例题_两条平行直线间的距离
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平行的直线分别过A(6,2)、 B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果 两条平行线间的距离为d，
(1)求d的变化范围； (2)求当d取得最大值时的两条直线方 程．
[解析] 解法1：(1)设两条直线方程分
别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，
(2)因d＝3时，k
81
54
90
2
3
，
故两直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y
＋10＝0.
解法2：(1)由图形可知，当两平行线均与
线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3 10 最大，当两
直线都过A、B点时距离d＝0最小，但平行线
不能重合．
∴0<d≤ 3 10 .
(2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0和3x
则 即
2 1
6k b1 3k b2
b1 b2
2 3k
6k 1
而 d b2 b1 9k 3
1 k2 1 k2
两边平方整理得
即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，
由于k∈R，
所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，
整理得4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤ 3 10 .
【例1】 求两平行线l1：3x＋4y＝12和l2： 3x＋4y＝17间的距离.
解：方法一：若在直线 l1 上任取一点 A(4,0)，则点A 到直线l2的距离，就是所 求平行线间的距离，∴d 3 4 4 0 17 1 方法二：利用公式 d C1 C2 32 42
A2 B2
＋y＋10＝0.
(1)求d的变化范围； (2)求当d取得最大值时的两条直线方 程．
[解析] 解法1：(1)设两条直线方程分
别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，
(2)因d＝3时，k
81
54
90
2
3
，
故两直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y
＋10＝0.
解法2：(1)由图形可知，当两平行线均与
线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3 10 最大，当两
直线都过A、B点时距离d＝0最小，但平行线
不能重合．
∴0<d≤ 3 10 .
(2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0和3x
则 即
2 1
6k b1 3k b2
b1 b2
2 3k
6k 1
而 d b2 b1 9k 3
1 k2 1 k2
两边平方整理得
即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，
由于k∈R，
所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，
整理得4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤ 3 10 .
【例1】 求两平行线l1：3x＋4y＝12和l2： 3x＋4y＝17间的距离.
解：方法一：若在直线 l1 上任取一点 A(4,0)，则点A 到直线l2的距离，就是所 求平行线间的距离，∴d 3 4 4 0 17 1 方法二：利用公式 d C1 C2 32 42
A2 B2
＋y＋10＝0.