2021年中考一轮复习数学教案 相似三角形及位似图形

相似三角形及位似图形
1．相似图形
相似图形：形状相同的图形称为相似图形．
相似多边形：对应角__________，对应边__________的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做__________．
相似三角形：对应角__________，对应边__________的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫__________，通常用字母k 表示；全等三角形是相似比为__________的特殊的相似三角形． 2．比例线段
比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝c
d
，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫
做成比例线段，简称比例线段． 比例的基本性质：a b ＝c
d
⇔ __________．
比例中项：一般地，如果三个数a ，b ，c 满足比例式a b ＝b
c (或a ∶b ＝b ∶c )，那么b 就叫做a ，c 的比例中项．
【知识拓展】
合分比性质：如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±d d ，a b ±a ＝c
d ±c
；
等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m
n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b
.
黄金分割：如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使AP >PB ，且__________，那么称线段AB 被点P 黄金分
割，P 叫做线段AB 的黄金分割点，所分成的较长一
条线段AP 与整条线段AB 的比叫做黄金比，黄金比为__________．一条线段的黄金分割点有__________个． 3．由平行线截得的比例线段
定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段__________． 4．相似三角形的性质
性质：(1)相似三角形的对应角__________，对应边__________； (2)相似三角形周长之比等于__________；
(3)相似三角形的面积之比等于相似比的__________；
(4)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于__________． 5．相似三角形的判定方法
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1：两个角__________的两个三角形相似．
判定定理2：两边对应成比例，且__________的两个三角形相似．
判定定理3：三边对应__________的两个三角形相似．
【知识拓展】
重要结论：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似．
如图27－4，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线，则△ABC△△CBD△△ACD.
6．相似多边形的性质
性质：(1)相似多边形的周长之比等于__________；
(2)相似多边形的面积之比等于相似比的__________．
1．相似三角形的基本图形
(1)平行线型：
如图27－5，若CD∥AB，则有△OCD∽△OAB；
(2)斜线型：
如图27－6，若∠1＝∠A，则有△OCD∽△OAB，特别是右图中，当△OCD∽△OAB时，有OC2＝OA·OD；
(3)旋转型：
如图27－7，若∠1＝∠2，且OD∶OA＝OC∶OB，或∠1＝∠2，∠D＝∠A，则有△OCD∽△OBA.
2．分类讨论思想
近几年中考常出现有关相似图形的多解问题，这类题特征是不给出几何图形，要求分类讨论．解这种问题时要注意不能漏解．
类型一 平行线分线段成比例定理
典例 [2018·嘉兴]如图27－8，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C .直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，
F ，已知AB AC ＝13，则EF
DE
＝_________．
跟踪训练 [2019·凉山]如图27－9，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC ＝ 1∶2，O 是BD 的中点，连结AO 并
延长交BC 于 E ，则BE ∶EC ＝( )
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶4
D ．2∶3
类型二 相似三角形的判定
典例 [2018·杭州]如图27－10，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E . (1)求证：△BDE ∽△CAD ；
(2)若AB ＝13，BC ＝10，求线段DE 的长．
跟踪训练1. [2019·玉林]如图27－11，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则相似三角形共有( )
A ．3对
B ．5对
C ．6对
D ．8对
2．如图27－12，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF ＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求AF
AG的值．
类型三相似三角形的周长比与面积比
典例[2020·中考预测]已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为()
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
跟踪训练 1.[2019·重庆B卷]下列命题是真命题的是()
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
2．[2018·杭州]如图27－13，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE.记△ADE，△BCE 的面积分别为S1，S2()
A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2
C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2
思维升华相似三角形面积之比等于相似比的平方．
类型四相似三角形的性质与判定
典例[2019·杭州]如图27－14，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连结AM交DE于点N，则()
A.AD AN ＝AN AE
B.BD MN ＝NM CE
C.DN BM ＝NE MC
D.DN MC ＝NE BM
跟踪训练 1.[2019·温州]如图27－15，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD
于点H ，在边BE 上取点M 使BM ＝BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的
面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2.若点A ，L ，G 在同一直线上，则S 1
S 2
的值为( )
图27－15
A.
22 B.23 C.24 D.2
6
2．[2019·安徽]如图27－16，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝12，点D 在边BC 上，点E 在线段AD
上，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥EF 交AB 于点G .若EF ＝EG ，则CD 的长为( )
A ．3.6
B ．4
C ．4.8
D ．5
类型六 相似三角形对应高线的比的应用
典例 [2018·永州]如图27－20①，在△ABC 中，矩形EFGH 的一边EF 在AB 上，顶点G ，H 分别在BC ，AC 上，
CD 是边AB 上的高，CD 交GH 于点I .若CI ＝4，HI ＝3，AD ＝9
2
.矩形DFGI 恰好为正方形．
(1)求正方形DFGI 的边长；
(2)如图②，延长AB 至P ，使得AC ＝CP ，将矩形EFGH 沿BP 方向向右平移，当点G 刚好落在CP 上时，试判断移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？
(3)如图③，连结DG ，将正方形DFGI 绕点D 顺时针旋转一定的角度得到正方形DF ′G ′I ′，正方形DF ′G ′I ′分别与线段DG ，DB 相交于点M ，N ，求△MNG ′的周长．
跟踪训练如图27－21①，课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高线AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？
小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图②，此时，这个矩形零件的两条边长又分别是多少毫米？
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边的长．
1．求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位．
2．证明两个三角形相似时，要注意将对应顶点写在对应位置上．
3．相似多边形的面积比等于相似比的平方，要注意与周长比的区别．。