第二章关系与映射

第二章关系与映射
1
设集合 A={1,2,3,4}, A 上的二元关系 R={ x, y | x, y A,且x _ y}, 求R 的关系图与关
系矩阵
解 R 二{ x,y |x, y A,且x _ y}
珂 1,1 , 2,1 , 3,1 ,4,1 , 2,2 ,3,2,4,2,3,3,4,3,4,4} R 的关系图如图2-1所示。

图2-1
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 一
22.在由n 个元素组成的集合上，可以有多少种不同的二元关系？若集合 AB 的元数分别
为|A| = m,|B|二n ，试问从A 到B 有多少种不同的二元关系？ 解 因为一个由 n 个元素组成的集合
A 上,任何一个二元关系都是
A A 的子集，而
A A =A 2中共有n 个元素，取o 个到n 个元素可以组成2n 子集，所以有2n 个不同的关系。

而当
|A|
=m,|B| = n 时，A B 这个全关系中共有 m n 个元素，取0个到m n 个元素 组成的子集共有2mn
个，因此从A 到B 共有2mn 种不同的二元关系。

3.设集合A 二{1,2,3,令，A 上的二元关系分别为：
R 珂 1,1, 1,2, 2,4, 31,3,3} S 二{1,3, 2,2, 3,2, 4,4}
试用定义求R *S , S *R , R 2, R 4 , S’ , ，并画出其关系图。

解 R*S 二{1,3,1,2, 2,4, 3,3, 3,2}
S ・R ={ 1,1, 1,3, 2,4, 3,4 } R 2={ 1,1,1,2,1,4,3,1,32,3,3} R J 1,1 , 1,3, 2,1 , 3,3, 4,2 }
S 4 ={ 2,2, 2,3, 3,1, 4,4
}
~1 M R
R」.S A={ 1,1 , 3,1 , 4,2, 4,3 } 其关系图如图2-2所示。

图2-2
说明 1.当用定义求复合关系时，先将左关系中每个序偶的第二元素作为中介元素，到右关系中每个序偶里找与其相同的第一元素，将这个元素去掉，用剩余两个元素组成新序偶成为复合关系中的元素
2.用定义求出的复合关系与逆关系，可以用关系矩阵来验证其正确性。

4. 设集合A={x, y,z}，集合B={a,b,c,d,e}，R是集合A上的关系，S是A,B上的关系。

R ={ x,x，x,z , y,x , y,y，z,x，z,y，z,z}
S ={ x,a , x,d , y,a , y,c , y , e , z,b, z,d }
试验证
M丄=M S丄M R丄
-1 0 11-'1 0 0 1 01
M R = 1 1 0 M S：- 1 0 1 0 1
证 1 1 1I
- 0 1 0 1
M RS - M R M S
1 0 1 10 0 10
1 1 0 10 10 1
_ 1 1 1 0 1 0 1 0 一
110 10
10 111
_ J 1 1 1 1 一
~1 1 1 1 0 1 0 1 1
T
1 1
M （RS ）= = M RS = o 1
_
1 1 1〕 1 0 1
0 1 1
M （RS ）丄二M s 丄 M R 丄。

5. 图2-3所示的图形是集合
别写出对应的关系矩阵，并说明每种关系所具有的性质（自反性，对称性，反对称性，传递 性）。

1 1 1 0 1 1
M Rj
1 0
J
「1 1 0
0 0 1
0 1 0
1 0 1
Ms —] 0 1 0
M R 1 二 M s 1 M R 丄
_
1 1 0 0 0 1 1 0 =[0
1 01 1 0 1
■
1
J
图2-3
1 0 0
0 1 0
解M § = . 0 0 1_j R
i具有自反性，对称性，反对称性与传递性。

