第五章 先进的数学

第五章 先进的数学
第一节 几何画板基础教程
《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press 公司制作并出版的几何软件，它的全名是《几何画板--21世纪的动态几何》。

《几何画板》是一个适用于初中数学教学的软件平台。

它为老师和学生提供了一个探索初中数学内在关系的环境。

《几何画板》的设计和制作完全符合我们的数学原理，因此学习和使用起来特别方便。

一、 入门知识
1. 安装和启动几何画板
安装：双击几何画板4.06中文版安装程序 →下一步→下一步→安装→完成→在弹出的对话框中按确定→确定→确定。

启动：双击桌面上的几何画板图标，打开几何画板，如图所示：
2. 工具栏中各种工具的使用方法
第一个工具是选择工具，用来选择一个对象，按住鼠标左键不动，就可以发现还有另外两个工具，分别是用来对对象进行旋转和缩放的工具，向右拖动就可以选择所需要的工具了。

第二个工具是画点工具。

将鼠标移动到，并单击鼠标左
键就选择好了画点工具，然后再将鼠标移动到工作区并单击
就可以画一个点。

第三个工具是画圆工具。

将鼠标移动到，并单击鼠标左
键就选择好了画圆工具，然后再将鼠
标移动到工作区，按住鼠标左键不放
并拖动鼠标到另一位置后松开鼠标左
键，就可以画一个圆。

第四个工具是画线段工具。

将鼠
标移动到并单击鼠标左键就选择好了
画线段工具，然后再将鼠标移动到工作区，按住鼠标左键不放并
拖动鼠标到另一位置后松开鼠标左键，就可以画一条线段；把鼠
标移到画线段工具上不动就可以发现还有另外两个工具，分别是
用来作射线和直线的工具，
向右拖动鼠标就可以对所需的工具进
菜单栏
工具栏 状态栏
工作区
行选择了。

第五个工具是文本工具。

将鼠标移动到工具栏，并单击鼠标左键就选择好了文本工具，双击工作区中的点或线或其它对象就可以给它们命名或双击工作区中的文本就可以输入文本内容了。

第六个工具是自定义工具。

将鼠标移动到自定义工具的图标上，并单击鼠标左键就可以对其中的自定义工具进行选择了（此工具往往能够起到事半功倍的效果）。

二、 基本作图(一)
1. 在线上取点
任意画一条线段、射线或直线（可用画线段工具画线段或射线或直线；也可先画两个点，然后选中它们，然后到菜单栏中选择作图，选择线段或射线或直线进行单击），然后选择画点工具，移动鼠标到合适的位置（此时线段的颜色会自动变为蓝色）进行单击就可以实现在线上取点了。

2. 画一条固定线段
（1） 在工作区用画线段工具任画一条线段AB →用画点工具
在另一个地方任画一个点C →依次选择点A 和点B →在菜单栏中打开“变换”菜单→点击其中的“标记向量”命令
→用选择工具选择点C →在菜单栏中打开“变换”菜单→点击其中的“平移”命令→平移→用画线段工具连接C 、
D →用文本工具分别给各个点标上字母→用Ctrl+H 隐藏第一条线
段AB 。

（2） 在工作区用画点工具任画一个点→在菜单栏中打开“变换”菜
单→点击其中的“平移”命令→选择其中的“极坐标”（或“直角
坐标”）→固定距离：3厘米，固定角度：60度→连接这两个点→用文本工具分别给各个点标上字母。

3. 画任意三角形
（1） 选取画线段工具，在工作区的适当位置先画一条线段（此为三角形的第一条
边），得到两个点，在第二个点上单击然后拖动到合适的位置再单击，得到三角形的第二条边，然后单击第二条边的第二个点拖动鼠标到第一条边的第一个点上单击，得到一个任意三角形。

（2） 选取画点工具，在工作区的适当位置任意画三个点，然后选取选择工具依次选
取三个点，在菜单栏中选择作图菜单，选择线段菜单进行单击就可得到一个任意三角形了。

4. 画直角三角形
（1） 选取画线段工具，在工作区的适当位置先任意画一条直线，选取选择工具，选
择直线上的一个点和这条直线，选取菜单中的作图，选取其中的垂线，得到第二条直线，选取画点工具，在第二条直线上任取一点，用选择工具选择两条直线，Ctrl+H 隐藏这两条直线，得到三个点，再用画线段工具连接这三个点就可以得到一个直角三角形了。

