八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷测试与练习(word解析版)

八年级上册数学第五章相交线与平行线单元试卷测试与练习（word 解析版）
一、选择题
1．如图，DE 经过点A ，DE ∥BC ，下列说法错误的是（ ）
A ．∠DA
B ＝∠EAC
B ．∠EA
C ＝∠C C ．∠EAB+∠B ＝180°
D ．∠DAB ＝∠B
2．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠1和∠3是对顶角
C ．∠3和∠4是同位角
D ．∠1和∠4是内错角
3．如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，则∠C +∠D +∠E 的度数为（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．450°
4．如图,下列推理所注的理由正确的是( )
A ．∵A
B CD ∥，∴ ∠1＝∠2(内错角相等，两直线平行)
B ．∵∠3＝∠4，∴ AB CD ∥(内错角相等，两直线平行)
C ．∵AB C
D ∥，∴∠3＝∠4(两直线平行，内错角相等)
D ．∵∠1＝∠2，∴ AB CD ∥(内错角相等，两直线平行)
5．如图，AB CD ∥，154FGB ∠︒＝，FG 平分EFD ∠，则AEF ∠的度数等于（ ）．
A．26°B．52°C．54°D．77°
6．如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为（）
A．50°B．60°C．65°D．80°
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；
④AC=3BF，其中正确的结论共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2-∠3（）
A．70°B．180°C．110°D．80°
9．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，则下列结论中错误的是（）
A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．2AD＝BC D．BE＝ED
10．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；
④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 11．下列说法中，正确的是 A ．相等的角是对顶角
B ．有公共点并且相等的角是对顶角
C ．如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠
D ．两条直线相交所成的角是对顶角
12．下列命题中，是真命题的是（ ）
A ．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
B ．相等的角是对顶角
C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 二、填空题
13．如图，AB //CD BED 110BF ，，∠=平分ABE DF ∠，平分CDE ∠，则BFD ∠= ______ ．
14．如图，AB ∥CD, AC ∥BD, CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，点F 在CD 的延长线上，且∠BEF=∠CEF ，若∠DEF=∠EDF ，则∠A 的度数为_____︒.
15．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠DFB ＝12
∠CGE ；③∠ADC ＝∠GCD ；④CA 平分∠BCG ．其中正确的结论是_______．
16．若∠A 与∠B 的两边分别平行，且∠A 比∠B 的3倍少40°，则∠B ＝_____度．
17．如果一张长方形的纸条，如图所示折叠，那么∠α等于____．
18．如图，//AB CD ，BD 平分ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=，则CDB ∠=______．
19．如图，AD 平分,34BDF ∠∠=∠，若150,2130∠=︒∠=︒，则
CBD ∠=________︒．
20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等于_______．
三、解答题
21．已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 相交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，
①若∠ABC =50º，∠ADC =70º，求∠BED 的度数；
②请直接写出∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系；
（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，试猜想∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系，并说明理由．
22．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．540°
（1）请写出这道题的正确选项；
（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．
（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
23．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．
（1）求证：//AD BC ；
（2）连结CF ，当//CF AB ，且32
CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；
（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．
24．问题情境：
我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．
已知三角板ABC 中，60,30,90BAC B C ∠=∠=︒∠=︒︒，长方形DEFG 中，DE GF ．
问题初探：
（1）如图（1），若将三角板ABC 的顶点A 放在长方形的边GF 上，BC 与DE 相交于点M ，AB DE ⊥于点N ，求EMC ∠的度数．
分析：过点C 作CH GF ∥，则有CH DE ∥，从而得
,CAF HCA EMC MCH ∠=∠∠=∠，从而可以求得EMC ∠的度数．
由分析得，请你直接写出：CAF ∠的度数为____________，EMC ∠的度数为
___________．
类比再探：
（2）若将三角板ABC 按图（2）所示方式摆放（AB 与DE 不垂直），请你猜想写出CAF ∠与EMC ∠的数量关系，并说明理由．
25．如图1，直线AB 与直线OC 交于点O ，()090BOC αα∠=︒<<．小明将一个含30的直角三角板PQD 如图1所示放置，使顶点P 落在直线AB 上，过点Q 作直线MN AB 交直线OC 于点H (点H 在Q 左侧)．
（1）若PD OC ∥，45NQD ∠=︒，则α=__________︒．
（2）若PQH ∠的角平分线交直线AB 于点E ，如图2．
①当QE OC ∥，60α=︒时，求证：OC PD ． ②小明将三角板保持PD OC ∥并向左平移，运动过程中，PEQ ∠=__________．(用α
表示)． 26．问题情境：如图1，//AB CD ，128PAB ∠=︒，124PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是过点P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求APC ∠的度数．
（2）问题迁移：如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点P 在线段OB 上时，请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
27．如图`，已知：直线AD BC ∥，且直线AB 、CD 与AD 、BC 分别交于A 、D 和B 、C 两点，点P 在直线AB 上．
(1)如图1,当点P 在A 、B 两点之间时(点P 不与点A 、B 重合)，探究ADP 、DPC ∠、BCP ∠之间的关系，并说明理由.