1 0 0
0 1 1
M R2=P 1 1j
R
2具有对称性与传递性。

0 1 0
0 0 1
M R3= J 0 0J
R
3具有反对称性。

0 0 0
0 0 0 皿艮八0 00」R
4具有对称性，反对称性与传递性。

说明本题判断关系所具有的性质，主要通过已知关系图与求出的关系矩阵进行， 同时对于 比较难于判定的传递性，都可以一结合定义进行判定。

如果不破坏定义所要求的条件， 可以 认为满足定义要求，如对 R
4的判定。

5. 5.
下列关系是否具有如下性质：自反性，对称性，反对称性，传递性？
⑴ R 二｛ x, y |x,y l,x y ｝； ⑵R 2 =｛ x, x | x _ 0,且
x 为实数｝；
⑶A 上的恒等关系R 3 = ｛X ,X |X ・ A ｝； ⑷A=｛1,2,3「，0｝上的空关系'o 解⑴
R
I 具有反对称性与传递性；
⑵R 2具有反对称性；
⑶
R
3具有自反性，对称性，反对称性与传递性；
⑷A 上的空关系具有对称性，反对称性与传递性。

说明 本题中的前两个小题均为无限集合，第 ⑶小题也未给定集合 A 的元数，这样不能得 到完整的关系图与关系矩阵。

但是，可以在草纸上作出部分元素的关系图与关系矩阵进行判
断，同时要充分利用定义要求，便具有该种性质。

第⑷小题，与上题中⑷题类型一致，只是 元数大一些，结果应与上题⑷相同。

7.设R 和R 2是集合A 上的任意关系，试证明或用反例推翻下列论断： ⑴若R 1和R 2都是自反的，则 R 1 R
2也是自反的； ⑵若R 1和R 2都是对称的，则
R 1
R 2也是对称的； ⑶若R 1和R 2都是反对称的，则 R 1
R
2也是反对称的；
⑷若
R
1和
R
2都是传递的，则
R 1
R
2也是传递的。

证 ⑴论断正确。

对任意a A ，若R 和R 2都是A 上的自反关系 ，
(a,a 护 R ,(a,a )^ R ?
所以a,a R 2，即R
1 R 2也是自反的。

⑵论断不正确。

例如，设 A 二｛x,y,z ｝，当 R =｛ a,b , b,a , c,c ｝, R 2 =｛ b,c, c,b ｝，R I 与 R ?都是对 称的，但是R 1只2 =｛
a,c
, c,b ｝已不是对称的，故原论断不正确。

⑶论断不正确。

R i 門 a,a , b,a , b,c , c,a ｝
例如，设集合A
二｛a
,b,
c ｝，当R
2二
｛a,b,b,
b b
,c,c,
c ｝ R 与
R
2都是反对称的，但
是，R i
只2 =｛(a, b
)(b,b )(b,c )(c,b ｝已不是反对称的，(因为(b,c )(c,b )w R R 2)，故
故原论断不正确。

⑷论断不正确。

例如，设集合 A =｛a,b,c ｝，当 R i 門 a,b , b,c , a,c ｝, R^｛ b,c , c,a b,a ｝，
R i R^｛ a,a , a,c , b,a ｝不是传递的，因为 b,a • R 只2, a,c • R R ，而 b , c ' R 1 R 2，故原论断
不正确。

证毕。

8•设R的关系图如图2-4所示，试画出r
(R)，S(R)和t(R)的关系图。

r(R)
s(R)
t(R)
图2-5
说明 ⑴对于
r(R)
的关系图，因为r(R)二R - I A ，只要在R 的关系图上对没有自回路的 结点都添加上
自回路，使可以画成 R 的自反闭包
r(R)
的关系图。

⑵ 对于s(R)的关系图，因为s(R)二R- R*，只要将R 的关系图中所有单向弧都画成双 向弧，便可以画成 R 的对称闭包s
(R)的关系图。

n
t(R) = R "在
⑶ 对于t(
R)的关系图，当R 是有限集合上的关系时，'‘ © 画图时，如果R 关 系图中从结点 x
到
d
b
c
a
d
c
a
b
c
结点y有一连串带箭头的头尾相接的弧相连着，则在R的关系图上添加一条直接从x到y的弧，便可以画出t(R)的关系图，如图2-5中t(R)关系图上的a与c，a与d，a 与e，b与d之间都应画一条有向弧。