D A B C
B
（2）选取画线段工具，在工作区的适当位置先任意画一条直线，选取选择工具，双击其中的一个点，选择这条直线，选取菜单中的变换，选择旋转菜单，在跳出的对话框中选择旋转按钮得到第二条直线，在第二条直线上任取一点，用选择工具选择两条直线，Ctrl+H隐藏这两条直线，就剩下三个点，再用画线段工具连接这三个点就可以得到一个直角三角形了。

选取画线段工具连接这三个个点就可以得到一个直角三角形了。

5.画等腰三角形
（1）选取画线段工具，在工作区的适当位置先任意画一条线段，选取画圆工具，单击线段的一个点，拖动鼠标在第二个点上单击得到一个圆，选取画点工具，在圆上任意取一点，用选择工具单击圆，利用Ctrl+H隐藏圆，用画线段工具连接各点得到一个等腰三角形。

（2）选取画线段工具，在工作区的适当位置先任意画一条线段，选取选择工具，利用鼠标左键双击第一个点，选择这条线段，选取菜单中的变换，选择旋转菜单，在跳出的对话框中输入顶角的度数，选择旋转按钮得到第二条线段，选取画线段工具连接两个点就可以得到一个等腰三角形了。

（3）选取画线段工具，在工作区的适当位置先任意画一条线段，此时这条线段处于被选中状态，在菜单栏中选择作图，再选择中点，选择线段和中点，在菜单中选择作图，再选择垂线，在垂线上任取一点，单击这条垂线，用Ctrl+H隐藏垂线，用画线段工具连接三个点得到等腰三角形。

6.画等腰直角三角形
选取画线段工具，在工作区的适当位置先任意画一条线段，利用鼠标左键双击第一个点，选择这条线段和第二个点，选取菜单中的变换，选择旋转菜单，在跳出的对话框中点击“固定角度”，在对话框中输入度数为，选择旋转按钮，连接剩下的两个点就可以得到一等腰直角三角形了。

7.画等边三角形
选取画线段工具，在工作区的适当位置先任意画一条线段，利用鼠标左键双击第一个点，选择这条线段和第二个点，选取菜单中的变换，选择旋转菜单，在跳出的对话框中点击“固定角度”，在对话框中输入度数为60，选择旋转按钮，连接剩下的两个点就可以得到一等边三角形了。

8.画四边形
（1）平行四边形：用画线段工具先画两条线段组成一个角∠CAB→依次选择点A和点B→在菜单栏中选择变换→标记向量→选择线段AC和
点C→在菜单栏中选择变换→平移→连接剩下的两个点就可以得到平行四边形；在工具栏中选择文本工具→分别把鼠标放在点A、B、D、C上双击→在弹出的对话框中分别输入A、B、D、C就可以得到平行四边形ABDC了。

（2）矩形：用画线段工具先画两条互相垂直的直线AB、AC →依次选择点A和点B→在菜单栏中选择变换→标记向量
D A
B
→选择点A和点C在菜单栏中选择变换→平移→用选择工具直线AB、AC，利用Ctrl+H隐藏直线AB、AC→用画线段工具依次连接AB、BD、DC、CA就可以得到一个矩形；在工具栏中选择文本工具→分别把鼠标放在点A、B、D、C上双击→在弹出的对话框中分别输入A、B、D、C就可以得到矩形ABDC了。

（3）菱形：在工作区用画线段工具任画一条线段AB→用画圆工
具以点A为圆心、经过点B画圆A→用画点工具在圆A上任
取一个点C→用画线段工具连接AC→用选择工具依次点A、B
→在菜单栏中打开“变换”菜单→点击其中的“标记向量”
命令→选择线段AC和点C→在菜单栏中打开“变换”菜单→
点击其中的“平移”命令→平移→用画线段工具连接CD→选
择圆A→用Ctrl+H隐藏圆A→用文本工具分别给各个点标上字母。

