甘肃省武威市民勤第四中学2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科)(实验班)

甘肃省武威市民勤第四中学2020-2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（实验班）
第 Ⅰ 卷
一、选择题本题12个小题，每个5分，共60分
2
＝错误!y 的焦点到准线的距离是
A ．2
B ．1
2 已知复数的共轭复数\to ＝1＋2ii 为虚数单位，则在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3命题“
，都有”的否定是（ ）
A ．，使得
B ．，使得
C ．，都有
D ．，都有
4．函数f ＝2
＋2f′1，则f －1与f1的大小关系为 A ．f －1＝f1 B ．f －1<f1 C ．f －1>f1
D ．无法确定
5 过抛物线y 2
＝4的焦点作直线交抛物线于A 1，y 1，B 2，y 2两点，如果1＋2＝6，那么|AB |等于 A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 6 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， M 为AC 与BD 的交点，若=
，
=
，
=则下列向量中与
相等的向量是（ ）
A B
C
D
7 与椭圆2
2
9436x y +=有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为
A 22
16y x += B 22143y x += C 22
16x y += D 22185
x y += 8 已知条件:|1|2p x -<，条件2
:560q x x --<，则p 是q 的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 9 设函数f ＝错误!＋ln ，则 A ．＝错误!为f 的极大值点 B ．＝错误!为f 的极小值点 C ．＝2为f 的极大值点
D ．＝2为f 的极小值点
10 直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为
2
0x x -≤00x ∃>2
000x x -≤00x ∃>2
000x x ->0x ∀>20x x ->0x ∀≤20x x ->
11 已知点F 1、F 2是椭圆错误!＋错误!＝1a>b>0的左、右焦点，在此椭圆上存在点12
b a -OM 31OA 31OB 31
OC
一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部上述命题中的真命题是
第II 卷
三．解答题本部分6个小题 ，共70分
17．本小题满分10分设命题：实数满足，其中，命题：实数满足． （1）若，且
为真，求实数的取值范围．
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18 本小题满分12分 已知空间三点A －2，0，2，B －1，1，2，C －3，0，4，设a ＝错误!22
22:1(0)
x y C a b a b
+=>>()
0,11
12
（，）作直线l ，交椭圆于A ，B 两点．如果M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程． 21 本小题满分12分 如图所示，在四棱锥⊥
1求证：AM⊥所成的角的余弦值．
22．本小题满分12分已知函数f ＝错误!2
＋aln
1若a ＝－1，求函数f 的极值，并指出是极大值还是极小值；
2若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞上函数f 的图像在函数g ＝错误!3
的图像的下方．
p x 2430x ax a +<-0a >q x 3
02
x x -≤-1a =p q ∧x p ⌝q ⌝
a
参考答案
一、选择题：（12*5＝60）
134 ； 14 3－y ＋1＝0；15 5； 16 ④ 三、解答题：（6小题，共70分） 17 本小题满分10分
解:对于命题：，其中，∴， 则：，．由
，解得，即：． （1）若，解得：，
若为真，则、同时为真，∴，解得，
∴实数的取值范围．
（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
∴，即，解得．
18 本小题满分12分
解：1∵a ＝1，1，0，b ＝－1，0，2，∴a ·b ＝1，1，0·－1，0，2＝－1 又|a |＝错误!＝错误!，|b |＝错误!＝错误!，
∴cos 〈a ，b 〉＝错误!＝错误!＝－错误!∴a 和b 夹角的余弦值为－错误!
2∵a ＋b ＝0，1，2
，a －b ＝2，1，－2，∴λa ＋b ＋μa －b ＝2μ，λ＋μ，2λ－2μ． ∵·0，0，1＝2λ－2μ＝0，
即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时，可使λa ＋b ＋μa －b 与轴垂直． 19 本小题满分12分
解析：1∵f ＝3
＋a 2
＋b ＋c ，∴f ′＝32
＋2a ＋b 由题易知，错误!解得错误! 2由1知，f ′＝32
－－2＝3＋2－1，
∵当∈错误!时，f ′>0；当∈错误!时，f ′<0； 当∈1,2]时，f ′>0∴f 的单调递增区间为错误!和1,2]． 20 本小题满分12分
解：（1） 由题知: 1,,2c b a ==
∴22
4,1a b ==∴ 椭圆方程22:14
x C y += （2）由（1）得椭圆的方程为：x 2
4+y 2=1，设直线l 的方程为：y −1
2=（﹣1），将直线y −1
2=（﹣1）代入椭圆方程，
p ()(3)0x a x a --<0a >3a x a <<p 3a x a <<0a >3
02
x x -≤-23x <≤q 23x <≤1a =p 13x <<p q ∧p q 23
13x x <≤⎧⎨<<⎩
23x <<x (2,3)p ⌝q ⌝q p 33
2a a >⎧⎨≤⎩
12a a >⎧⎨≤⎩12a <≤
得（142）2﹣4（2﹣1）（2﹣1）2
﹣4＝0， 设A （1，y 1），B （2，y 2）则x 1+x 2=
4k(2k−1)1+4k 2
，
M （1，1
2）恰好是线段AB 的中点，12＝2，即
4k(2k−1)
1+4k 2
=2，解得=−1
2
则直线l 的方程为y −1
2=−1
2（﹣1），变形可得2y ﹣2＝0． 21 本小题满分12分
解 1∵⊥＝B ，AB ⊂平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，∴ ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥0，
1，1．∴错误!的一个法向量为n ＝，y ，，由n ⊥错误!所成的角为α，则sin α＝错误!所成的角的余弦值为错误! 22 本小题满分12分
解：1由于函数f 的定义域为0，＋∞，
当a ＝－1时，f ′＝－错误!＝错误!，令f ′＝0，得＝1或＝－1舍去． 当∈0，1时，函数f 单调递减，当∈1，＋∞时，函数f 单调递增， 所以f 在＝1处取得极小值，极小值为错误!
2 证明：当a ＝1时，设F ＝f －g ＝错误!2
＋ln －错误!3
，则F ′＝＋错误!－22
＝错误!，
当>1时，F ′<0，故F 在区间1，＋∞上是减函数．又因为F1＝－错误!<0，所以在区间[1，＋∞上F<0恒成立，即f<g 恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞上函数f 的图像在函数g 图像的下方．。