但是这里要特别注意Gd两个结点，原有
两条c到d与d到c的有向弧，这属于总结规律中的特殊情形，作为结点c看成是两个结点
的重合，所以结点c处要画一条自回路，表示从结点c到结点c。

同理，结点d也要画一条
自回路。

9.设集合A ={1,2,3,4}，A上的关系R ={(1,2，2,3 )(3,1，4,4}求t(R)和sr(R)，并写出它们
的关系矩阵
解因为R={1,2,2,3,3,1,4,4}
2
所以R 二{1,3,2,1 ,3,2,4 ,4}
R3={1 ,1 , 2,2,3,3,4,4}
R4={ 1 ,2,2,3,3,1,4,4}
t(R) =R R2R3R4
={ (1 ,1 ,1,2 ,(1,3 ,2 ,1 ]2,2 ,2,3 ,(3,1 )(3,2 ,3,3 ,4,4 }
r (R) = R I A
={1 ,1 , 1 ,2,2 ,2,2 ,3,3,1, 3,3,4 ,4}
(r(R))」二{1,1, 1 ,3,2,1, 2,2,3,2,3,3,4,4}
sr(R) =r(R) (r(R))」
二{ 1,1 , 1,2 , 1 ,3,2 ,1 2 ,2,2,3,3,1 , 3,2,3,3,4 ,4}
此题t( R)
二
sr(
R),故其关系矩阵为
1110
1110
1110
M
t(R) = M sr(R) = -0 0 0 1_
说明此题t(R)二sr(R),这纯属偶然情况，一般地，t(R) =sr(R)。

10.设R是集合A上的二元关系，若R是传递的，则r(R)
也是传递的，而
s
(R)不一定是传递的。

证由§ 2.4定理1知，R是传递的，当且仅当t(R) =R,故要证r(R)
是传递的，只需证明t(r(R))
=r(R)。

因为t(r(R)) =t(R「I A) =t(R「R0) = R0)"(I^ R°)
i
(2 R0)" = u R j
下面用归纳法证明j出
当i -1时，左端=R R0=右端
k
, (2 R0)k=2 R j
假设当i =k时，命题成立，即' ) u
k
.,’ (RuR 0)2 = (RuR 0)k (R.R 0)=uR j (R.R 0
) 当 i =k
T 时， i=o
由§ 2.2，习题7的结论，可得
k
k 厂占(R R 0
)
k ；：1
R
j 丄 k 1
R
j o
::i .
R j
故 t(r(R))十
jM R
即t (r
(R))二r(R)，故r(R)是传递的。

s
(R )不一定是传递的。

例如 设集合
A
二｛a,b,c ｝上的二元关系 R ，当R 二｛ a,b , b,c , a,c ｝，R 是传递的，而 s(R)
=R 一 R 」=｛ a,b , a,c , b,a , b,c , c,a , c,b ｝时，s(R)已经不是传递的。

证毕。

11.
设R 是集合A 上的二元关系，判断下列命题是否正确？ ⑴ rt(R) =tr(R)；⑵ ts(R) =st(R)。

解⑴命题正确。

由于 tr (R) =t(R I A )， rt(R) =t(R)
I A ，并利用 R 」A = 1 A R ，以及对于一切
n
自然数n , I A=I A ，用数学归纳法的可以证明
(R -
I A
)"A -^R)，所以
tr(R) =t(r(R)) =t(R_. I A )
=(R l A
) 一(R- l A )? 一 (^- I A )3 -
=I A
- R - R ? - R 3
-
=I A - t(R)=r(t(R)) = rt(R)。