（4）正方形：在工作区用画线段工具任画一条线段AB→双击点A→选择线段AB和点B→在菜单栏中打开“变换”菜单→点击其中的“旋转”命令→在弹出的对话框中输入90→旋转，得到线段AD→双击点D→选择线段
AD和点A→在菜单栏中打开“变换”菜单→点击其中的“旋
转”命令→在弹出的对话框中输入90→旋转，得到线段
CD→用画线段工具连接BC→用文本工具分别给各个点标
上字母，得到正方形ABCD。

（5）梯形和等腰梯形：
1、梯形：在工作区用画线段工具任画一条线段AB→用画
点工具任画一个点D→选择线段AB和点D→在菜
单栏中打开“作图”菜单→点击其中的“平行线”
命令→在平行线上任取一点C→用画线段工具连
接AD、CD、CB→用画线段工具连接CD→选择直
线CD→用Ctrl+H隐藏平行线→用文本工具分别
给各个点标上字母，得到梯形ABCD。

2、等腰梯形：在工作区用画线段工具任画一条线段AB
→在菜单栏中打开“作图”菜单→点击其中的“中点”命令→
在平行线上任取一点C→用画线段工具连接AD、CD、CB→用画
线段工具连接CD→选择直线CD→用Ctrl+H隐藏平行线→用文
本工具分别给各个点标上字母，得到梯形ABCD。

