3,所求系数为(－2)3C 3
10＝－960． 解法二：(利用多项式乘法对括号中选取情况讨论)
①5个括号中的2个选x,3个选(－4),这样得到的x 2
的系数为C 2
5·C 3
3(－4)3
＝－640； ②5个括号中3个选x,1个选4x ,1个选－4,这样得到的x 2的系数为C 35C 1
2×4×(－4)＝－320；
∴所求系数为－640－320＝－960．
名师点拨
对一项或三项的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决,转化的方法通常为集项、配方、因式分解,集项时要注意结合的合理性和简捷性．
注：本题也可如下变形化为二项式求解：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4＋4x 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45． 〔变式训练5〕
(2021·广东汕头模拟)在(x 2
－x －2)5
的展开式中,x 3的系数为( C ) A ．－40
B ．160
C．120 D．200
[解析]∵(x2－x－2)5＝(x＋1)5(x－2)5,
∴x3的系数为C25C55(－2)5＋C35C45(－2)4＋C45C35(－2)3＋C55C25(－2)2＝120．另解：(利用多项式乘法)
C15C15(－1)×(－2)3＋C35(－1)3·(－2)2＝120,故选C．。