⑵ 命题不正确。

可以证明 st(R)匚ts(R)。

首先证明，当 R i 二 R ?时，则 s(R i ) = s(R 2)且t(R i ) =t(R 2)。

这是因为，
s(R i
)
是对称的且s(R i )二
R
1，但是
R
1 = R ?
，故
s
(RJ 二
R
?。

由S (
R
2)的定
义，s(R ?)是包含R ?的最小对称关系，故s(R)二s(R ?)。

同理可证， t(RO 二 t(R 2)。

由对称闭包定义，有 S(R)二R ，利用上面证过的结论：
ts(R)二 t(R),sts(R)二 st(R)
再由教材P58例5(2)可知，
s(R)
是对称的，ts(R)也是对称的，又根据§ 2.4定理1中(2)， ts( R)
是对称的，当且仅当 sts(R) =ts(R)，因此 ts(R)二 st(R)，即 st(R)三 ts(R)。

st(R)二 ts(R)不一定成立。

例如，集合
A
H ｛a
,b,c ｝
上关系，
k
R _ _ R j R 0 k 1 R j
j =0
-R° = t(R) 一 I A = R- l A =r(R)
R 珂a,b ,b,c｝，则R2珂a,c｝, R3二,R’ 珂b,a ,c,b｝，
t(R) = R 一R2一R3
=｛ a,b , b,c , a,c｝
(t(R))」={ b,a ,c,b, c,a}
s(t(R)) "(R) 一t(R)，
={ a,b ,a,c, b,a b,c ,c,a, c,b}
而s(R)二R 一R J={ a,b , b,a , b,c,c,b}
s(R)2{ a,a , a,c , b,b , c,a , c,c}
(s(R))3二{a,b ,b,c ,b,a, c,b}。

t(s(R)) =s(R) 一s(R)2一s(R)3
珂a,a , a ,b , a ,c , b,a , b ,b , b ,c , c,a , c ,b , c ,c}
故s(t(R))不包含t(s(R))
12.设R|和R2是集合A上的二兀关系，试判断下列命题是否正确？
⑴ r(R 一R2)寸侃)rR)；
⑵ s(R R2) =s(R i) S(R2)；
⑶ t( R - R2 ) - t(R l t(R2 )。

解⑴命题正确。

因为r(R i ".J R2) = R i R2 j A = R i ".J I A'1」R2 -• I A = r (R i)r(R2)。

⑵命题正确。

首先证明
任取a,b- (R i _• R2)，当且仅当b，a • R &，当且仅当b，a • R或b,a • &, 当且仅当a，b・,或a，b・R2J,当且仅当a，b・R’ R2 1,故证得
—.i 丄_ . i
)= R i ■ R2
(R
i _ R2
而S( R - R2 ) ~ (R i - R2) - (R - R2 )
——i —. i
=R i_ R2 _ R i- R2
—• i ——• i
=(R-^ _ R i) - (R2 - )
二s(R) 一sR)
⑶命题不正确，可以证明t(R i - R2) = t(R i) t(R2)。

因为R i - R2 - R i ,利用前一例题中⑵证明中证过的结论：当R i二R2时，则
t(R i )二t(R2)，有t (R i - R2)二t (R i )
同理，R i - R^ R2，有t(R - R2) JR)
故t(R i 一R2) =t(R i) _• t(R2)
t(R i) 一t(R2)=t(R i 一R2)不一定成立。

例如，设集合A
二{a
,b,
c} , A上的二元关系R i和R2分别为
R ={ a,b , b,c} R2 ={ a,c , c,b}则
R i2={ a,c} R i3二
R；珂a,b} R；二
t(RJ 二尺一R i2 - R i；={ a,b , a,c , b,c}
t(R
2)讥-R ； - R ；二{ a,b , a,c ,c,b} t(R i ) t(R 2)-{ a,b , a,c , b,c , c,b}
而 R i _ R2={ a,b ,a,c ,b,c , c,b}
(R i R 2) ={ a,c , a,b , b,b , c,c} (R i 一 R 2)3={ a,b , a,c ,b ,c,c ,b} —
—
— — 2 — — 3
t (R i
R 2
) = (R"i
R 2
) - (R"i - R 2
) - (R i
-
R 2
)
显然，
={ a,b , a,c , b ,b , b,c , c,b , c ,c} t(R 1
) _. t(R 2
)不包
含 t(R 1
R 2
)
13.设集合
A
二{a,b,c,d,e} , A 上的关系关于等价关系 R 的等价类为:
M i ={a ，b,c}, M
2 ={d,e}，试求:
⑴等价关系R :⑵写出关系矩阵M
R ；
⑶画出关系图。