(2)若点P 不在A 、B 两点之间，在备用图中画出图形，直接写出ADP 、DPC ∠、BCP ∠之间的关系，不需说理．
28． [问题解决]：如图1，已知AB ∥CD ，E 是直线AB ，CD 内部一点，连接BE ，DE ，若∠ABE=40°，∠CDE=60°，求∠BED 的度数．
嘉琪想到了如图2所示的方法，但是没有解答完，下面是嘉淇未完成的解答过程： 解：过点E 作EF ∥AB ，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ，
…
请你补充完成嘉淇的解答过程：
[问题迁移]：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，设∠BAP=α，∠DCP=β．
（1）当点P在B，D两点之间运动时(P不与B，D重合)，求α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）当点P在B，D两点外侧运动时(P不与点O重合)，直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补逐一判断可得．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC（两直线平行，内错角相等），A选项错误、D选项正确；
∠EAC＝∠C（两直线平行，内错角相等），B选项正确；
∠EAB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补），C选项正确；
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补．2．A
解析：A
【分析】
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．
【详解】
A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；
B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；
C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；
D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；
故选A.
【点睛】
此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义. 3．C
解析：C
【分析】
首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【详解】
过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质定理和判定定理，即可作出判断．
【详解】
解：A、∵AB∥CD，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）,所以原题错误；
B、∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故选项错误；
C、∠3和∠4不是AB和CD被直线所截形成的角，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【点睛】
本题考查平行线的性质定理和判定定理，正确理解同位角、内错角的定义是关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质可得26GFD ︒∠= ,再根据角平分线的性质可得52ECD ︒∠=,因此可计算的AEF ∠的度数.
【详解】
解：∵AB CD ∥，
∴180FGB GFD ∠+∠=︒，
∴18026GFD FGB ∠=︒-∠=︒，
∵FG 平分EFD ∠，
∴252EFD GFD ∠=∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴52AEF EFD ∠=∠=︒．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.
6．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质可求∠AOB ，再根据角平分线的定义求得∠BOC ，再根据平行线的性质可求∠2．
【详解】
∵l ∥OB ，
∴∠AOB+∠1=180°
∴∠AOB ＝180°﹣∠1＝130°，
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠BOC ＝65°，
∴∠2＝∠BOC ＝65°．
故选：C ．
【点睛】
考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．
7．A
解析：A
【详解】
∵BF ∥AC ，∴∠C=∠CBF ， ∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC=∠CBF ，∴∠C=∠ABC ， ∴AB=AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD=CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
C CBF
CD BD
EDC BDF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正
确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．8．C
解析：C
【解析】
【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.【详解】作AB∥a,由直线a平移后得到直线b，
所以，AB∥a∥b
所以，∠2=180°-∠1+∠3，
所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.
9．C
解析：C
【解析】
试题分析：BD是△ABC的角平分线， AB＝BC，则BD是AC边上的高及中线，所以
∠ABD＝∠DBC ,BD⊥AC，2AD=AC, ∠A＝∠BCA；因为DE∥BC，所以∠EDA＝∠BCA,
∠EDB＝∠DBC，所以∠A＝∠EDA, ∠ABD＝∠EDB，所以BE＝ED。

所以A、B、D正确，C 错误。

10．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．【详解】
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形；
③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；
④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；
故选B．
【点睛】
本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
11．C
解析：C
【分析】
本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．由此逐一判断．
【详解】
A、对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线，相等只是其性质，错误；
B、对顶角应该是有公共顶点，且两边互为反向延长线，错误；
C、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确．
D、两条直线相交所成的角有对顶角、邻补角，错误；
故选C．
【点睛】
要根据对顶角的定义来判断，这是需要熟记的内容．
12．A
解析：A
【解析】
分析：根据平行线的判定与性质，对顶角的性质，平行线的作图，逐一判断即可.