（6）注：
1、双击一个点表示以这个点为旋转中心，可在菜单栏中打开“变换”菜单→点击
其中的“旋转”命令。

2、Ctrl+H表示隐藏某个对象，可在菜单栏中打开“显示”菜单→点击其中的“隐藏对象”命令。

D
A B
A
B
第二节几何画板案例分析
新课改下的初中几何的教学正在发生革命性的变化．过去的几何教学一直过分强调演绎推理，却忽视了几何的“图形”特征．新课改的最大亮点，便是恢复了几何的“图形”特征，削弱证明在初中几何中那种“神圣不可动摇”的地位，使初中几何重新焕发生机．借用学生的话说是：几何“活”了，几何也可以“动”了．课程的改革势必引起教学方法的改革．可不是吗？现在的初中几何的讲台再也不是“粉笔加尺规”就可以上的了，教学理念的变化加上现代教育技术的普遍应用已经给教学手段，特别是几何教学也带来了新的变化和改进．
“信息技术与课程的整合”是我国面向21世纪基础教育教学改革的新视点．借助多媒体的动画效果，更有利于向学生展示几何图形的“动”的一面．计算机辅助教学进人课堂，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其是计算机能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学手段难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，增强他们的直观印象，为教师化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段．几何画板也正是在这样的背景下被研发出来的．现在我们很欣喜地看到这项工具正在给我们的数学教学带来更多的革命性的变化．
[案例一]：
《等腰三角形》是初中几何的一个重点内容，这部分有很多定理．教材在处理方法上引入了较多的动手操作和直观感知，通过折纸、观察、归纳等方法很直观地得出等腰三角形的有关性质和识别．但是由于学生在制作等腰三角形的模型时，存在一定的误差，导致结论不是很准确．而且学生所制作的模型带有一定的局限性，无法更好地解释这种结论的一般性．应用几何画板就可以模拟这些折叠、翻转的动画效果，而且可以达到很准确的效果．然后还可以通过拖动等腰三角形的顶点任意改变它的形状和大小，直观地说明结论的正确性，从而也便于论证结论的一般性．
具体过程如下：
（1）等腰△ABC纸片中，AB=AC，（图1-1）将AB与AC重合在一起折叠，（图1-2）观察→两部分会完全重合→等腰三角形是轴对称图形，折痕AD是对称轴，B与C 重合，BD与CD重合→∠B=∠C，即等边对等角．（图1-3）通过引导学生对折痕AD的分析，也就能很容易得出“三线合一”的性质．用这种直接的方式得出结论，就可以避免烦琐的推理过程，而且也让学生更容易记住结论．
（2）在画△ABC，使∠B=∠C，D为BC中点，连结AD，（图1-4）沿AD为折痕对折，观察→两部分会完全重合→AB与AC会完全重合，△ABC是等腰三角形，即等角对等边．（图1-5）
（3）拖动等腰△ABC的顶点A，改变三角形的形状，得到不同形状的符合条件的三角形，然后重复上述的步骤（1）和步骤（2），也得到同样的结论．让学生掌握以上结论的一般性，（图1-6，图1-7）．
讲三角形内角和定理，以前都是用剪纸、拼接和度量的方法让学生直观感受，但由于实际操作起来都有误差，很难达到理想的效果．现在利用“几何画板”随意画一个三角形（图2-1），度量出它的三个内角并求和（图2-2——图2-5），然后拖动三角形的顶点任意改变三角形的形状和大小（图2-6的钝角三角形和图2-7直角三角形），发现：无论怎么变，三个内角的和总是180度．这无疑大大地激起学生进一步探究“为什么”的欲望．
在学习三角形的三条角平分线（三条中线、三条高或高的延长线、三边的垂直平分线）相交于一点时，传统教学方式都是让学生作图、观察、得出结论，但每个学生在作图中总会出现种种误差，导致三条线没有相交于一点，即使交于一点了，也会心存疑惑：是否是个别现象？使得学生很难领会数学内容的本质．但利用信息技术就不同了，我们可以在几何画板里只要画出一个三角形（图3-1），用菜单命令画出相应的三条角平分线（图3-2），就能观察到三线交于一点的事实（图3-3），然后任意拖动三角形的顶点，改变三角形的形状和大小，发现三线交于一点的事实总是不会改变的（图3-4）．特别是像高这样有特征情况的线，还可以通过拖动得出交点的三个不同位置．（图3-5，图3-6，图3-7）
在学习《探索勾股定理》时，利用“几何画板”作一个动态变化的直角三角形，通过滚动的数值度量各边长度的平方值，（图4-1让点A沿AC方向运动），并通过观察，引导学生发现任何一个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，（图4-2，图4-3，图4-4）从而加深了对勾股定理的认识、理解和应用．
学无定法，教同样也无定法．我们应该在平时的教学中不断地钻研教材，力求以最简洁，最高效的方法进行有效地教学．新课改在对课程改革的同时也带动了教学方法和教学手段的不断创新．因此，我们应该抓住这样的时机，除了关注课程和课堂教学改革的同时，也寻求一些更能提高课堂效率的教学手段的更新．将多媒体辅助教学的方法真正落到实处，不仅做到辅助教学，还要真正做到能促进教学．
第三节几何画板专题训练
1、构造“奇妙的勾股树”
【本课件运行结果】如（图5-1），单击动画按钮，“奇妙的勾股树”动态变化，颜色也进行不断改变，在展示数学规律的同时给人一种赏心悦目的感觉。

【功能运用】
通过本课件的学习，您将重点学习几何画板的【深度迭代】
功能，在制作的过程中您还可以学习一些基本图形的构造
方法以及如何用参数来控制对象颜色的变化。

【制作思路】
首先构造一个直角三角形，并以斜边为边长构造一个正方
形，给正方形填充颜色后，用动态的度量值控制正方形内
部填充色的改变，然后用【深度迭代】构造“勾股定理树”。

下面就让我们开始一步一步构造“勾股定理树”。

【操作步骤】
①新建画板后，用画线工具画出线段AB，双击点A（这样就把点A标记为中心），单击线段AB 和点B，选择【变换】/【旋转】,打开【旋转】对话框,单击【旋转】按钮(此时默认旋转角度为90°),得到线段AB';双击点B'标记点B'为中心,旋转线段AB'(旋转角度为90°)得到线段B'A',依次单击点A'和点B,按快捷键Ctrl+l,构造线段A'B,此时构造出正方形ABA'B'.如(图5-2)
②单击选中线段A'B',按Ctrl+M组合键,构造出A'B'的中点C(点C为选中状态),再依次选中点A'和B'(注意顺序不要搞错啊),选择【构造】/【圆上的弧】,构造出以A'B'为直径的半圆,用画点工具在半圆上画出点D.如图(5-3)
③依次单击选中点A、B、A'、B'，选择【构造】/【四边形内部】,把正方形填充上颜色;在工作区空白处单击后单击选中点A、D，选择【度量】/【距离】得到A、D两点间的度量值。