解 ⑴ 因为等价关系R 具有自反性，所以
I A ={ a,a , b,b , c , c, d,d ,e,e}。

I A R
又因为 a,b,c 在同一个等价类中 ,
所以{( a,b), (b,a), (a,c), (c,a)(b,c), (c,b)}
5 R
再因为
d,e
在同一个等价类中，所以 {
(d,e),(e,
d)} 乂 R
因此 R =1A - {(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)}。

14.
设R i 和R 2是非空集合A 上的等价关系，下列各式哪些是 A 上的等价关系？哪些不 是A 上的等价关系？举例说明：
⑴ A A - R i ；
⑵ R i - R 2 ； 2
⑶ R ；
⑷ r(R 1 - R 2)；
图2-6
1 1 1 0
1 1 1 0
M
R = l i 1 1 0
0 0 0 1
⑸ R l R2
解⑴A A-R i不是A上的等价关系。

例如，设集合A二{a,b} , A上的关系R^{ a,a ,b,b}
A A ={ a, a ,a,b ,b,a, b,b}
A A-R 二{a,b , b,a}不具 A A-R i
不是A上的等价关系。

⑵R1 -R2不是A上的等价关系。

例如，设集合A二{a
，
b
，
C}
,
R ={ a,a , a,b , b ,a , b,b , b,c , c ,b , c,c}
R2 -{ a,a , b,b , c ,c}
R -R2 ={ a,b, b ,a , b,c , c,b}不具有自反性和传递性，因此R i -R2不是A上的等价关系。

⑶R
2是集合A上的等价关系。

2
因为R是集合A上的等价关系，任取A ,有a，a• A ,而且有
a,a• R i只1二R i , 所以R2在集合A上是自反的。

任取a,b・A,若a,b • R2,则存在A,使得a,c • R且c,b • R,因为R i是
2 2 对称的，有c，a•尺且b,c •尺，于是b，a• R i ,所以R i是对称
的。

任取a,b,c・A,若a,b • R2且b,c • R；,贝y存在d,e・A ,分别使得
a, d R i,且d,b R
b, e R ,且e,c R i
由于R i是传递的，元素a与b之间以d为中介元素，b与c之间以e为中介元素，有
a,b R
i , b,c • R ,再根据关系的复合，有a,c• R R i =R i2所以R i2是可传递的，
2
故R是集合A上的等价关系
⑷r(R1 -R2)不是集合A上的等价关系。

由⑵题所举例子，R1 -R2 二{ a,b , b,a , b,c ,c,b}
有r(R1 i R2)=(R li R2) - I A
巩a, a , a,b , b,a , b,b , b,c , c,b , c , c}
r(R i -R2)不具有传递性，所以r(R i -R2)不是集合A上的等价关系。

⑸R i R2是集合A上的等价关系。

对于任意a・A，有a,a • R且a,a R2，故a,a R i R2，因此R i R2是自反的
任取a
，
b
A，若(a，b)•R i, R i是对称的，必有(b,a)，R i，而R2是自反的，对于
a,b A，有(a,a) R2,(b,b) R2，由(a,b) R i与(b,b) R2,得(a,b) R i R2,由(b,a)・R| 与(a, a)，R2，得(b, a)，R i R2 ,因此R i R2 是对称的。

任取a,b,c・A，若(a,b)・ R i, (b,c) • R i , R i是传递的，必有(a,c)・ R i。

由于R
2是自反的，由
(a,b) R 与(b,b) FR ，得(a, b) R R ? (b,c) R 1 与(c,c)
R ?，得(b,c)
R i R 2 (a,c)乏 R i 与(C ,C )E R 2,得(a,c) E R R
故R i R 2是集合A 上的等价关系。

15.设集合A={
1,2,3,4
}，A 上的四个半序关系分别为：
R ={( 1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2),(2,3), (3,3), (4,4)}
R 2 二{(1,1), (1,2), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)} R 3 二{(1,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,4)}
R ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2),(2,3),(2,4), (3,3), (3,4),(4,4)} 试分别画出它们的哈斯图，
并判断起其中哪个具有序关系？ 解 集合上的半序关系的
哈斯图如图
图2-7
其中关系图R 2与所有元素都排在链上，即任意两个元素之间都有关系存在， 所以R 2和
&都是序关系。