详解：根据平行公理的推论，可知：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故正确；
根据对顶角的定义，可知相等的角不一定是对顶角，故不正确；
根据两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故不正确；
根据平行公理，可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确.
故选A.
点睛：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟记公理的内容和特点，找到反例说明即可.
二、填空题
13．【解析】
【分析】
首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得
EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=25
解析：125
【解析】
【分析】
首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF
平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．
【详解】
过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥FN，
∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，
∵∠BED=110°，
∴∠ABE+∠CDE=250°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF=1
2
∠ABE，∠CDF=
1
2
∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF=1
2
（∠ABE+∠CDE）=125°，
∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，
∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．
故答案为125°
【点睛】
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
14．108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，
∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性
解析：108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED ∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠C ED=1
2 x，
∴∠EDF=x，∠BEF=3
2
x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+1
2
x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.
15．①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴
解析：①②③
【解析】
①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；
②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1 2
（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=1
2
∠CGE，则②
正确；
③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG∥BC，且EG⊥CG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，则③正确；
④无法证明CA平分∠BCG，则④错误.
故答案为①②③.
16．55或20
【分析】
根据平行线性质得出∠A+∠B＝180°①，∠A＝∠B②，求出∠A＝3∠B﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．
【详解】
解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A+∠B＝180
解析：55或20
【分析】
根据平行线性质得出∠A+∠B＝180°①，∠A＝∠B②，求出∠A＝3∠B﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．
【详解】
解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A+∠B＝180°①，∠A＝∠B②，
∵∠A比∠B的3倍少40°，
∴∠A＝3∠B﹣40°③，
把③代入①得：3∠B﹣40°+∠B＝180°，
∠B＝55°，
把③代入②得：3∠B﹣40°＝∠B，
∠B＝20°，
故答案为：55或20．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握由∠A和∠B的两边分别平行，即可得∠A ＝∠B或∠A＋∠B＝180°，注意分类讨论思想的应用．
17．70°．
【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE=140°，
由折叠可得：，
∴∠
解析：70°． 【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°． 【详解】 解：如图，
∵AB ∥CD ，
∴∠BAE =∠DCE =140°， 由折叠可得：1
2
DCF DCE ∠=∠， ∴∠α=70°． 故答案为：70°． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
18．30° 【分析】
先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD，∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°，依据“平分，”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题． 【详解】 ∵AB//CD ∴∠ABD=x°
解析：30° 【分析】
先由AB//CD 得到∠CDB=∠ABD ，∠C+∠ABC=180︒,设出∠ABD=x°，依据“BD 平分
ABC ∠，:4:1C DBA ∠∠=”列出方程，求出∠ABD 即可解决问题． 【详解】 ∵AB//CD
∴∠ABD=x°，∠ABD ，∠C+∠ABC=180︒, BD 平分ABC ∠， ∴∠ABD=∠CBD
∵:4:1C DBA ∠∠=， ∴4C DBA ∠=∠
设∠ABD=x°，则∠CBD=x°，∠C=4x°， ∴2x°+4x°=180°,解得，x=30 ∴∠ABD=30°，
∴∠CDB=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，求出∠ABD=30°是解此题的关键．19．65
【分析】
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
解析：65
【分析】
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．
【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
∴∠DBE=∠2，
∴AE∥CF，
∴∠4=∠ADF，
∵∠3=∠4，
∴∠EBC=∠4，
∴AD∥BC，