如（图5－4）
④依次单击选中正方形的填充色和度量值，选择【显示】/【颜色】/【参数】打开【颜色参数】对话框,按图(5-5)进行设置.(用鼠标托动点D看看正方形的填充色有什么改变么)
(图5-5) (图5-6)
⑤选择【图表】/【新建参数】打开【新建参数】对话框,如(图5-6),单击【确定】得到参数t1=1.
⑥依次选中半圆和点C,按组合键Ctrl+H(隐藏它们,为了后面观察方便);依次单击选中点A、点B、参数t1=1.0，按住Shfit键的同时选择【变换】/【深度迭代】弹出【深度迭代】对话框,如(图5-7)。

（图5-7）（图5-8）
⑦当点A对应的框为白色是，单击B'，当点B对应的框为白色时，单击点D，结果如（图5－8）
⑧单击上图中的【结构】，出现结构对话框如（图5-9）
（图5-9）
⑨单击【添加新的映射】，当迭代对话框出现新的“？”后依次单击点D和点A’，如（图5-10）；去掉结构对话框（参考图5-9）【生成迭代数据表】前的对钩，不显示表格，单击【迭代】按钮，完成迭代。

结果如（图5-11）。

（图5-11）
（图5-10）
⑩选中参数t1=1.00,按键盘上的“＋”、“－”键控制参数t1值的增减，同时也控制迭代层数的增减，请您自己试试看看迭代的效果是什么样子；最后选中点D，选择【编辑】/【操作类按钮】/【动画】,生成【动画】按钮,单击它点D在半圆上运动,同时迭代得到的图形进行相应的运动.
好了,这个课件的制作方法到此介绍完了，相信您已经制作出了一棵漂亮的“勾股定理树”。

自己多动手试试，您会用几何画板做出很多漂亮的效果的，祝您成功！
2、数学万花筒
【本课件运行结果】如下图，单击动画按钮，图形会象万花筒一样进行变换,真是漂亮!
【功能运用】
通过本课件的学习，您将重点学习几何画板的【变换】菜单的功能.
【操作步骤】
①用画圆工具画出⊙A、⊙B、⊙C，在⊙A上构造点G、H、O在⊙B上构造I、J、N，在⊙C上构造K、L、M。

如（图4-1）
②选中点G、点K构造直线k，过点A、点C构造直线l；画直线m，标记直线m上一点R为中心，使直线m旋转45°，得到直线m'.如（图4-2）
③标记直线k为中心,单击点L,选择【变换】/【反射】得点K',同样构造点I关于直线k的反射点I’,点K、G关于直线l的反射点K’和G’.按住Shift键,依次单击点O、J、L、I'、G'，选择【构造】/【五边形内部〉构造五边形的内部P1.如(图4-3)
④标记直线m为中心,选中P1,选择【变换】/【反射】得到P1'(为选中状态),在标记直线m'为中心,选择【变换】/【反射】得到P1'',重复上面的过程依次反射得到P1’’’、P1’’’’、P1’’’’’,如(图4-4)
⑤选中五边形内部P1，标记m’为中心，选择【变换】/【反射】得到P1’(为选中状态),再标记直线m 为中心,选择【变换】/【反射】得到P1’’,重复上面的过程依次反射得到P1’’’、P1’’’’、P1’’’’’;如(图4-5) ⑥按住Shift键,依次单击点M、K、K'、N、H，选择【构造】/【五边形内部〉构造五边形的内部P2，重复④、⑤两步.最后反射得到P2’’’’’’.如(图4-6)
⑦按住Shift键,依次单击点H、L’、M、I、N’（由点N关于中心点C缩放比例为-100％得到）、G，选择【构造】/【六边形内部】构造六边形的内部P3，重复④反射得到P3’’’’’、重复第⑤步最后反射得到P3’’’’’’.如(图4-7)
⑧依次选中点G、H、O、I、J、N、K、L、M，打开【编辑】/【操作类按钮】/【动画】对话框,把九个点的动画设置成快、中、慢三种不同的速度，和逆时针和双向两种方向。