由于 R 2和R 4中每一非空子集都有最小元，所以也都是良序关系。

说明此题中的阿拉伯数字已经失去了它们在实数集中的大小关系，
应该把它们看成四个
不同符号。

16.设集合
A
珂
2,3,4,6,8,12,24｝，R 为A 上的整除关系。

⑴画出半序集（A,R
）的哈斯图；
⑵写出集合 A 中的最大元，最小元，极大元，极小元； ⑶写出A 的子集B 二
｛2
,3,6,
12
｝的上界，下界，最小上界，最大下界。

解 ⑴半序集（A,R
）的哈斯图如图2-8所示。

哪个具有良序关系?
2-7所示。

R i
R 2
R i
8
12
6
图2-8
⑵集合A 中的最大兀是24,无最小兀，极大兀也是 24,极小兀是2和3。

⑶集合B 的上界是12与24,无下界，最小上界是
12,无最大下界
说明最大元与极大元的区别在于， 最大元是一个集合中的最 大”者，若有则是唯一的；而 极大元则是集合中的元素没有比它“大” 的，可能不唯一。

对于最小元与极小元具有同样情
况。

这里把“大”字用弓I 号引起来，因为实际上不一定在研究数与数之间的大小关系，而是 在研究某种半序关系。

17. 设R 是集合A 上的半序关系，且
B
A ，试证明R'Rr （
B B ）是B 上的半序关 系。

证 对于B 任意，因为B A ，故A ，而R 是A 上的半序关系，贝U R 在A 上具有 自反性，于是
（a,a ）・R ，且（a,a ）・B B ，这样可得
（a,a ） R 一 （B B ）二 R
即R •在B 上是自反的。

任取a,b • B ，且a = b ，若（a,b ） • R •，可得（a,b ） • R 且（a,b ）・B B ，因为R 具有 反对称性，必有（b, ab' R ，故（b, aV R,即R 在B 上具有反对称性。

对于任意a ，b,c ・B ,因为B A ,故a,b,c ・A ,若（a,b ） • R 且（b,c ） • R 而 R=R-（B
B ），故（a,b ） R 一 （B B ）,（b,c ） R 一 （B B ），由（a,b ） R 一 （B B ）, 可得（a,b ） •
R 且（a ,b ）・B B ，即当（a ,b ）・R
同时R 且b R 。

同理，当（
b,
c ） • R - （B
B ）
，也有（
b,
c ） •
R
同时 b R 且 c • R 。

因为R 在A 上具有传递性，由（a,b ） • R 且（b,c ） • R ，得（a,c ），R 。

又a,b,c ，B ，故
（a,c ）・B B ，因此（a,
c ）・R
-
（
B B ）二R ：R ，满足传递性，所以R 是B 上的半序关
系。

18 设集合
A
二｛0
,1,2,3
,4,5｝,
B 二｛% ,
映射二定义为二(2n) =0,；「(2 n 1) =1,( n =0,1,2),C =｛2,3｝ 解 因为二:A > B , A 二｛O ，
1,2,3,4,5
｝, B 二
｛0,1｝
，当 a A 时
3
8
12
6
"▽(2n)=0
当门=0,1,2时，a = 0,2,4 cr (a)=
呼(2n+1)=1
当门=0,1,2时，a=1,3,5
而 C 二{2,3}
A ，设映射.:C > B
此时n 只取1, a = 2 此时n 也只取1, a =3
a = 2
a = 3
为 二 在 C 上 的 限 制 二(0)
=
0,
二(2)
= 0,
；「(4)
= 0,二⑴二仁⑶=仁⑸二1为.在A 上的扩充。

19. 设A 和B 是两个有限集合，它们的元数都是
n ，则二:A > B 是单射的充分必要条件
是二为满射
证 必要性，当-是单射时，二
(A)
的元数是n ，而匚(A)〈 B ,B 的元数也是 n ，故 二(A) =B ，因此
c : A > B 是满射。

