数列求通项的方法课件人教新课标B版

变式1：已知数列{an}中a1=2，an+1=4an-3n+1, （1）证明数列{an-n}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式。
解：an 4n1 n
结论：
形如an1 pan qn r( p, q, r为非零常数 )
变形为：an1 k(n 1) b pan kn b
构造成一个新的等比数列an kn b
an pan 1
p为常数
6、构造法： an1 pan q p、q为常数
课后作业：学案习题
1、数列 {an} 中, a1 3, an Sn1 2n , 求an及 Sn .
2.若在数列{an}中，a1 3, an1 an n(n N * ). 求an
3.已知数列{an}满足 a1=1 ,(n+1)an=(n-1)an-1 (n≥2)，
解：由题意可知 an1 an 2n n a2 a1 21 1
a3 a2 22 2
an an1 2n1 (n 1) 以上式子累加得：
an a1 (21 22 23 2n1) 1 2 3 (n 1)
2(1 2n1) n(n 1) 2n 2 n(n 1)
求数列a n 的通项公式．
8.已知数列{an}满足
1 2
a1
1 22
a2
1 2n
an
2n
5, 求an
9.数列{an }的前n项和为 Sn，且a1
1，an1
1 3
Sn
,
n
1,2,3
求a2 , a3, a4的值及数列{an}的通项公式 .
思路鉴赏：an 4an1 2n (n 2, 3, 4, )
解法一（构造1）
an
4a1 2n1
1
an 2n
1
2(
an1 2n1
1)
法二（构造2）
an 4an1 2n an 2n 4(an1 2n1 )
解：an n 4n1 an 4 4n1
变式3：形如an1 pan +q • rn ( p, q, r为非零常数)
求数列通项的方法
1、特殊数列（等差等比）： 利用公式 2、累加法 3、累乘法 4、取倒数 5、公式法 6、构造法
一、特殊数列: 利用等差等比数列通项公式
已知数列的an为无穷数列，若an1 an1 2an
(n 2且n N ) ,且a2 4,a6 8,求an的通项
解： an1 an1 2an
1 3
,
公比为q 4的等比数列， 3
1, n 1
an
1 3
4 3
n
2
,
n
2
变式2
： 1.已知数列an前n项和为sn，a1
1 2
, 且an
2sn sn 1
0(n
2),
求an的通项公式。
由题意可知 an 2snsn1
sn sn1 2snsn1(n 2),
1 1 2,又 1 1 2,
a1
a2
a3
以上式子相乘可得：an
an1
31 32 33 3n1
nn1
3 2
a1
nn1
an 2 3 2
nn1
因为n 1, a1 2也满足上式，所以an 2 3 2
四、倒数法
形如
an1
pan qan
结构的式子可构造等差数列 p
已知a1
1 2
, an
an1 n
5an1 1
2, 求an
1 2
2
2
an
2n
nn 1
2
1
因为n
1, a1
1满足上式，所以an
2n
nn 1
2
1
三、累乘法
形如已知
a1,
an1 an
f n可用累乘法来求通项
已知a1 2, an1 3n an , 求通项 an
解：由已知得：an1 3n an
a2 31, a3 32 , a4 33,, an 3n1
求数列{an}的通项公式.2
4.已知数列{an}中a1=1，an1
2an an 2
,求an
5.已知数列{an}中a1=3，an+1=2an+3,求an
课后作业
6.已知数列an中，a1 3, an1 2an 3n-3,
求通项an .
7.已知数列an满足an+1=2an +3n，且a1 1．
将其变形为 an+1 rn
p • an r r n1
q
若p=r，则
an r n1
为等差数列，否则采用（六）的方法．
小结
1、特殊数列
2、公式法，已知前n项和便可用an
s1 sn
(n sn1
1) (n
求通项 2)
3、累加法： an1 an f n
4、累乘法：an1 f n
an
5、倒数法： an1
解：
1 2
a1
1 22
a2
1 2n
an
2n
5,
1 2
a1
1 22
a2
1 2n1
an1
2(n
1)
5, (n
2)
两式相减可得：
an 2n
2, an
2n（1 n
2）
当n
1时，a1 2
7, a1
14,不满足上式，
14, n 1 an 2n1, n 2
六、构造法
形如 an1 pan qp、q为常数 可构造等比数列 an c
n
2，求通项an
.
分析：变形得 1 an
=2 •
1 an-1
+3
1 an
t=2
•
1 an-1
t
且2t-t=3，构造得
数列
1 an
3
为等比数列．
： 结论 形如an1
pan qan
r
(
p, q,
r为非零常数)的，
将其变形为 1 an+1
r p
1 • an
q p
若p
r
,
则
1 an
是等差数列，公差为qp
，可用公式求通项
若p q时，则采用构造法
五、公式法
如果知道数列的前n项和公式，那么就可以
利用公式 an
ss1n
(n sn 1
1) (n
2)
来求通项。
已知两个数列的前n项和分别为:求通项公式
(1)sn n2 1
(2)sn 2n2 3n
解：（1）当n 1时，a1 s1 0
当n 2时，an sn sn1 (n2 1) (n 1)2 1 2n 1
sn sn1
s1 a1
1 sn
是
以2为首
项，2为
公差的等差数列，
1 sn
2n, sn
1 2n
当n
2时，an
sn
sn1
1 2n(n 1)
当n
1时，s1
1 2
,不满足上式
an
1 2
,n
1 1
,n 2
2n(n 1)
变式3：
已知数列{an
}满足
1 2
a1
1 22
a2
1 2n
an
2n
5, 求an
1，an1
1 3
Sn
,
n
1,2,3
求a2 , a3, a4的值及数列{an}的通项公式 .
a1
1, an1
1 3
sn
a2
1 3 , a3
4 9
, a4
16 27
又
an1
1 3
sn ,
an
1 3
sn1, n
2
两式相减，得an1 4 , n 2 an 3
a2 1 不满足上式 a1 3
数列an 是从第二项起a2
变式2 已知数列an中，a1 2, an1 2an 2n2 n,
：
求an
思路：
an1 A(n 1)2 B(n 1) C 2 an (An2 Bn C
变式3：已知数列{an}中a1=2，an+1=4an+ 2n1 （1）证明数列{an+ 2n }是等比数列; （2）求数列{an}的通项公式。
1
an
解：由题意可得：1 5an1 1 1 5
an
an1
an1
当n 2时，1 1 5 an an1
1 an
是以
1 a1
2为首项，5为公差的等差数列
1 2 n 15 5n 3
an
an
1 5n 3
变式1：已知数列an
中，a1
=
1 3
，an
=
an-1 3an-1
2
已知a1 3, an 3an1 8n 2, 求an
解：设an c 3 an1 c, 化简得： an 3an1 2c
2c 8即c 4
当n
2时，an
4
3 an1
4即
an 4 an1 4
3
an 4是以a1 4 7为首项，3为公比的等比数列
an 4 7 3n1 an 7 3n1 4
由于a1不适合上述式子， an
0(n 1时） 2n 1(当n
2时)
(2)当n 1时，a1 s1 1
n 2时，an sn sn1
(2n2 3n) 2(n 1)2 3(n 1) 4n 5
由于a1也适合上述式子，an 4n 5
变式1：
数列{an }的前 n项和为 Sn，且 a1
数列an 为等差数列
设首项为a1,公差为d , 由a2 4, a6 8, 可得a1 d 4, a1 5d 8, 解得a1 3, d 1, 所以，an 3 （n 1）1 n 2
二、累加法
形如已知 a1,且an1 an f n 便可用累加法来求通项
已知a1 1, an1 an 2n n, 求通项an