澄迈县XX中学2016-2017年八年级上第三次月考数学试卷含解析

海南省澄迈县XX中学2016-2017学年八年级（上）第三次月考
数学试卷(解析版)
一、选择题（本大题共42分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确
1．下列图形中对称轴最多的是（）
A．等腰三角形B．正方形C．圆形D．线段
2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
3．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE 垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（）
A．8 m B．4 m C．2 m D．6 m
4．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）
A．90°B．75°C．70°D．60°
5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（）
A．直角三角形B．长方形C．等边三角形D．等腰三角形
6．如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
7．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．
A．16 B．18 C．26 D．28
8．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
9．若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A．75°或15°B．75°C．15°D．75°或30°
10．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定
11．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
13．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）
A．8 B．6 C．4 D．2
14．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角
15．（4分）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是．
16．（4分）已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x+y的值为．
17．（4分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为．18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10分）如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹）
20．（10分）（1）请画出△ABC关于y对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′是A，B，C对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（），B′（），C′（）．（3）计算△ABC的面积．
21．（10分）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE．求∠CDE的度数．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．
解：需添加条件是．
23．（10分）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC 于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
24．（12分）已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．求证：BE+CF=EF．
2016-2017学年海南省澄迈县XX中学八年级（上）第三
次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共42分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确
1．下列图形中对称轴最多的是（）
A．等腰三角形B．正方形C．圆形D．线段
【考点】轴对称的性质．
【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行选择．【解答】解：A、因为等腰三角形分别沿底边的中线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则等腰三角形是轴对称图形，底边的中线所在的直线就是对称轴，所以等腰三角形有1条对称轴；
B、因为正方形沿对边的中线及其对角线所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则正方形是轴对称图形，对边的中线及其对角线所在的直线就是其对称轴，所以正方形有4条对称轴；
C、因为圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴，所以说圆有无数条对称轴．
D、线段是轴对称图形，有两条对称轴．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的性质，解答此题的主要依据是：轴对称图形的定义及其对称轴的条数．
2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）
A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01
【考点】镜面对称．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51，
故选C．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
3．如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE 垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（）
A．8 m B．4 m C．2 m D．6 m
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半进行求解．
【解答】解：∵∠A=30°，AB=16m，
∴BC=AB=×16=8m，
∵BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵点D是斜梁AB的中点，
∴DE=BC=×8=4m．
故选B．
【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质以及三角形的中位线定理，熟记定理是解题的关键．
4．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于（）
A．90°B．75°C．70°D．60°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°﹣（∠CBD+∠BDC）=180°﹣60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°﹣∠BCD﹣∠BCA=180°﹣120°﹣15°=45°，
∴∠CDE=180°﹣（∠ECD+∠CED）=180°﹣90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°﹣∠CDE﹣∠BDC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠DEF=180°﹣（∠EDF+∠EFC）=180°﹣120°=60°．
故选D．
【点评】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（）
A．直角三角形B．长方形C．等边三角形D．等腰三角形
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据题意画出图形，然后再根据轴对称的性质，证明△FAH≌△DCH，继而得出结论．
【解答】解：折叠后的图形如图所示，根据轴对称的性质可得AF=CD=AB，∠F=∠D=90°
又∠FHA=∠DHC，
∴△FAH≌△DCH（AAS）
可得：CH=AH，重合部分为等腰三角形．
故选D
【点评】本题考查轴对称的性质，关键在于画出示意图，然后根据边和角的关系求解．
6．如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系推出腰长为5，底边长为2，即可推出周长为12．【解答】解：∵2+5＞5，
∴等腰三角形的腰长为5，底边长为2，
∴周长=5+5+2=12．
故选C．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质，关键在于根据三角形的三边关系推出腰长和底边长．
7．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）厘米．
A．16 B．18 C．26 D．28
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AE+BE=CE+BE=10，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，
故选B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），
故选：C．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
9．若等腰三角形一腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A．75°或15°B．75°C．15°D．75°或30°
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示
∵CD⊥AB，CD=AC，
∴sin∠A==，
∴∠A=30°，
∴∠B=∠ACB=75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD=AC，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAB=150°，
∴∠B=∠ACB=15°．
故其底角为15°或75°．
故选A．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，含30°的角的直角三角形的性质，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
10．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°；当顶角是50°时，则它的底角就是（180°﹣50°）=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°；
故选C．
【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
11．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由折叠特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长求解．
【解答】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，
由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°
∴∠ABE=∠C′BF
在△BAE和△BC′F中，
，
∴△BAE≌△BC′F（ASA），
∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，
△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点】等腰三角形的判定；矩形的性质．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．
14．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角
15．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的中垂线．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的中垂线．
【点评】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
16．已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，那么x+y的值为7．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得x、y的值，进而可得x+y的值．
【解答】解：∵点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于x轴对称，
∴x=3，y=4，
∴x+y=7，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．【考点】等腰三角形的性质．
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；
当高在三角形外部时，顶角是60°．
故答案为：60°或120°．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积是 6 cm 2．
【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质．
【分析】由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF 和△BEF 的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
【解答】解：∵△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，
∴△ABC 是轴对称图形，且直线AD 是对称轴，
∴△CEF 和△BEF 的面积相等，
∴S 阴影=S △ABD ，
∵AB=AC ，AD 是BC 边上的高，
∴BD=CD ，
∴S △ABD =S △ACD =S △ABC ，
∵S △ABC =12cm 2，
∴S阴影=12÷2=6cm2．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△CEF 和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10分）（2016春•沭阳县期末）如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．（要求尺规作图，并保留作图痕迹）
【考点】作图—复杂作图．
【分析】连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，再作∠AOB的平分线OC，EF 与OC的交点即为点P．
【解答】解：如图所示，点P即为所求作的点．
【点评】本题考查了复杂作图，主要有线段垂直平分线的作法，角平分线的作法，都是基本作图，需熟练掌握．
20．（10分）（2013秋•云城区校级期中）（1）请画出△ABC关于y对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′是A，B，C对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（1，5），B′（0，1），C′（4，3）．
（3）计算△ABC的面积．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据图形写出坐标即可；
（3）根据三角形的面积公式：底×高÷2，计算出面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A′（1，5）、B′（0，1）、C′（4，3）；
（3）△ABC的面积：5×3=7.5．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是正确找出关键点的对称点，再画出图形．
21．（10分）（2015秋•莒县期中）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°，AD=AE．求∠CDE的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠BAD=40°，由于AD=AE，于是得到∠ADE==70°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE=90°﹣70°=20°．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=40°，
∠ADC=90°，
又∵AD=AE，
∴∠ADE==70°，
∴∠CDE=90°﹣70°=20°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
22．（10分）（2007•陇南）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．解：需添加条件是BD=CD，或BE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．【解答】解：需添加的条件是：BD=CD，或BE=CF．
添加BD=CD的理由：
如图，∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
∴DE=DF．
添加BE=CF的理由：
如图，∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD．
又∵BE=CF，
∴△BDE≌△CDF（ASA）．
∴DE=DF．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
23．（10分）（2013秋•鄂州期末）如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D 点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．
24．（12分）（2014秋•扶余县期中）已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．求证：BE+CF=EF．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据角平分线定义和平行线性质求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，同理得出CF=DF，即可求出答案．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
同理CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF，
即BE+CF=EF．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边．。