充分性，若二:A > B 为满射时，有 匚(A) = B ，则；「(A)的元数为n ，A 的元数也是 n ，n 个原象对应n 个象，即不同元素对应不同的象，因此
二是A 到B 的单射。

20. 设 R 为实数集，二：R R 、Rf (X,y) =x y,又.:R R > R, (x,y^ x y,试证 明二和•都是满
射，而不是单射。

证 对于任意a • R ，可以使
x
y 成立的
x,
y 有无数对，且(x,
y)
•
R R
，也就是说
值域R 中每个元素都有无数原象在 R R 中，所以二是满射，而不是单射。

对于任意a ・R ，能使a =x ・y 成立的x, y 也不止一对实数存在。

例如a =6，而 x=
2,
y=3，或
x=3,y=
2,
•…，即象集中每一元素都有原象， 而且原象不唯一，所以•是 满射，而不是单射。

证
毕。

说明 欲证明一个映射为满射时， 通常采用取值域中任意元素， 按映射对应都有原象存在时，
则可确定该映射为满射，或者直接证得
二
(A)
= B 。

欲证一个映射为单射时，按定义一般有两种方法，一是任取
a ,b
属于定义域， 且a = b ，
能证得二(a
)r 「(b)。

另一种方法是：取 二(a)二二(b)属于值域，证得a 二b 。

21.设集合
A
二
{a
,b,c}，匚与.为A > A 的映射，
若仃={( a,c),(b,b), (c,b)}, £ ={( a,b), (b,a),(c,c)}，试求 E 灯与⑴吃；若▽与E 为 A 上的两个二元关系时，•匸与二••又将怎样呢？ 解 根据复合映射的定义，有
• Q ={(a,c),(b,a),(c,a)},；「— ={(a,b),(b, c),(c,b)}
若二与•为A 上的两个二元关系时， 则
u ={( a,b), (b,c),(c,b)},営 ^{( a,c),(b, a), (c, a)}
说明 上述两种结果，当左端相同时，而右端不同，恰是一种交叉，其原因就是 A 》A 的
复合映射与A 上的复合关系定义符号 的规定不同，请读者再一次仔细对比两种定义的符 号表示。

22.设为R 实数集，c (x^x^2, (x^x 4, (x^x^5都是R > R 的映射。

(1)
求 :二，匚••，并分别判定是否为 R > R 的满射，单射，双射？
■： J 一 一
二(2n) =0
二(2n 1) = 1 故皿％(犷〔1
即 .(2) = 0, .(3) = 1
T (a) = *
(2)问.是否存在？如果存在，试求出来。

2
解(1)因为二(X)二X - 2, (x^ x 4
所以(v)(x) =( L(X)) =(X2-2) =X2-2 4 =X22
按照开口向上的抛物线确定，•厂不是满射，也不是单射，更不是双射。

(二)(x)(二(.(X)) (x2一2) = (x 4)2一2 x28x 14
同样以开口向上的抛物线确定，二.不是满射，不是单射，也不是双射。

(3)因为R》R映射「(X)=X3-5是双射，故''存在，「」(X)=3X・5。

1 11
23 .设映射二：Ar B , . : Br C，二，.都是双射，求证(••；「) ■ ■ ■。

证由于二,.都是双射，因此二,.均可逆，分别存在逆映射，二：B》A,「： C > B 故复合映射匚A . ' ：C r A。

因为口和£都是双射，所以i ◎也是双射，且w. A T C，则E心必有逆映射C ■■■■') '：Ar C
既然cr二弋」与(都是C从A到的映射，对于任意c^C ,设'(c)二b, '(b)二a，则有(匚」」)(c) _ ；「」(• ’(c))二a'(b)二a
而(.二)(a)二•(二(a)) = . (b) = c
可得出(.；「)二(c) = a 因此(二'.」)(c) =c(c)
1 11
由于c・C是任意的，故有(..；「) 乂 .证毕。