∵AD平分∠BDF，
∴∠ADB=∠ADF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠4=∠CBD，
∴∠CBD=∠EBC=1
2
∠DBE=
1
2
×130°=65°．
故答案为：65．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．
20．【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】 如图所示， ∵，， ∴，
∴∠4=90°−∠3=55°， ∵， ∴∠2 解析：55︒
【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可. 【详解】 如图所示，
∵//a b ，135∠=︒， ∴335∠=︒， ∴∠4=90°−∠3=55°， ∵////a b c ， ∴∠2=∠4=55°. 故答案为：55°. 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题
21．（1）①∠BED =60º；②∠BED =
12∠ABC +1
2
∠ADC ；（2）∠BED =180º-12∠ABC +1
2
∠ADC ，理由见解析． 【分析】
（1）①过点E 作EF ∥AB ，然后说明AB ∥CD ∥EF ，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；
②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．
（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．
【详解】
（1）①如图1，过点E作EF∥AB．
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABC=50º，∠ADC=70º
∴∠ABE=1
2∠ABC=15025
2
⨯=
°°，
∠EDC=1
2∠ADC=17035
2
⨯︒=︒，
∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；
②∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF=1
2∠ABC，∠EDC=∠DEF=1
2
∠ADC；．
∴∠BED=∠BEF +∠DEF =1
2∠ABC+1
2
∠ADC
∴∠BED=1
2∠ABC+1
2
∠ADC
（2）如图2，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠EDC=∠DEF，
∵∠ABE+∠BEF=180º，
∴∠BEF=180º-∠ABE．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=1
2∠ABC，∠DEF=1
2
∠ADC，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-
12∠ABC+1
2
∠ADC ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．
22．（1）C ；（2）BAD DEF ADE ∠+∠=∠；（3）2360C ADE ∠+∠∠=︒；（4）90BAC
DEF
CDE
【分析】
（1）利用平行线的性质，即可得到180A ACD ∠+∠=︒，180E ECD ∠+∠=︒，进而得出360BAC ACE
CEF
；
（2）过D 作//DG AB ，利用平行线的性质，即可得到A
ADG ，E
EDG ，进而
得出A
E
ADG
EDG
ADE ； （3）利用（1）可得360BAC
C
CEF
，利用（2）可得D
BAD
DEF ，根据AD ，ED 分别平分BAC ∠，CEF ∠，即可得到22360BAD C
DEF
,化简即可
得到ACE ∠与ADE ∠之间的数量关系；
（4）过C 作//CG AB ，过D 作//DH AB ，则有//////CG AB EF DH ，可得1180BAC ， 23∠∠=，4DEF ，34CDE ，则有1180BAC ，可求出390BAC ，利用34
CDE ，4DEF
，得到
90BAC
DEF
CDE
．
【详解】 解：（1）
////AB CD EF ，
180A ACD ，180E ECD ∠+∠=︒， 360A
ACD
E
ECD ， 即360BAC
ACE
CEF
，
故选：C ．
（2）BAD DEF ADE ∠+∠=∠， 如图，过D 作//DG AB ，
//AB EF ，
////DG AB EF ∴，
A ADG ，E EDG ， A E ADG EDG ADE ；
（3）2360C ADE ∠+∠∠=︒，
理由：由（1）可得，360BAC
C CEF ， 由（2）可得，D
BAD DEF ， 又AD ，ED 分别平分BAC ∠，CEF ∠，
2BAC AD B ，2CEF DEF ，
22360BAD C DEF ，
即2()360BAD
DEF C ，
2360ACE ADE ．
（4）90BAC DEF CDE ，
理由：如图，过C 作//CG AB ，过D 作//DH AB ，
//AB EF ，
//////CG AB EF DH ，
∴1180BAC ， 23∠∠=，4DEF ，34CDE
∴1180BAC
∵1290∠+∠=，
∴
329019018090BAC BAC ， ∴3490
BAC DEF CDE ， 即有：90BAC
DEF CDE ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
23．（1）证明见解析；（2）∠BCD＝108°；（3）70°
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF＝∠DAB，由角平线的定义得出∠EDF＝
∠FDC，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；
（2）设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF＝1.5x，由角平分线的定义得出∠ABC＝3x，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x的方程，求解即可；
（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC与∠FDC，由平移的性质与平行公理的推论得出AD∥PQ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．
【详解】
解：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵
3
2
CFB DCF
∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠FDC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF +∠BFD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF +∠BFD＝180°，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∵AD∥BC，
∴AD∥PQ，
∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，
∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，
∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
24．（1）30°，60°；（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由见解析