单击【确定】如下
图.
(图4-8)
第四节 学习几何画板的作用
几何画板是指专门用于数学“教”与“学”的计算机软件，在数学的“教”与“学”中有着重要的作用：代数公式的推导，图形与坐标的结合，函数规律的研究，统计与概率的模拟仿真，以下就几何画板对这些作用谈几点自己的看法：
一、 在数学公式推导中的作用
我们在进行代数公式教学的时候，
“我们如何合情合理地说明 (a+b) (a-b)
= a 2-b 2，(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2公式的正确
性呢？”（如图1），我们可以利用“几何
画板”制作或者让学生一起来制作一些课件，通过实时的拖拉演示培养学生数形结合的思想以及合情的习惯和思路。

二、 在图形与坐标相结合中的作用
我们在进行图形与坐标教学的时候，如“已知直线
分别与x 轴和y 轴交于A 、B 两点，点C 是线段AB 上的点，点
P （m ，0）是线段OA 上的点，且∠OCP=90°，试探索m 的取
值范围（如图2），我们可以利用几何画板制作或者让学生一起来
制作一些课件，通过实时的拖拉演示，使学生通过想象和实物演
示都不大容易理解的东西形象化、具体化，从而培养学生的想象
能力。

三、 在探究函数规律中的作用
我们在讲解函数的规律探究的时候，如“y = ax 2+bx+c (a ≠0) 字母a 、b 、c 变化时，y = ax 2+bx+c (a ≠0)的图形会发生怎样的变化？”的时候（如图3），我们可以利用几何画板制作或者让学生一起来制作一些课件，通过实时的拖拉操作，真正地明白字母的变化与图形的变化之间的联系，使学生利用其他方法不能理解或者不能真正理解的知识成为可以比较容易理解和信服。

321+-=x y （图1）
（图3）
四、 在空间与图形中的主要作用
几何图形的三种运动和变化、空间图形的观察与抽象都是利用
传统教学比较薄弱的地方，好多学生由于在实际生活中对空间与图
形的动手操作的机会比较少，因此在学习这一阶段的内容缺少感性
的认识，所以学起来很吃力。

我们可以充分地利用几何画板为学生
大量地展示几何图形的三种运动和变化、空间图形的观察与抽象的例子，不断地提升学生“空间与图形” 的能力，从而真正地实现“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

” 如图：已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形，试说出△AFE 、△BDF 、△CED 是通过怎样地变化得到的？（如图4）,我们可以制作和演示大量的这一类型的课件，使学生能够在较短的时间内提升学生的思维能力和空间想象能力。

五、 在统计与概率中的作用
利用传统的教学方式，我们在进行“统计与概率”这一块内容的时候由于缺少大量的、同学们可以实际操作和观察的实例，好多学生往往是似懂非懂，掌握得比较差。

《数学课程标准》指出：“统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑”，利用“几何画板”和“Z+Z 智能平台”我们可以从数据库上获得数据，并绘制表示同一组数据的不同图表，使学生能选择适当的图象描述数据；计算机还可以产生足够的模拟结果，帮助学生更好的体会事件发生概率的意义。

六、 在改变教学方式和学习方式中的作用
由于几何画板制作思路与我们所教所学的数学知识完全相符，所以我们可以在平时的教学实践中边教边学，教到哪里，学到哪里，同时我们还可以和学生一起学，这样也可以实现师生互动，实现教学相长，从而更加深入的理解所教学科的意义、所教知识的内涵，实现教学效果的最优化，彻底改变教师的教学方式。

另外，通过利用几何画板进行“教”与“学”，能够拓宽学生的思维，激发他们的学习兴趣，使学习数学不再成为一种负担，可以摆脱枯燥的数学计算和推理说明，学生只要能够利用计算机制作出几个“图形”和“课件”就可以充分的而且深入的学习和掌握所须的数学知识和培养所需的数学能力，从而真正实现“主动学习”，彻底改变学生的学习方式。

在学
（如图4）。