高一数学反函数5.doc

谈“反函数”教学中的三个问题
施全汝
反函数在数学中十分重要、反函数概念是中学教材中的难点，但又是学生应该掌握的内容，在“反函数”教学中，笔者认为应该使学生掌握反函数的求法，搞清反函数定义域，并学会运用。

一、反函数的求法高一教材《代数》上册讲述了反函数，一般地，从函数式
中解出，如果对于在C中的任何一个值，通过式子
，在A中都有唯一确定的值和它对应，则互换与之后，
叫做原函数的反函数。

由此看来，函数存在反函数的充要条件是当且仅当函数在某个区间上从自变量的集合到函数值的集合是一一对应时，该函数在这个区间上才有且仅有一个反函数。

例1 求函数，的反函数。

解：由＝，得。

∵，∴，，∴函数，的反函数是。

若例1中没有这个条件，解时，就有，因此
不存在反函数。

例2 已知，求的反函数。

这是一道求复合函数的反函数的题，一个复合函数，若有反函数，则也是唯一的．函数
仅表示将函数中的以来代替而得到的解析式，因此，求
时，应先求出，再将其中的用代替。

解：令，得。

∴，故的反函数为。

例3 （1）试确定的一个范围，使有反函数，并就此求出这个反函数；
（2）求函数的反函数。

反三角函数是基本初等函数之一。

三角函数是周期函数，故三角函数在其整个定义域内不存在反函数，对于正弦函数，在不同的单调区间，其反函数的表达式当然不同。

所谓反正
弦函数，只是正弦函数在其单调区间上的反函数。

解（1）：由，得，。

又，∴，即，互调，得。

故确定时，反函数为
，。

（2）必须满足，即，∴，又
，∴，，互调，得
，故所求反函数为，。

例4：已知函数的图象如图1，求的反函数。

解：根据函数的图象，写出分段函数表达式：，
求该函数的反函数，可分段进行，求得反函数为。

或根据
与的图象关于直线对称。

故可先画出的图象如图2。

∴。

二、搞活反函数定义域
在指明反函数定义域时，学生仅由观察的表达式就确定其定义域，产生错误，先看下面的例子。

例5 已知函数，求的反函数。

解：令，，，得，∴。

指明反函数定义域时，学生写为且。

我们应该明确，函数的定义域，正好是它的反函数的值域；函数的值域，正好是它的反函数
的定义域。

如果函数的反函数是，那么函数的反函数便是。

因此，若的定义域且是正确的，
那么反函数就为。

取，有，由此可知，
没有唯一确定的值和它对应，这就说明了，没有反函数。

反函数的定义域只能由的值域来确定。

由，求得的定义域为。

，∵在上递增，∴在此区间上递减，则，因此，的值域为。

∴的反函数为。

再看二例：
例6 求的反函数。

解：易知函数的定义域是且，由=，得
，∵，∴，又，∴的值域是且。

∴的反函数应是，且例7 求的反函数。

解：由题设可知且，所以，于是，
，故原函数的值域为（0，+∞）。

由，，得，∴
的反函数为。

三、反函数性质的运用
根据反函数的概念，上面已提的性质：函数与其反函数的定义域和值域互换；互为反函数的两函数图象关于直线成轴对称图形，还容易得出下面二个性质：若函数是奇函数，
则其反函数也为奇函数，反之亦然；函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性（单调递增或单调递减）．教学中要使学生理解掌握这些性质。

例8 设，则_______________。

（1993年高考题）解：令，即，得。

由函数与其反函数的定义域和值域互换，知1。

例9 已知函数在其定义域内存在反函数，且，求
之值。

解：∵＝，∴，其中，。

令，得。

∴。

例10 （选择题）函数的反函数是（）。

（A）奇函数，且在（0，+∞）上递减
（B）偶函数，且在（0，+∞）上递减
（C）奇函数，且在（0，+∞）上递增
（D）偶函数）且在（0，+∞）上递增
（1992年高考题）
解：令，可得，又=，∴是奇函数且在（0，+∞）上是增函数，由性质知，选C。

例8、例9、例10都回避求反函数的过程，快速解决问题，又如和
是定义在区间（0，+∞）上的一对反函数，且在（0，+∞）上单调递增，则和
的大小关系显然是<。

例11 设，解方程组，（1979年高考副卷试题）。

解：将原方程组变形为，显然（1），（2）可视为互为反函
数，其图象为两条直线且关于直线对称。

又，可见（1）的图象与直线
不平行，必相交。

因此求原方程组的解等价于解方程组
，解这个方程组，得。

例12 如果函数的定义域是R，直线
的倾斜角为，试求出的值。

解：∵，恒成立，∴，设，则，且，得，。

由及，知。

［注］反三角函数总是表示其主值区间内唯一的某一个角，所以可以用来表示某些图形之间的夹角（尤其是非特殊角），取得事半功倍的效果。

综上所述，在“反函数”教学中，应注意让学生主动探索，在观察、比较、分析、归纳中提高分析问题、解决问题的能力。