【分析】
（1）利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度数，求∠EMC度数转化到∠MCH度数；（2）过点C作CH∥GF，得到CH∥DE，∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中，从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系．
【详解】
（1）过点C作CH∥GF，则有CH∥DE，
所以∠CAF=∠HCA，∠EMC=∠MCH，
∵∠BAF=90°，
∴∠CAF=90°-60°=30°．
∠MCH=90°-∠HCA=60°，
∴∠EMC=60°．
故答案为30°，60°．
（2）∠CAF+∠EMC=90°，理由如下：
过点C 作CH ∥GF ，则∠CAF=∠ACH ．
∵DE ∥GF ，CH ∥GF ，
∴CH ∥DE ．
∴∠EMC=∠HCM ．
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°．
【点睛】
考查了平行线的判定和性质，解题关键是熟记并灵活运用其性质和判定．
25．（1）45；（2）①详见解析；②302α︒+或602α︒-； 【分析】
（1）根据平行线性质可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒，再根据平行线性质得BOC BPD ∠=∠；
（2）①根据平行线性质得160BOC ∠=∠=︒，2160∠=∠=︒，结合角平分线定义可证180DQE PDQ ∠+∠=︒，得PD QE ∥，根据平行线传递性可再证PD OC ∥； ②分两种情况分析：当Q 在H 的右侧时，根据平行线性质可得∠BPD=∠BOC=α，∠MQP=∠QPB=60°+α，根据角平分线性质∠MQE=
12（60°+α），故∠PEQ=∠MQE ；当Q 在H 的右侧时，与上面同理，∠NQE=
12（180°-60°-α），∠PEQ=∠NQE ． 【详解】
（1）由45NQD ∠=︒，MN AB ,可得180********BPD ∠=︒-︒-︒-︒=︒， 而PD OC ∥，则有BOC BPD ∠=∠．
故45BPD α=∠=︒
（2）
∵QE OC ∥，60BOC α∠==︒，∴160BOC ∠=∠=︒，
又∵MN AB ，∴2160∠=∠=︒，
又∵QE 平分PQH ∠，∴3260∠=∠=︒，
又∵430∠=︒，∴4390DQE ∠=∠+∠=︒，
且90PDQ ∠=︒，∴180DQE PDQ ∠+∠=︒，∴PD QE ∥，
∵QE OC ∥，∴PD OC ∥．
②当Q 在H 的右侧时，
∵PD ∥OC
∴∠BPD=∠BOC=α
∵MN ∥AB
∴∠MQP=∠QPB=60°+α
又∵QE 平分∠MQP
∴∠MQE=12（60°+α）=30°+12
α ∴∠PEQ=∠MQE=30°+
12α 当Q 在H 的左侧时
∵PD ∥OC
∴∠BPD=∠BOC=α
∵MN ∥AB
∴∠NQP=180°-60°-α
又∵QE 平分∠NQP
∠NQE=12（180°-60°-α）=60°-12
α ∴∠PEQ=∠NQE=60°-
12α
∴302PEQ α∠=︒+
或602α︒-．
【点睛】 考核知识点：平移、平行线判定和性质综合运用．熟练运用平行线性质和判定，分类讨论问题是关键．
26．（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．
【分析】
（1）过P 作PE ∥AB ，先推出PE ∥AB ∥CD ，再通过平行线性质可求出∠APC ； （2）过P 作PE ∥AB 交AC 于E ，先推出AB ∥PE ∥DC ，然后根据平行线的性质得出α=∠APE ，β=∠CPE ，即可得出答案；
（3）过点P 作PE ∥AB 交OA 于点E ，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE ，β=∠CPE ，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P 作PE ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴PE ∥AB ∥CD ，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，
∴∠APE=52°，∠CPE=56°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；
（2）∠APC=α+β．理由如下：
如图2，过P 作PE ∥AB 交AC 于E ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥PE ∥CD ，
∴α=∠APE ，β=∠CPE ，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）∠APC=β-α．理由如下：
过点P作PE∥AB交OA于点E，
同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．
27．（1）∠ADP+∠BCP=∠DPC，理由见解析；（2）∠ADP=∠DPC+∠BCP，理由见解析【分析】
（1）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，根据平行线的性质进行推理；
（2）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，根据平行线的性质进行推理；
【详解】
解：（1）过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，
∵AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠ADP=∠DPQ，∠BCP=∠CPQ，
∴∠ADP+∠BCP=∠DPC；
（2）∠ADP=∠DPC+∠BCP.
过P作直线PQ∥AD，交CD于点Q，
∵AD∥BC，
∴PQ∥AD∥BC，
∴∠ADP=∠DPQ=∠DPC+∠CPQ，∠BCP=∠CPQ，
∴∠ADP=∠DPC+∠BCP.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质得出角的和差关系是解题的关键. 28．[问题解决]见解析；[问题迁移]（1）∠APC=α+β；（2）当点P在BN上时，
∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【分析】
问题解决：过点E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED的度数；
问题迁移：（1）过P作PQ∥AB，依据平行线的性质，即可得出α，β和∠APC之间满足的数量关系．
（2）分两种情况讨论：过P作PQ∥AB，易得当点P在BN上时，∠APC=β-α；当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【详解】
问题解决：
如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠ABE=∠BEF=40°
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠B+∠D=40°+60°=100°；
问题迁移：
（1）如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP，即∠APC=α+β；
（2）如图4，当点P在BN上时，∠APC=β-α；
如图5，当点P在OD上时，∠APC=α-β．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等，并利用角的和差关系进行推算．。