河北省石家庄市井陉县第一中学高二数学文月考试题含解析

河北省石家庄市井陉县第一中学高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两
个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 命题“对任意的，”的否定是 ( )
A．不存在， B．存在，
C．存在， D．对任意的，
参考答案：
C
略
3. 已知F1（﹣3，0），F2（3，0）是椭圆+=1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2=α．当
α=时，△F1PF2面积最大，则m+n的值是（）
A．41 B．15 C．9 D．1
参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由∠F1PF2=α．当α=时，△F1PF2面积最大，可得此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∠F1PO=．可得
a，又c=3，a2=b2+c2，联立解出即可得出．
【解答】解：∵∠F1PF2=α．当α=时，△F1PF2面积最大，
∴此时点P为椭圆的一个短轴的端点，∴∠F1PO=．
∴a，又c=3，a2=b2+c2，
联立解得b2=3，a2=12．
∴m+n=a2+b2=15．
故选：B．
4. 曲线和直线所围成图形的面积是（）
A．4 B．6 C．8 D．10
参考答案：
C
5. 从7人中选派5人到10个不同岗位的5个中参加工作，则不同的选派方法有（）
A．种B．种
C．种 D．
参考答案：
D
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】依分步计数原理，第一步，选出5人；第二步，选出5个岗位；第三步，将5人分配到5个岗位，分别运用排列组合知识计数，最后将结果相乘即可．
【解答】解：第一步，选出5人，共有c75中不同选法
第二步，选出5个岗位，共有c105中不同选法
第三步，将5人分配到5个岗位，共有A55中不同选法
依分步计数原理，知不同的选派方法有C75C105A55=C75A105
故选D
【点评】本题考查了计数方法，特别是分步计数原理和排列组合，解题时要合理分步，恰当运用排列和组合，准确计数
6. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量满足
，则实数a的值( )
A．2 B．﹣2 C．或﹣D．2或﹣2
参考答案：
D
【考点】直线和圆的方程的应用；向量的模．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】先由向量关系推出OA⊥OB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a的值．【解答】解：由向量满足得⊥，因为直线x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；
所以（0，2）和（0，﹣2）点都适合直线的方程，a=±2；
故选D．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题．
7. 已知△ABC，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，a=，b=，B=60°，则A等于( ) A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°
参考答案：
A
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】根据正弦定理，代入题中数据算出sinA=，结合a＜b得A＜B，可得
A=45°，得到本题答案．
【解答】解：∵△ABC中，a=，b=，B=60°
∴由正弦定理，得sinA===
∵A∈（0°，180°），a＜b
∴A=45°或135°，结合A＜B可得A=45°
故选：A 【点评】本题给出三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．
8. 已知集合，集合，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
参考答案：
C
9. 目标函数，变量满足，则有（）
(A) (B) 无最大值
(C) 无最小值 (D)既无最大值，也无最小值
参考答案：
B
略
10. 函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
【考点】函数的图象．
【分析】由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，因此根据图象即可求得极大值点的个数．【解答】解：由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，
故f （x ）的极大值点的个数为2个， 故选：C ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知椭圆
内部的一点为，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则
的最小值为 ▲ ．
参考答案：
右准线方程为
，设M 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线定义知
，∴d ＝MF .∴MA ＋MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小
值．MA ＋d ≥2－1. 答案：2－1
点睛：本题利用椭圆的第二定义进行转化，即，所以d ＝MF .即MA ＋MF ＝MA ＋d ，由
A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值．
12. 若执行如下图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝4，x 4＝8，则输出的数等于________．
参考答案：
13. 设a ＞b ＞0，则a 2
+
+
的最小值是 ．
参考答案：
4
【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用．
【分析】变形可得a 2+
+
=ab+
+a （a ﹣b ）+
，由基本不等式可得．
【解答】解：∵a＞b ＞0，∴a﹣b ＞0， ∴a 2+
+=a 2﹣ab+ab+
+
=ab++a （a ﹣b ）+
≥2+2=4，
当且仅当ab=且a （a ﹣b ）=即a=且b=时取等号．
故答案为：4．
【点评】本题考查基本不等式求最值，添项并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．
14. 如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠ACB=90°，CA=CB=CC 1=1，则直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为 ．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．
【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
【解答】解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
则A1（1，0，1），B（0，1，0），
=（﹣1，1，﹣1），平面BB1C1C的法向量=（1，0，0），
设直线A1B与平面BB1C1C所成角为θ，
则sinθ===．
∴直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为．
故答案为：．
【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
15. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔距离为__________km.
参考答案：
16. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于．
参考答案：
90°
17. 已知直线过点（2，0）与（0，﹣3），则该直线的方程为．
参考答案：
=1【考点】直线的两点式方程．
【分析】由截距式，可得直线的方程．
【解答】解：由截距式，可得直线的方程为=1．
故答案为=1．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的最小值，并求此时圆T的方程；
(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.
参考答案：
略
19. 如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且交AB于D，且点D的坐标为.
（1）求的值；（2）若F为抛物线的焦点，M为抛物线上任一点，求的最小值.
参考答案：
（1）.（2）4.
解析：
（1）设，，，
则，直线的方程为
，
即.将代入上式，
整理得，∴，由得，即
，∴，又，∴.
（2）过点M作直线的垂线MN，垂足为N，则|MF|=|MN|，由抛物线定义知的最小值为点到抛物线准线的距离，又准线方程为，因此的最小值为DN=4.
20. 学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.
（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：
关？
（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X.
①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差.
（，其中）
参考答案：
解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：
的观测发传真，
所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. （2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；
；；，的分布列为：②由于，
则，.
21. 已知函数，其中a为常数.
（1）证明：函数的图象经过一个定点A，并求图象在A点处的切线方程；
（2）若，求函数在上的值域.
参考答案：
（1）证明见解析，；（2）
【分析】
（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出，再利用导数求函数值域.
【详解】（1）因为，
所以，
所以函数的图像经过一个定点，
因为，
所以切线的斜率，.
所以在点处的切线方程为，
即；
（2）因为，，所以，
故，
则，
由得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
从而在上有最小值，且最小值为，
因为，，
所以，
因为在上单调减，，
所以，
所以，所以最大值为，
所以函数在上的值域为.
【点睛】本题考查导数几何意义以及利用导数求函数值域，考查综合分析求解能力，属中档题.
22. 设数列，＝2，n∈N*.
（Ⅰ）求并由此猜想出的一个通项公式；
（Ⅱ）证明由（Ⅰ）猜想出的结论．参考答案：
解：（Ⅰ）由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，………… 3分由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想a n的一个通项公式为：a n＝n＋1(n∈N*)．… 6分（Ⅱ）证明：①当n＝1时，a1=2，猜想成立．………………………………………… 7分
②假设当n＝k（k∈N*且k≥1）时猜想成立，即a k=k＋1，
那么当n＝k＋1时，a k＋1＝a k(a k－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，……………… 11分也就是说，当n＝k＋1时，a k＋1=(k＋1)＋1. 猜想成立
根据①和②，对于所有n∈N*，都有a n=n＋1. ………………………………… 12分
略。